专题7 第4讲 大题专攻——利用导数证明不等式-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第4讲大题专攻 利用导数证明不等式 【锁定高考·明方向】 真题感悟 1.解：(1)由题意知，f(x)的定义域为（一o,+∞)，P(x)=ae-1. 当a≤0时，易知f(x)<0,则f(x)在（一∞，十∞)上是减函数. 当a>0时，令(x)=0,得x=ln 当x∈(-o,ln噎)时，f(x)<0;当x∈(n,+o)时，f(x)>0. 所以f(x)在(-∞，ln哈)上单调递减，在(ln哈，十∞)上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f(c)在(-∞，十∞)上是减函数；当a>0时，f(x)在 (-co,ln)上单调递减，在(ln,十o)上单调递增， (2)证明：法一由(1)知，当a>0时，f(x)在（-o∞，ln哈)上单调递减，在(n 贵，十∞)上单调递增。 所以f(x)mim=f(ln时)=a（eh言+a)-ln噎=1+a2+lna. 令g(x)=1+x2+lnx-(2mx+号)，x>0, 即g(x)=x2-nx-克，x>0, 则g(x)=2x-是=2是 令g)=0,得x-号. 当x∈(0，号)时，g()<0:当x∈（号，+o)时，g(x)>0. 所以g()在(0，号)上单调递减，在（号，十©）上单调递增， 所以g6m=g(号)=(9)-h9-支=-19>0， 所以1+x2+ln>2nx+号对Vx>0恒成立， 所以当a>0时，1+a2+lna>21na+号恒成立. 即当a>0时，f(x)>2na+. 法二当a>0时，由(1)得，f(x)mim=f(-na)=1十a2+lna, 故欲证f(x)>21na+号成立， 只需证1+a2+lna>2na+号， 即证a2-专>lna. 构造函数u(a)=lna-(a-1)(a>0), 则w'(a)=专-l=2,所以当a>1时，w(a)<0;当0<a<1时，w'(a)>0. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以函数u（a)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以l(a)≤u(1)=0,即lna≤a-1, 故只需证c2-吉>a-l,即证a2-a+克>0， 因为a2-a十=(a-号)2+量>0恒成立， 所以当a>0时，f(x)>2a+号 2.解：(1)因为f(x)=a(x-1)-lnx+1, 所以f(x)=a-安=，x>0, 若a≤0，则f(x)<0恒成立，所以f(x)在(0，十∞)上单调递减； 若a>0,则当0<x<吉时，f(x)<0,当x>吉时，P(x)>0,所以f(x)在(0，吉) 上单调递减，在（是，十∞）上单调递增。 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，吉)上 单调递减，在（专，十∞）上单调递增. (2)证明：法一（放缩法）因为a≤2，所以当x>1时，er-1-f(x)=e-1-a(x-1) +Inx-1>ex-1-2x+Inx+1. 令g(x)=ex-1-2x十lnx+1,则只需证当x>1时g(x)>0. 易知g'(x)=ex-1-2十是， 令h(x)=g(x),则h(x)=e-1-意在(1，十o)上单调递增， 则当x>1时，h'(x)>h'(1)=0, 所以h(x)=g'(x)在(1，十∞)上单调递增， 所以当x>1时，g'(x)>g'(1)=0,故g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以当x>1时，g(x)>g(1)=0, 即当x>1时，f(x)<e-1. 法二（作差法直接求导证明）设g(x)=a(x一1)一lnx十1一e-1,只需证当x >1时g(x)<0即可. 易知g'(x)=a-是-e-1, 令h(x)=g(x),则h(x)=是-e-1,， 由基本初等函数的单调性可知h(x)在(1，十∞)上单调递减， 则当x>1时，h'(x)<h'(1)=1-1=0, 所以h(x)=g(x)在(1，十∞)上单调递减， 于是当x>1时，g'(x)<g'(1)=a-2, ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又a≤2，所以a-2≤0，则当x>1时，g'(x)<0,故g(x)在(1，+∞)上单调递 减， 所以当x>1时，g(x)<g(1)=0, 即当x>1时，f(x)<e-1 【研透高考·攻重点】 【例1】证明：设g(x)=f(x)-ln(x+1)=2sinx-sin2x-ln(x+1), 则g(r)=-4eos2x+2cosx+2-中： 当号≤x≤5时，1-克>0，所以g(x)>-4cos2x+2cosx+1, 又-4os2x+2cosx+1=-4(c0sx-)2+(0≤cosx≤号)， 所以-4cos2x+2cosx十1>0，所以g'(x)>0在区间[号，号]上恒成立. 所以y=g(x)在区间[号，受]上单调递增， 所以g6)≥g(停)-号-血（得+1）>号-暗≈号-0.739>0， 所以当号≤x≤号时，f(x)>n(x+1), 跟踪训练 证明：要证f(x)≤g(x),即证xex-x-lnx-1≥0. 令F(x)=xex-x-lnx-1,则F'(x)=(x+1)ex-是-1=(x+1)(ex-是)，x >0. 令G(x)=e-是，x>0,则G(x)=e十意>0， 所以G(x)在(0，十∞)上单调递增， 又因为G(3)=√-2<0，G(1)=e-1>0, 所以3o∈（号，1），使得G(xo)=0,即e0=嘉， 当x∈(0，o)时，G(x)<0,当x∈(xo,+o)时，G(x)>0, 所以F(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递增， 所以F(x)min=F(xo)=xoe0-x0一lnxo一1. 又因为e0=嘉，即0=-no,所以F(x)mm=1一o十x0-1=0, 所以F(x)≥0，即xe-x-lnx-1≥0，故f(x)≤g(x)得证. 【例2】证明：要证：2-是<警，只需证e(2-专)<1nx, 又易证e>x+1>0(0<x<1), 所以只需证明1nx+(x十1)（是一x2)>0, 即证lnx十1-x3+-x2>0,而当x∈(0,1)时，x3<,x2<x, 所以只需证lnx+1-2x+袁>0， ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 令g(x)=lnx+1-2x+克，x∈(0,1)， 则g)=克-2-京=-2斗， 2 而2x2-x十1>0恒成立，所以g'(x)<0, 所以g(x)在(0,1)上单调递减，所以当x∈(0,1)时，g(x)>g(1)=0,即 lnx+1-2x+是>0， 所以x2-是<袋得证. 跟踪训练 证明：(1)因为tanx·f(x)=sinx,记g(x)=sinx一x,则当x∈[0，号)时， g(x)=cosx-1≤0，所以g(x)在[0，号)上是减函数，所以g(x)≤g(0)=0, 即tanx“f(x)≤x (2)要证明2ex·f(x)≥(1十x)（2-x2), 即证明c·cos≥+，x∈[0，号). 2 因为e≥x十l,又由(1)可知，当x∈[0，号)时，sinx≤x, 所以ecosx-=e(1-2sim2受)≥(x+1)[1-2(多)2]=(1+)(1-号). 故x∈[0，号)时，2ex·f(x)≥(1+x)·(2-x2). 【例3】证明：lnx十a-1≥☆，即为lnx+a-1≥x(x>0), 即ln(xem)-l十点≥0， 令t=xea,可得t>0,即证明lnt-1+≥0(t>0). 设g()=n1-1+片(1>0)，则g()=-寺=号， 当t∈(0,1)时，g'(t)<0,函数g(t)单调递减： 当t∈(1，+∞)时，g'(t)>0,函数g(t)单调递增， 所以g(t)≥g(1)=n1-1+1=0,即lnt-1+≥0(t>0). 所以lnx+a-1≥F· 跟踪训练 证明：f(x)的定义域为(0，+∞)， f(x)=2x-a十是=221 由题意得2x2一x十1=0的两个不等的实根为1,2， △=a2-8>0, X1+X2=号>0， 则 81x2=支， 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.gom○ 您身边的互联网+教辅专家 解得a>2W2. 故f(x十x2)=(x十x2)2-a(x十)十ln(x1十)=￥-号+ln号=-号+ln号. 设g(a)=-譬+ln瞪(a>22), 则g(a)=-号十持=<0， 故g(a)在(2W2,十∞)上单调递减， 所以g(a)<g(22)=-2+lnv2. 因此f(:十x2)<-2+lnV2. ·独家授权侵权必究· 第4讲　大题专攻——利用导数证明不等式 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 作差（商）法证明不等式 利用导数证明不等式问题是高考的热点和难点，多以解答题的形式出现，一般难度较大 放缩法证明不等式 变量代换法证明不等式 二、真题感悟 1.（2023·新高考Ⅰ卷19题）（作差法、构造法证明不等式）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x. （1）讨论f（x）的单调性； （2）证明：当a＞0时，f（x）＞2ln a＋. 2.（2024·全国甲卷文20题）（放缩法、作差法证明不等式）已知函数f（x）＝a（x－1）－ln x＋1. （1）讨论f（x）的单调性； （2）设a≤2，证明：当x＞1时，f（x）＜ex－1. 重｜难｜排｜查 　常用放缩技巧 （1）指数型放缩：ex≥x＋1（当且仅当x＝0时取等号），ex－1≥x，即ex≥ex（当且仅当x＝1时取等号），ex≤（x＜1）（当且仅当x＝0时取等号）； （2）对数型放缩：ln（x＋1）≤x（当且仅当x＝0时取等号），1－≤ln x≤x－1（x＞0）（当且仅当x＝1时取等号）； （3）三角放缩：sin x≤x≤tan x（0≤x＜）（当且仅当x＝0时取等号），sin x≥x≥tan x（－＜x≤0）（当且仅当x＝0时取等号）. 　　 作差（商）法证明不等式 【例1】　已知函数f（x）＝2sin x－sin 2x.当≤x≤时，求证：f（x）＞ln（x＋1）（注：ln≈0.739）. 感悟提升 作差（商）法证明不等式 　　待证不等式的两边含有相同的变量时，一般地，可以直接通过作差（商）法，转化为与0（作差）或与1（作商）比较大小的问题，进而构造差（商）函数，通过研究其单调性等性质，转化为函数最值问题，从而证明不等式. 　（2024·湖南“一起考”大联考改编）已知函数f（x）＝－x＋ln x＋1，g（x）＝xex－2x.求证：f（x）≤g（x）. 放缩法证明不等式 【例2】　已知x∈（0，1），求证：x2－＜. 感悟提升 　　放缩法的实质就是将待证不等式通过适度放缩，转化为多个不等式的证明问题.某些不等式直接构造函数不易求其最值，可以利用熟知的函数不等式进行放缩，有利于简化后续导数的求解或函数值正负的判断；也可以利用局部函数的有界性进行放缩，再构造函数进行证明. 　已知f（x）＝cos x，x∈［0，）. （1）求证：tan x·f（x）≤x； （2）求证：2ex·f（x）≥（1＋x）（2－x2）. 变量代换法证明不等式 【例3】　已知函数f（x）＝－xeax，求证：ln x＋ax－1≥. 感悟提升 变量代换法证明不等式的三种常见方法 （1）消元法：借助题设条件，建立x1与x2的等量关系，如x2＝g（x1），从而将f（x1，x2）＞A的双变量不等式化成h（x1）＞A的单变量不等式； （2）换元法：结合题设条件，有时需要先对含有双变量的不等式进行“除法”变形，再对含有双变量的局部代数式进行“换元”处理，将双变量问题等价转化为单变量问题，即构建形如的形式； （3）构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子，根据“相同结构”构造辅助函数. 　已知函数f（x）＝x2－ax＋ln x.若函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1＋x2）＜－2＋ln. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $