专题4 培优点1 球的切、接问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习学生用书Word

培优点1　球的切、接问题 　　几何体与球的切、接问题，尤其是多面体与旋转体的外接球是历年高考命题的热点与重点，此类问题的实质是计算球的半径或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键. 空间几何体的外接球 【例1】　（1）已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是（　　） A.100π　　B.40π C.20π　　D.16π （2）已知圆台上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（　　） A.π B.5π C.π D.7π 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求解空间几何体的外接球问题的策略 （1）定球心：球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 1.（2024·湖南九校联盟第二次联考）如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，则此四面体的外接球表面积为（　　） A.3π B.9π C.36π D.48π 2.（2022·新高考Ⅱ卷7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　） A.100π B.128π C.144π D.192π 空间几何体的内切球 【例2】　（1）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直线为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（　　） A. B. C. D. （2）在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 　　空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径. 　（2024·武汉五调）已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1∶2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为　　　　. 与球切、接有关的最值问题 【例3】　（2024·长沙新高考适应性考试）已知正四棱锥P-ABCD的顶点均在球O的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球O体积的最小值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 感悟提升 求解与球切、接有关的最值问题的策略 （1）转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的最值问题来解决； （2）转化为平面几何问题：根据题目的特征，寻找或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决； （3）利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值. 1.（2024·聊城二模）已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为（　　） A. B. C. D. 2.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为2.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为　　　　.（球的厚度可忽略不计） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点1　球的切、接问题 【例1】　（1）C　（2）C 解析：（1） 过△ABD的中心E作平面ABD的垂线，过△BCD的中心F作平面BCD的垂线，两垂线交于点O，连接OD，依据题中条件可知，O为四面体ABCD的外接球球心，因为AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，所以DF＝2，OF＝1，则OD＝＝，即外接球半径为，则该球的表面积为4π（）2＝20π，故选C. （2） 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面，设AB的中点为O1，CD的中点为O，则O为球心，O1A＝1.连接OO1，OA，设圆台的高为h，由题意知球O的半径R＝OA＝OD＝2，则在Rt△OO1A中，h＝OO1＝＝＝，所以圆台的体积V＝×（22×π＋＋12×π）×＝.故选C. 跟踪训练 1.B　 将四面体P-ABC补形成长方体，长方体的长、宽、高分别为2、1、2，四面体P-ABC的外接球即为长方体的外接球，而长方体的外接球的直径等于长方体的体对角线长，设外接球的半径为R，故2R＝＝3，所以外接球表面积为S＝4πR2＝9π.故选B. 2.A　由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上.设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋O＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋O＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A. 【例2】　（1）B　（2）A　 解析：（1） 旋转体的轴截面如图所示，其中O为内切球的球心，过O作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，则OE＝OF＝r（r为内切球的半径），故AO＝＝r，CO＝＝r，故5＝AO＋OC＝r＋r，故r＝，故旋转体的内切球的表面积为4π×（）2＝.故选B. （2） 由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，又AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，所以三棱锥A-BCD的表面积S＝2××3×4＋2××4×5＝32，三棱锥A-BCD的体积V＝××3×4×4＝8.设三棱锥内切球球心为O，半径为r，由V＝VO-ABC＋VO-ABD＋VO-ACD＋VO-BCD＝Sr，得r＝＝，所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×（）3＝. 跟踪训练 　　解析： 如图，作出正四棱台的轴截面，设上底面边长为2x，则下底面边长为4x，则CM＝CF＝x，BM＝BE＝2x，∠CIM＝∠MIF，∠BIM＝∠MIE，故∠CIB＝∠CIM＋∠BIM＝（∠MIE＋∠MIF）＝90°，在Rt△CIB中，IM⊥CB，则由射影定理，IM2＝CM·BM得2x2＝1，解得x＝，于是棱台的上底面面积为（2x）2＝2，下底面面积为（4x）2＝8，高为2，故该正四棱台的体积为V＝×2×（2＋＋8）＝. 【例3】　π　解析：设正四棱锥P-ABCD底面的边长为a，高为h，所以正四棱锥的体积V＝a2h＝1，则a2h＝3.如图，连接AC，记AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥底面ABCD，正四棱锥P-ABCD外接球的球心O在直线PO1上.连接OA，设外接球的半径为R，则OA＝OP＝R，又O1A＝，OO1＝｜h－R｜，所以OA2＝O1A2＋O1O2，即R2＝（）2＋｜h－R｜2，得2hR＝h2＋a2，因为a2h＝3，所以R＝＋.令f（h）＝＋，h＞0，则f'（h）＝，由f'（h）＝0，得h＝，当0＜h＜时，f'（h）＜0，当h＞时，f'（h）＞0，所以函数f（h）在（0，）上单调递减，在（，＋∞）上单调递增，所以当h＝时，半径R取得最小值，且最小值为，所以外接球体积的最小值为×（）3π＝π. 跟踪训练 1.A　 设圆柱底面半径为r，高为h，球的半径为R，则R2＝h2＋r2，S＝πR2，S1＝2πrh，V＝·πR3＝πR3，V1＝πr2h，所以＝＝＝＋≥2＝1，当且仅当r＝h时等号成立，此时R＝r，所以＝＝＝.故选A. 2.4π　解析： 当球与下底面和侧面均相切时，圆台及球的轴截面如图所示，设E，F分别为梯形上、下底边的中点，连接EF，则CE＝1，DF＝3.过点C作CH⊥AD，交AD于点H，记点G为侧面的切点，O为球心，连接OG，OC，则FD＝DG＝3，CH＝EF＝2，FH＝EC，所以CD＝＝＝4，所以CG＝CD－DG＝1，所以CE＝CG，所以Rt△OEC≌Rt△OGC，所以OE＝OG，即球与上底面也相切，故此时球的半径R＝＝，所以该球体积的最大值为πR3＝π·（）3＝4π. 学科网（北京）股份有限公司 $