内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗保康第二中学2025-2026学年人教版九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题(每小题3分,共24分）. 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．5x2+1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+2x﹣y＝0 2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图1，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝70°，∠OBC＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．25° C．35° D．70° 4．（3分）某村庄在进行如何避免“新型冠状病毒”感染的宣传活动中，将以下几种注意事项分别写在条幅上进行张贴，内容分别是：①注意防寒保暖、室内通风和个人卫生；②加强体育锻炼；③保持清淡饮食；④避免到人群密集场所活动；⑤用肥皂和清水或含有酒精的洗手液洗手；⑥出门戴口罩．小明从以上6条宣传条幅中随机抽取一条进行张贴，恰好抽到⑤或⑥的概率是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）一个菱形两条对角线的长是方程x2﹣8x+12＝0的两个根，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．6或12 C．8 D．6 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 7.（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 8．（3分）如图4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②BC平分∠ABD；③BD＝2OF＝CF；④△AOF≌△BED，其中一定成立的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+q＝0有两个实数根，则q　 　 ． 10．（3分）将抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+9向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为　 　 ． 11．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为　 　 ． 12.（3分）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是　 　 ． 13．（3分）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 3、 解答题 14.（8分）解方程： (1)； (2) 15．（9）分如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)将绕点C顺时针旋转，点B的对应点的坐标为 ； (2)画关于原点成中心对称的； (3)若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ． 16．（10分）为弘扬中华传统文化，某初中初三年级举办了“国学经典大赛”．比赛项目：A．宋词；B．论语；C．唐诗；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小明参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率是多少？ （2）小芳和小华组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）∠A＝45°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 18．（12分）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由； （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 19．（12分）过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 2025-2026学年九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共14小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C D B A A 一、选择题（每小题给出的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑.每小题3分，共24分）. 1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．5x2+1＝0 B．ax2+bx+c＝0 C． D．x2+2x﹣y＝0 【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【解答】解：A．关于x的方程5x2+1＝0是一元二次方程，选项A符合题意； B．当a＝0时，关于x的方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，选项B不符合题意； C．∵关于x的方程x21＝0不是整式方程， ∴关于x的方程x21＝0不是一元二次方程，选项C不符合题意； D．∵方程x2+2x﹣y＝0含有两个未知数， ∴方程x2+2x﹣y＝0不是一元二次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转 180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键． 3．（3分）如图1，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠AOB＝70°，∠OBC＝50°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．25° C．35° D．70° 【分析】由圆周角定理得到∠ACB∠AOB＝35°． 【解答】解：∵∠AOB＝70°， ∴∠ACB∠AOB＝35°． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 4．（3分）某村庄在进行如何避免“新型冠状病毒”感染的宣传活动中，将以下几种注意事项分别写在条幅上进行张贴，内容分别是：①注意防寒保暖、室内通风和个人卫生；②加强体育锻炼；③保持清淡饮食；④避免到人群密集场所活动；⑤用肥皂和清水或含有酒精的洗手液洗手；⑥出门戴口罩．小明从以上6条宣传条幅中随机抽取一条进行张贴，恰好抽到⑤或⑥的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据概率公式计算即可． 【解答】解：抽到⑤或⑥的概率， 故选：C． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5．（3分）一个菱形两条对角线的长是方程x2﹣8x+12＝0的两个根，则该菱形的面积为（　　） A．12 B．6或12 C．8 D．6 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，得到菱形的两条对角线的长分别为2和4，再利用菱形的面积公式求出面积即可． 【解答】解：x2﹣8x+12＝0， ∴（x﹣2）（x﹣6）＝0， ∴该方程的解为：x1＝2，x2＝6， 即菱形的两条对角线的长分别为2和6， ∴这个菱形的面积为：， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，菱形的性质，解决问题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，及菱形的面积公式． 6．（3分）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据二次函数的图象判断a、b的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：由二次函数图象，得出a＞0，0，b＜0， A、一次函数图象，得a＞0，b＞0，故A错误； B、一次函数图象，得a＞0，b＜0，故B正确； C、一次函数图象，得a＜0，b＞0，故C错误； D、一次函数图象，得a＜0，b＜0，故D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 7．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣8 【分析】利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积． 【解答】解：利用对称性可知：阴影部分的面积＝扇形AEF的面积﹣△ABD的面积4×2＝4π﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 8．（3分）如图4，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②BC平分∠ABD；③BD＝2OF＝CF；④△AOF≌△BED，其中一定成立的是（　　） A．①② B．①③④ C．①②④ D．③④ 【分析】根据平行和等腰推出角平分线，根据垂径定理得出边的关系，分析推导即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD，故①正确； ∵OC∥BD， ∴∠OCB＝∠DBC， ∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴∠DBC＝∠OBC， ∴BC平分∠ABD，故②正确； ∵OC∥BD， ∴∠AFO＝∠ADB＝90°， ∴OC⊥AD， ∴F为AD中点， ∴BD＝2OF，但无法推出2OF＝CF，故③不符合题意； 在△AOF和△BED中，只有∠AFO＝∠EDB＝90°， 证明△AOF≌△BED缺少条件，故④不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了圆的知识点，数形结合是解决本题的关键，熟练运用几何知识点分析推导是难点． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+6x+q＝0有两个实数根，则q　≤9　 ． 【分析】由原方程有两个实数根，可得出Δ≥0，解之即可得出q的取值范围． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+q＝0有两个实数根， ∴Δ＝62﹣4×1×q＝36﹣4q≥0， 解得：q≤9． 故答案为：≤9． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键． 10．（3分）将抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+9向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6 ． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝﹣3（x﹣2）2+9向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线的解析式为：y＝﹣3（x﹣2+2）2+9﹣3．即y＝﹣3x2+6． 故答案为：y＝﹣3x2+6 11．（3分）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2018年销量为125.6万辆，销量逐年增加，到2020年销量为130万辆．设年平均增长率为x，可列方程为125.6（1+x）2＝13 . 【分析】设年平均增长率为x，由题意得等量关系：2018年销量×（1+增长率）2＝2020年销量，根据等量关系列出方程． 【解答】解：设年平均增长率为x，可列方程为： 125.6（1+x）2＝130， 故答案为：125.6（1+x）2＝13 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． 12．（3分）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是y2<y3<y1 A． B． C． D． 【分析】通过计算二次函数在各点的函数值，可得其大小关系． 【解答】解：∵ 二次函数为， ∴ 当时，； 当时，； 当时，． ， ． 故答案为：y2<y3<y． 【点评】本题考查了二次函数的增减性，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； 13．（3分）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【分析】连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理． 4、 解答题 14.（8分）解方程： (1) (2) 【分析（1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【解答】（1）解：， ， ， ， 原方程的解是，； （2）， ， ， ， 或， 原方程的解为，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用这四种方法是解一元二次方程的关键． 15．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为、、． (1)将绕点C顺时针旋转，点B的对应点的坐标为 ； (2)画关于原点成中心对称的； (3)若点D在第二象限，且以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则D的坐标为 ． 【分析】（1）将绕点C顺时针旋转画出来，进而求解即可； （2）根据题意依次描出点、点和点，并连接即可； （3）分三种情况：①是平行四边形；②是平行四边形；③是平行四边形，根据平移的性质分别求出的坐标，再判断D点是否在第二象限即可． 【解答】（1）解：将绕点C顺时针旋转，如下图： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 由图可得，点B的对应点的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵关于原点成中心对称的， ∴点为，点为，点为， 则依次描点并连接即可，如下图： （3）解：①四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移3个单位，再向上移1个单位，就可得到． ∴将向左移3个单位，再向上移1个单位，即可得到； ②四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到 ∴将向左移2个单位，再向上移3个单位，就可得到； ③四边形是平行四边形时，，． 根据平移的性质把向右移2个单位，再向下移3个单位，就可得到． ∴将向右移2个单位，再向下移3个单位，即可得到，此时在轴上，不符合题意，舍去． 综上，满足条件的点的坐标为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了坐标系中的平移和旋转作图，熟练掌握平移或旋转前后点的坐标的变化关系是解题的关键． 16．（10分）为弘扬中华传统文化，某初中初三年级举办了“国学经典大赛”．比赛项目：A．宋词；B．论语；C．唐诗；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”． （1）小明参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“唐诗”的概率是多少？ （2）小芳和小华组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则如下：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明． 【分析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“唐诗”的结果有1种， ∴恰好抽中“唐诗”的概率为． （2）列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的结果有（B，D）共1种， ∴恰好小芳抽中“三字经”且小华抽中“论语”的概率是． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 17．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）∠A＝45°，⊙O的半径为5，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，则OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，而DE⊥AC于点E，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线． （2）设⊙O交AC于点F，连接OF、OD，作DH⊥AB于点F，由∠A＝45°，⊙O的半径为5，得∠OFA＝∠A＝45°，OF＝OA＝OD＝OB＝5，则∠AOF＝90°，求得S扇形OAF，S△OAF，可证明∠HDO＝∠HOD＝45°，则OH＝DH，由ODDH＝5，得DH，求得S扇形OBD，S△OBD，则S阴影＝S扇形OAH﹣S△OAH+S扇形OBD﹣S△OBD． 【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC于点E， ∴∠ODE＝∠DEC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD于点D， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：设⊙O交AC于点F，连接OF、OD，作DH⊥AB于点F，则OF＝OA，∠OHD＝90°， ∵∠A＝45°，⊙O的半径为5， ∴∠OFA＝∠A＝45°，OF＝OA＝OD＝OB＝5， ∴∠AOF＝180°﹣∠OFA﹣∠A＝90°， ∴S扇形OAF，S△OAF5×5， ∵OD∥AC， ∴∠BOD＝∠A＝45°， ∴∠HDO＝∠HOD＝45°， ∴OH＝DH， ∵ODDH＝5， ∴DH， ∴S扇形OBD，S△OBD5， ∴S阴影＝S扇形OAH﹣S△OAH+S扇形OBD﹣S△OBD， ∴阴影部分的面积为． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．（12分）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD． （1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明； （2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由； （3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论． 【分析】（1）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）根据SAS证明△AOC≌△BOD，再根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）AC＝BD，AC⊥BD． 理由如下：延长BD交AC于E， ∵△OAB和△OCD是有公共顶点O的等腰直角三角形， ∴∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠ADE＝∠BDO， ∴∠AED＝∠BOD＝90°， ∴AC⊥BD； （2）线段AC与BD还存在（1）中的关系， 理由如下： 延长BD交AC 于点F，交AO于G， ∵△OAB和△OCD是有公共顶点O的等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD， ∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠AGF＝∠BGO， ∴∠AFG＝∠BOG＝90°， ∴AC⊥BD； （3）AC＝BD，AC⊥BD． 若AC与BD交于G，OA与BD交于点H， 同（1）（2）可证明△AOC≌△BOD（ SAS ）， ∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD， ∵∠AHD＝∠BHO， ∴∠AGB＝∠BOH＝90°， ∴AC⊥BD． 【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，旋转的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 19．（12分）过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【分析】（1）根据，，可得，将，代入，利用待定系数法求解； （2）由二次函数的对称性可得，，当点P在直线上时，和最小，因此求出直线与对称轴的交点即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设，则点，则，根据列式求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：点P是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C， ， ， 当点P在直线上时，和最小， 对称轴：直线， 设直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴ （3）解：抛物线于轴交于，两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． 过点作轴的平行线交于点， 设，则点， 则， ， ∴， 解得或． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $