专题5 第3讲 大题专攻——直线与圆锥曲线的位置关系-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

第3讲　大题专攻——直线与圆锥曲线的位置关系 备｜考｜领｜航 一、考情分析 高频考点 高考预测 直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、相切问题） 直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，涉及直线与圆锥曲线的相交、相切、弦长、面积以及中点弦等问题，难度中等 轨迹问题 二、真题感悟 1.（2024·新高考Ⅰ卷16题）（直线与椭圆的位置关系）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点. （1）求C的离心率； （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 解：（1）由题意得解得 所以e＝＝＝. （2）法一　kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， ｜AP｜＝＝， 由（1）知C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0， 则＝，解得m＝6或m＝－18， 当m＝6时，联立 解得或 即B（0，－3）或（－3，－）， 当B（0，－3）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B（－3，－）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 法二　同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B（x0，y0），则 解得或 即B（0，－3）或（－3，－），以下同法一. 2.（2022·新高考Ⅰ卷21题）（直线与双曲线的位置关系）已知点A（2，1）在双曲线C：－＝1（a＞1）上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. （1）求l的斜率； （2）若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积. 解：（1）将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1， 化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2， 故双曲线C的方程为－y2＝1. 由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 联立直线l与双曲线C的方程并整理得（2k2－1）x2＋4kbx＋2b2＋2＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝. kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0， 化简得2kx1x2＋（b－1－2k）（x1＋x2）－4（b－1）＝0， 故＋（b－1－2k）－4（b－1）＝0， 整理得（k＋1）（b＋2k－1）＝0， 又直线l不过点A，即b＋2k－1≠0，故k＝－1. 故直线l的斜率为－1. （2）不妨设直线PA的倾斜角为θ，由题意知∠PAQ＝π－2θ， 所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝＝2， 解得tan θ＝或tan θ＝－（舍去）， 由得x1＝， 所以｜AP｜＝｜x1－2｜＝， 同理得x2＝，所以｜AQ｜＝｜x2－2｜＝. 因为tan∠PAQ＝2，所以sin∠PAQ＝， 故S△PAQ＝｜AP｜｜AQ｜sin∠PAQ＝×××＝. 重｜难｜排｜查 1.椭圆＋＝1（a＞b＞0） （1）切线方程：过椭圆上点P（x0，y0）处的切线方程是＋＝1； （2）椭圆中，长轴是最长的弦，过焦点的所有弦长中，通径最短，通径长l＝；距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点； （3）中点弦的斜率：AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kAB＝－（如果焦点在y轴上，则有kAB＝－），且kOM·kAB＝－. 2.双曲线－＝1（a＞0，b＞0） （1）过双曲线上一点P（x0，y0）处的切线方程是－＝1； （2）双曲线上距焦点最近的点是相应的对称轴同侧顶点； （3）渐近线是双曲线的特定直线，由焦点向渐近线引垂线，焦点到相应渐近线的距离等于双曲线的虚半轴长b； （4）AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝，即kAB＝（如果焦点在y轴上，则有kAB＝）； （5）过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，则｜AB｜＝. 3.抛物线y2＝2px（p＞0） （1）过抛物线上一点P（x0，y0）处的切线方程是y0y＝p（x＋x0）； （2）过抛物线y2＝2px外一点P（x0，y0）引两条切线的切点弦方程是y0y＝p（x＋x0）； （3）一条直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，当OA与OB垂直时，x1·x2＝4p2；y1·y2＝－4p2；直线AB过定点（2p，0）； （4）设AB是抛物线的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则直线AB的斜率k＝. 直线与圆锥曲线的位置关系 考向1　弦长问题 【例1】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为. （1）求椭圆C的方程； （2）设斜率存在的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值. 解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意得 ∴c＝，b＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1. （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知＝，得m2＝（k2＋1）. 把y＝kx＋m代入椭圆方程并整理，得（3k2＋1）x2＋6kmx＋3m2－3＝0. Δ＝36k2m2－4（3k2＋1）（3m2－3）＝36k2－12m2＋12＞0. ∴x1＋x2＝，x1x2＝. ∴｜AB｜2＝（1＋k2）（x2－x1）2 ＝（1＋k2）［－］ ＝＝ ＝3＋＝3＋（k≠0）≤3＋＝4. 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立. 当k＝0时，｜AB｜＝，综上所述｜AB｜max＝2. ∴当｜AB｜最大时，△AOB的面积取得最大值Smax＝×｜AB｜max×＝. 感悟提升 求圆锥曲线中弦长的常用方法 （1）“设而不求法”，利用弦长公式·｜x1－x2｜＝·或·｜y1－y2｜＝·（k≠0）求弦长，这是求弦长的一般方法； （2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p. 考向2　中点弦问题 【例2】　已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为. （1）证明：a＝b； （2）若点M（，－）在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，O为坐标原点.求直线l的方程. 解：（1）证明：因为e＝＝＝＝＝，所以＝，所以a＝b. （2）由（1）知，椭圆C的方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2，当点M（，－）在椭圆C的内部时，（）2＋3×（－）2＜3b2，可得b＞. 设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则 所以＝－，由已知可得 两式作差得（x1＋x2）（x1－x2）＋3（y1＋y2）（y1－y2）＝0， 所以＝－＝－×（－）＝， 所以直线l的方程为y－（－）＝（x－），即y＝x－， 所以直线l的方程为x－y－＝0. 感悟提升 中点弦问题的解决方法 （1）对于中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ＞0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交； （2）用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤 考向3　切线问题 【例3】　若P是椭圆E：＋y2＝1内的一点（不在E的轴上），过点P作直线交E于A，B两点，且点P为AB的中点，椭圆E1：＋＝1（m＞n＞0）的离心率为，点P也在E1上，求证：直线AB与E1相切. 证明：由条件可知，直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y＝kx＋d， 由得（1＋4k2）x2＋8kdx＋4d2－4＝0，Δ1＞0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2d＝， 所以点P的坐标为（，）. 因为椭圆＋＝1（m＞n＞0）的离心率e＝，所以＝，得m2＝4n2. 由得（4k2＋1）x2＋8kdx＋4d2－4n2＝0，Δ2＝16（4n2k2－d2＋n2）. 因为点P在椭圆E1上，所以（）2＋4（）2＝4n2， 所以4k2d2＋d2＝n2（1＋4k2）2，所以d2＝n2（1＋4k2）， 所以Δ2＝16（4n2k2－d2＋n2）＝0， 所以直线AB与椭圆E1相切. 感悟提升 判断（证明）直线l与圆锥曲线C相切的一般思路 　　将直线l的方程f1（x，y）＝0与圆锥曲线C的方程f2（x，y）＝0联立，即消去y（或x）得ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）： （1）若a≠0且方程ax2＋bx＋c＝0（或ay2＋by＋c＝0）的判别式Δ＝0时，直线l与圆锥曲线C相切； （2）若a＝0时，直线l与圆锥曲线C不相切. 1.（2024·郑州第三次质量检测）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1和A2，离心率为，且经过点P（－2，），过点P作PH垂直x轴于点H.在x轴上存在一点A（异于H），使得＝. （1）求椭圆C的标准方程； （2）判断直线AP与椭圆C的位置关系，并证明你的结论. 解：（1）由题意得e2＝1－＝，将P（－2，）代入椭圆方程得＋＝1，联立方程组， 解得所以椭圆C的方程为＋＝1. （2）直线AP与椭圆C相切. 理由如下： 设A（x，0），由＝，得＝，解得x＝－8， 此时A（－8，0），直线AP的方程为y＝（x＋8）， 联立直线AP与椭圆C的方程，得消y得，x2＋4x＋4＝0，解得x＝－2. 由方程组只有一组解，所以直线AP与椭圆C相切. 2.已知抛物线T：y2＝2px（p＞0）和椭圆C：＋＝1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点. （1）若F恰是椭圆C的焦点，求p的值； （2）若p∈N*，且MN恰好被AB平分，求△OAB的面积. 解：（1）在椭圆中，c2＝a2－b2＝2，所以c＝，由＝，得p＝2. （2）设直线l：x＝my＋（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程消去x得y2－2mpy－p2＝0， Δ＝4m2p2＋4p2＞0，则 设AB的中点为G（x0，y0），则y0＝mp，x0＝m2p＋， 设M（x3，y3），N（x4，y4），则直线MN的斜率为－m， 由＋＝1，＋＝1，相减得到＋＝0，即－my0＝0， 即－m2p＝0，解得m2＝， 由点G在椭圆内，得＋＜1，解得p2＜2， 因为p∈N*，所以p＝1， 所以S△OAB＝×｜y1－y2｜＝＝. 轨迹问题 【例4】　（2024·唐山二模）已知椭圆C的右焦点为F（1，0），其四个顶点的连线围成的四边形面积为4；菱形ABDE内接于椭圆C. （1）求椭圆C的标准方程； （2）坐标原点O在边AB上的投影为点P，求点P的轨迹方程. 解：（1）根据题意设椭圆C的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由已知得，×2a×2b＝4，即ab＝2，由c＝1可得，a2－b2＝1， 联立解得，a＝2，b＝， 故椭圆C的标准方程为＋＝1. （2）①如图，当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m， 由得（3＋4k2）x2＋8kmx＋4m2－12＝0， 由题意Δ＝64k2m2－4（3＋4k2）（4m2－12）＝48（4k2－m2＋3）＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，x1x2＝， 于是y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m） ＝k2x1x2＋km（x1＋x2）＋m2 ＝＋km（－）＋m2 ＝ ＝. ∵四边形ABDE为菱形，∴OA⊥OB，∴·＝0， 即x1x2＋y1y2＝＋＝0， ∴7m2＝12（k2＋1），即m2＝.（*） 依题意，OP⊥AB，故点O到直线AB：kx－y＋m＝0的距离为d＝｜OP｜＝， 两边平方并将（*）代入可得，｜OP｜2＝＝＝， 设点P（x，y），则x2＋y2＝， 即点P的轨迹方程为x2＋y2＝. ②当直线AB的斜率不存在时，四边形ABDE为正方形， 此时求得P（±，0）， 也适合x2＋y2＝， 综上可得点P的轨迹方程为x2＋y2＝. 感悟提升 动点轨迹问题的解题思路 （1）求动点的轨迹方程，常用的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法（代入法）；④参数法； （2）判断动点的轨迹，通常用定义直接判断，若较复杂的问题可先求出轨迹方程，再判断轨迹. 　已知A（－1，0），B为圆C：（x－1）2＋y2＝8上的动点，线段AB的垂直平分线交BC于点P. （1）求｜PA｜＋｜PC｜的值，并求点P的轨迹E的方程； （2）若过点A的直线l交轨迹E于M，N两点，求△CMN面积的最大值. 解：（1）由已知得圆C的圆心坐标为C（1，0），半径r＝2. 因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以｜PA｜＝｜PB｜， 又r＝｜PB｜＋｜PC｜， 所以｜PA｜＋｜PC｜＝2， 所以结合椭圆的定义知，点P的轨迹E是以A，C分别为左、右焦点的椭圆. 设点P的轨迹E的方程为＋＝1（a＞b＞0），半焦距为c（c＞0）， 则所以a＝，结合a2＝b2＋c2，得b＝1， 所以点P的轨迹E的方程为＋y2＝1. （2）由已知可得直线l的斜率不为0，则可设l的方程为x＝my－1，M（x1，y1），N（x2，y2）， 由消去x并整理得，（m2＋2）y2－2my－1＝0，Δ＞0， 则 所以S△CMN＝｜AC｜｜y1－y2｜＝｜y1－y2｜＝＝＝. 令t＝m2＋1（t≥1），则S△CMN＝＝＝≤＝，当且仅当t＝＝1，即m＝0时取等号， 所以△CMN面积的最大值为. 1.（2024·重庆学业质量调研）已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，－y1）是双曲线上不同的两个动点. （1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程； （2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值. 解：（1）由A1，A2为双曲线的左、右顶点，知A1（－，0），A2（，0）， 则直线A1P：y＝（x＋）， 直线A2Q：y＝（x－）， 两式相乘，得y2＝（x2－2）， 而点P（x1，y1）在双曲线上， ∴－＝1，即＝， 故所求轨迹E的方程为y2＝－（x2－2）， 即＋y2＝1. （2）设l1：y＝kx＋h，则由l1⊥l2，知l2：y＝－＋h. 将l1：y＝kx＋h代入＋y2＝1，得＋（kx＋h）2＝1， 即（1＋2k2）x2＋4khx＋2h2－2＝0， 由l1与轨迹E只有一个交点，知Δ＝16k2h2－4（1＋2k2）（2h2－2）＝0，即1＋2k2＝h2. 同理，由l2与轨迹E只有一个交点知1＋＝h2. 消去h2，得＝k2，即k2＝1， ∴h2＝1＋2k2＝3，∴h＝. 2.已知椭圆＋＝1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点. （1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度； （2）当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程. 解：（1）直线l的方程为y－2＝（x－4），即y＝x. 设A（x1，y1），B（x2，y2），联立 消去y，整理得x2－18＝0，则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是｜AB｜＝·｜x1－x2｜ ＝＝×6＝3， 所以线段AB的长度为3. （2）法一（根与系数的关系、中点坐标公式法）　由题意知，直线l的斜率存在，设l的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－4）. 联立 消去y，得（1＋4k2）x2－（32k2－16k）x＋（64k2－64k－20）＝0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝. 因为线段AB的中点恰好为P（4，2）， 所以＝＝4，解得k＝－，且满足Δ＞0. 所以直线l的方程为y－2＝－（x－4），即y＝－x＋4. 法二（点差法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 两式相减得＋＝0， 整理得kAB＝＝－. 因为P（4，2）是线段AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以kAB＝－＝－， 所以直线AB的方程为y－2＝－（x－4），即y＝－x＋4. 法三（共线法）　设A（x，y），由于点P（4，2）为线段AB的中点，因此B（8－x，4－y）. 因为A，B两点都在椭圆上， 所以 ①－②，得x＋2y－8＝0. 即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－8＝0. 3.已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与C2：x2＝2qy（q＞0）都经过点A（4，8）. （1）若直线l与C1，C2都相切，求l的方程； （2）若点M，N分别在C1，C2上，且＋＝，求△AMN的面积. 解：（1）将点A（4，8）代入y2＝2px（p＞0）中，得64＝8p，解得p＝8. 将点A（4，8）代入x2＝2qy（q＞0）中，得16＝16q，解得q＝1， 所以C1的方程为y2＝16x，C2的方程为x2＝2y. 由题意知，直线l斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m. 联立消去x，得ky2－16y＋16m＝0， 因为直线l与C1相切，所以Δ＝（－16）2－4×16km＝0，整理得km＝4.　① 联立消去y，得x2－2kx－2m＝0， 因为直线l与C2相切，所以Δ'＝4k2＋8m＝0.　② 由①②解得k＝m＝－2. 所以直线l的方程为y＝－2x－2，即2x＋y＋2＝0. （2）因为点M，N分别在C1，C2上，可设M（，a），N（b，）， 由＋＝，得（8－b－，16－a－）＝（9，18）， 即化简得 由2×③－④，可得2b－a＋－＝0，整理得（2b－a）（2b＋a－8）＝0. （ⅰ）若2b－a＝0，由④知b2＋4b＋4＝0，所以b＝－2，a＝－4，所以M（1，－4），N（－2，2）； （ⅱ）若2b＋a－8＝0，由④知b2－4b＋20＝0，方程无解. 所以直线MN的方程为y－2＝（x＋2），即2x＋y＋2＝0， ｜MN｜＝＝3， 点A到直线MN的距离为＝ ， 所以△AMN的面积S△AMN＝×3×＝27， 所以△AMN的面积为27. 4.（2024·连云港阶段性调研）已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋. （1）求椭圆E的方程； （2）椭圆上有四个动点A，B，C，D，且AD与BC相交于点P. ①若点P的坐标为（4，2），A为椭圆的上顶点，B为椭圆的右顶点，求CD的斜率； ②若直线AB与CD的斜率均为－时，求直线OP的斜率. 解：（1）由椭圆E的离心率为，故＝， 由椭圆上的点到焦点的最远距离是2＋，故a＋c＝2＋， 解得a＝2，c＝，故b2＝a2－c2＝1， 即椭圆E的方程为＋y2＝1. （2）①由椭圆E的方程为＋y2＝1，则A（0，1），B（2，0），则lAD：y＝x＋1，即lAD：y＝x＋1， lBC：y＝（x－2），即lBC：y＝x－2， 联立直线AD与椭圆方程，有消去y可得5x2＋8x＝0， 解得x＝0或x＝－，由A（0，1），故xD＝－，则yD＝，即D（－，）， 联立直线BC与椭圆方程，有消去y可得5x2－16x＋12＝0， 解得x＝或x＝2，由B（2，0），故xC＝，则yC＝－，故C（，－）， 则kCD＝＝－. ②设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），P（m，n）， 设＝λ（λ≠0）， 则有即 由A在椭圆E上，故＋＝1， D在椭圆E上，故有＋（）2＝1， 化简得λ2＋2mλx1＋m2＋4λ2＋8nλy1＋4n2＝4λ2＋8λ＋4， 由＋＝1，即有λ2＋4λ2＝4λ2， 则有2mλx1＋8nλy1＋m2＋4n2＝8λ＋4， 由直线AB与CD的斜率均为－，故AB∥CD， 则有＝λ（λ≠0），同理可得2mλx2＋8nλy2＋m2＋4n2＝8λ＋4， 故直线lAB：2mλx＋8nλy＋m2＋4n2＝8λ＋4， 即有－＝－＝－，即＝， 则kOP＝＝. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $