新情境1 与三角函数相关的新情境问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

与三角函数相关的新情境问题 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 例　(1) （2023·四川绵阳·统考模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点，处分别作切线相交于点，测得切线，，，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（    ） A．0.62 B．0.56 C． D． 【答案】A 【分析】由图形可知，由余弦定理求出，可得. 【详解】由题意，，所以， 切线，，由切线长定理，不妨取， 又，由余弦定理， 有， . 故选：A （2）滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃的诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为12 m，在它们的地面上的点M(B，M，D三点共线)测得楼顶A、滕王阁顶部C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得滕王阁顶部C的仰角为30°，则小明估算滕王阁的高度为(精确到1 m)(　　) A．42 m B．45 m C．51 m D．57 m 答案　D 解析　由题意得，在Rt△ABM中， AM＝， 在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°， ∠AMC＝180°－15°－60°＝105°， 所以∠ACM＝30°， 由正弦定理得＝， 所以CM＝·AM＝， 又sin 15°＝sin(45°－30°) ＝×－×＝， 在Rt△CDM中，CD＝CMsin 60°＝＝＝36＋12≈57(m)． (3) （2023·山西临汾·统考二模）如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们需要研究两个平面之间所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，记二面角的大小为，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C． D．点到平面的距离的最大值为 【答案】AB 【分析】运用线面垂直判断定理及线面垂直的性质及向量加法及数量积运算可判断A项、B项，运用余弦定理及余弦函数的单调性可判断C项，建立空间直角坐标系运用点到面的距离公式计算及三角函数的最值问题求解即可判断D项. 【详解】如图所示， 过A作且，连接CE、ED，则四边形ABDE为平行四边形， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，面， ∴面， 又∵， ∴面， ∴，， 由题意知，，， 所以，， ∵， ∴， 对于A项，当时，代入得：， 又因为， 所以，故A项正确； 对于B项，当时，代入得：，故B项正确； 对于C项，在△CAE中，， 在△CAD中，， ∵，， ∴①当时，，则， ②当时，，则， ③当时，，则，故C项不成立； 对于D项，以A为原点，分别以AE、AB、AZ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 设面BCD的一个法向量为， 则，取， 所以点A到面BCD的距离为， 又因为， 所以， 所以当时，d取得最大值为，故D项错误； 故选：AB. 规律方法　解三角形实际问题的步骤 跟踪演练　(1) （2023·吉林·统考二模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观,某同学在与塔底水平的A处利用无人机在距离地面21的C处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面1的B处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为（    ） A．15 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可求得为直角三角形，计算出点与塔顶的高度差，即可求得塔高. 【详解】根据题意可得，m，m，所以m； 设塔顶为点，作于，如下图所示： 易知，所以， 所以m，同理m， 即塔高m； 所以该塔的高度为16. 故选：B (2) （2023·江苏苏州·苏州市第五中学校校考模拟预测）我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动.如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑到的位置，且，，三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为24cm，则当伞完全张开时，的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出，，，再根据余弦定理求出，最后由二倍角的余弦公式可求出结果. 【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，， 因为为的中点，所以， 当伞完全收拢时，，所以， 在中，， 所以. 故选： A （3）如图是某所大学数学爱好者协会的会标，其内部是一个边长为的正五边形，外面一圈是五个全等的四边形.其中.则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、中，利用正弦定理求，结合题中数据运算求解. 【详解】如图，取内部正五边形靠近点的顶点，连接， 在中，可得， 由正弦定理可得，所以， 连接，易知， 在中，由正弦定理可知，即， 所以四边形的周长， 因为，， 所以，，即，， 所以周长. 故选：C. 专题强化练 1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）火箭造桥技术是我国首创在陡峭山区建桥的一种方法.由两枚火箭牵引两条足够长的绳索精准的射入对岸的指定位置，是建造高空悬索桥的关键.位于湖北省的四渡河大桥就是首次用这种技术建造的悬索桥.工程师们需要测算火箭携带的引导索的长度（引导索比较重，如果过长影响火箭发射），已知工程师们在建桥处看对岸目标点的正下方地面上一标志物的高为，从点处看点A和点俯角为，．求一枚火箭应至少携带引导索的长度（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在Rt中可得，在中，利用正弦定理运算求解即可. 【详解】在Rt中，， 在中，可知， 由正弦定理可得：，即， 所以. 故选：C. 2．（2023·广西·统考模拟预测）某园区有一块三角形空地（如图），其中，，，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可知为一个圆上的动点，当圆心、点P、点C共线（点P在中间位置）时取得最小值，再用余弦定理求解即可. 【详解】如图，因为，所以在如图所示的圆上， 圆的半径为， 由圆周角的性质可得，，， 连接，可得， 所以当为与圆的交点时，取最小值，即， 又，在中，，，， 根据余弦定理可知， 所以的最小值为. 故选：B 3. 雷达是利用电磁波探测目标的电子设备，电磁波在大气中大致沿直线传播，受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝＋＝＋(如图)，其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8 490 km，故R远大于h1，h2.假设某探测目标高度为25 m，为保护航母的安全，须在直视距离412 km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为(参考数据：≈4.12)(　　) A．6 400 m B．8 100 m C．9 100 m D．1 000 m 答案　C 解析　根据题意可知L＝412 km， R＝8 490 km，h2＝0.025 km， 因为L＝＋ ＝＋， 即412＝＋ ≈＋20.6， 解得h1≈9.02(km)≈9 100(m)． 所以舰载预警机的巡航高度至少约为9 100 m. 4.如图，已知A，B，C，D四点在同一条直线上，且平面PAD与地面垂直，在山顶P点测得点A，C，D的俯角分别为30°，60°，45°，并测得AB＝200 m，CD＝100 m，现欲沿直线AD开通穿山隧道，则隧道BC的长为(　　) A．100(＋1)m B．200(＋1)m C．200 m D．100 m 答案　C 解析　由题意可知A＝30°，D＝45°， ∠PCB＝60°， 所以∠PCD＝120°，∠APC＝90°，∠DPC＝15°， 因为sin 15°＝sin(45°－30°) ＝×－×＝， 所以在△PCD中， 由正弦定理得＝， 即＝， 解得PC＝100(＋1)m， 所以在Rt△PAC中， AC＝2PC＝200(＋1)m， 所以BC＝AC－AB＝200(m)． 5.如图是建党百年展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．现分别从地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝60 米，则OP等于(　　) A．40米 B．30米 C．30 米 D．30 米 答案　C 解析　如图所示，设OP＝h， 由题意知∠OAP＝30°， ∠OBP＝45°. 在Rt△AOP中， OA＝＝h， 在Rt△BOP中，OB＝h. 在△ABO中，由余弦定理， 得OA2＝AB2＋OB2－2AB·OBcos 60°， 代入数据计算得到h＝30(米)． 即OP＝30(米)． 6. （2023·河南·校联考模拟预测）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值. 【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为. 设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示. 由且可得， 在中，由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理，得， 所以，， 即，可得，当且仅当时等号成立. 在中，， 由余弦定理可得 ， 即，即，当且仅当时等号成立， 因此，这块四边形木板周长的最大值为. 故选：D. 7.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为(　　) A．3米 B．4米 C．6(－1)米 D．3(＋1)米 答案　C 解析　如图，根据题意得∠ACB＝15°， ∠ACD＝105°， ∠ADC＝30°， ∠CAD＝45°， CD＝24米， 所以∠CAD＝45°， 在△ACD中，由正弦定理得 ＝， 即＝， 解得AC＝12(米)， 在Rt△ACB中，sin∠ACB＝， 即sin 15°＝， 解得AB＝12sin 15°＝12sin(60°－45°) ＝12× ＝12× ＝3(－)＝6(－1)米． 8.如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为________平方海里． 答案　3　15 解析　由圆的内接四边形对角互补，得 cos∠BCD＝cos(π－∠BAD)＝－cos∠BAD ＝>0， 又∠BCD为锐角，所以sin∠BCD＝＝， 在△BCD中，由正弦定理得 ＝＝5，则BD＝3(海里)． 在△BCD中，由余弦定理得 (3)2＝CD2＋52－2×CD×5×， 整理得CD2－8CD－20＝0，解得CD＝10(负根舍去)． 所以S△BCD＝×10×5×＝15(平方海里)． 9.（2023·山东济南·统考三模）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米. 【答案】 【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可. 【详解】由题意，，所以， 所以在中，，， 又，所以， 在中，由正弦定理得，，所以， 在中，， 由余弦定理得，， 所以. 故答案为： 10.（2023·全国·模拟预测）山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米． 【答案】 【分析】设，根据题意结合列式求解即可. 【详解】如图，过点A作作垂线，垂足为， 由题意可知，，米， 设米，则米，米， ∵，则，解得， 所以估算木塔的高度为米． 故答案为：. 5 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $