举措一 三、分类讨论思想-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

三、分类讨论思想 分类讨论思想的含义 分类讨论的常见类型 分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.分类讨论实质上就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想 （1）由概念、法则、公式引起的分类讨论； （2）由参数变化引起的分类讨论； （3）由图形位置（形状）引起的分类讨论 分类讨论思想是高考重点考查的一类数学思想方法，在高考试卷中常以含参问题呈现，有时也涉及到图形位置不固定的情况 由概念、法则、公式引起的分类讨论 【例1】　（1）幂函数f（x）＝（m2＋m－5）x在区间（0，＋∞）上单调递增，则f（3）＝（　　） A.27 B.9 C. D. （2）设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q的取值范围是　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤 第一步：确定需分类的目标与对象.一般把解决问题的对象作为分类的目标； 第二步：根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类对象进行区分； 第三步：分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分别进行处理； 第四步：汇总“分目标”.对“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理. 1.已知一条直线过点（5，2），且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为（　　） A.x＋y－7＝0 B.2x－5y＝0 C.x＋y－7＝0或2x－5y＝0 D.x＋y＋7＝0或2y－5x＝0 2.已知集合A＝{x｜2x2＋3x≥－1}，B＝{x｜mx≥1}，若A∪B＝A且m≤0，则实数m的取值范围是　　　　. 由参数变化引起的分类讨论 【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷16题节选）已知函数f（x）＝ex－ax－a3.若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 感悟提升 由参数变化引起的分类讨论问题的解题策略 （1）含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论； （2）若参数有明确的几何意义时，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，有时需要适当地运用数形结合思想，做到分类标准明确、不重不漏. 　若函数f（x）＝ln x－ax2＋（a－2）x（其中x∈（1，＋∞））存在最小值，则实数a的取值范围为　　　. 由图形位置（形状）引起的分类讨论 【例3】　（多选）已知P是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（　　） A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 1.涉及图形位置不同、大小差异不确定时，要进行分类讨论. 2.破解此类问题的关键 （1）确定特征：一般在确定初步特征时将能确定的所有位置先确定； （2）分类：根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类； （3）得结论：将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理. 1.已知正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为（　　） A. B.4 C. D.4或 2.记F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，若C上存在点M满足·＝0，则实数m的取值范围是（　　） A.∪[2，＋∞） B.∪[2，＋∞） C.∪（1，2] D.∪（1，2] 1.分类讨论的原则 （1）不重不漏； （2）标准要统一，层次要分明； （3）能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论. 2.解分类与整合问题的步骤 （1）确定分类讨论的对象，即对哪个参数进行讨论； （2）对所讨论的对象进行合理分类； （3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决； （4）归纳整合，即将各类情况总结、归纳. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 三、分类讨论思想 【例1】　（1）A　（2）（－1，0）∪（0，＋∞）　解析：（1）由题意得，m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3.当m＝2时，可得函数f（x）＝x3，此时函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增，符合题意；当m＝－3时，可得f（x）＝x－2，此时函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减，不符合题意.即幂函数f（x）＝x3，则f（3）＝27. （2）由{an}是等比数列，Sn＞0，可得a1＝S1＞0，q≠0，当q＝1时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝＞0，即＞0（n＝1，2，3，…），则有①，或②.由①得－1＜q＜1，由②得q＞1.故q的取值范围是（－1，0）∪（0，＋∞）. 应用体验 1.C　设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝7，则直线方程为x＋y－7＝0.故选C. 2.[－1，0]　解析：A＝{x｜2x2＋3x≥－1}＝{x｜x≤－1或x≥－}，因为A∪B＝A，所以B⊆A.又m≤0，所以①当m＝0时，B＝⌀，满足题意；②当m＜0时，B＝{x｜mx≥1}＝{x｜x≤}，要使B⊆A，则解得－1≤m＜0.综上所述，实数m的取值范围是[－1，0]. 【例2】　解：易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0）， 则g'（a）＝－－2a＜0， 所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞）. 应用体验 　（－1，0）　解析：f'（x）＝－2ax＋a－2＝，x∈（1，＋∞），①若a≥0，则在（1，＋∞）上，f'（x）＜0，f（x）单调递减，无最小值，不符合题意；②若－1＜a＜0，令f'（x）＝0，解得x＝－，则f（x）在上单调递减，在上单调递增，f（x）min＝f，符合题意；③若a≤－1，则在（1，＋∞）上，f'（x）＞0，f（x）单调递增，无最小值，不符合题意.综上所述，－1＜a＜0. 【例3】　ABC　当点A在圆外时，如图1，2，设AP中点为B，过B作AP的垂线交直线OP为Q，连接AQ，则｜PQ｜＝｜AQ｜，则｜｜QO｜－｜QA｜｜＝｜OP｜＝2，又｜AO｜＞2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的双曲线； 当点A在圆内（非原点）时，如图3，此时｜QA｜＋｜OQ｜＝｜OQ｜＋｜QP｜＝2，又｜AO｜＜2，则此时Q的轨迹为以O，A为焦点的椭圆； 当A在坐标原点时，如图4，此时B，Q重合，则｜OQ｜＝1，则此时Q的轨迹为以O为原点，半径为1的圆； 当A在圆上时，如图5，由垂径定理，可知Q点与O重合，此时Q的轨迹为点O. 故选A、B、C. 应用体验 1.D　当6是下底面周长，4是三棱柱的高时，体积V＝2×××4＝4；当4是下底面周长，6是三棱柱的高时，体积V＝×××6＝.故选D. 2.A　当焦点在x轴上时，如图1. a2＝m，b2＝1，m＞1，由对称性可知当M为上、下顶点时，∠F1MF2最大，因为存在点M满足·＝0，则∠F1MF2≥，∠F1MO≥，所以tan∠F1MO＝≥tan＝1，即≥1，解得m≥2；当焦点在y轴上时，如图2. a2＝1，b2＝m，0＜m＜1，当M为左、右顶点时，∠F1MF2最大，因为存在点M满足·＝0，则∠F1MF2≥，∠F1MO≥，所以tan∠F1MO＝≥tan＝1，即≥1，解得0＜m≤，故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $