专题1 培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书Word

培优点　极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心 极化恒等式及应用 极化恒等式：已知a，b是两个平面向量，a·b＝[（a＋b）2－（a－b）2]. 变式：a·b＝－，a·b＝－. （1）平行四边形形式：平行四边形ABCD中，·＝（－）； （2）三角形形式：△ABC中，·＝－（O为BC的中点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差. 【例1】　（1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝，｜a－b｜＝，则a·b＝（　A　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.5 （2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是[0，2]. 解析：（1）由极化恒等式可知，a·b＝＝＝1.故选A. （2）当弦MN的长度最大时，MN为球O的直径，连接PO，如图所示，则·＝－＝－1.因为P为正方体表面上的动点，故PO∈[1，]，所以·∈[0，2]. 感悟提升 利用极化恒等式快速求解平面向量问题的高分大招 　　适用范围：①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接转化；②不共起点和不共终点的两向量的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题.在确定求数量积的两个向量共起点的情况下，可使用如下大招： 1.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·＝. 解析：连接EG，FH交于点O（图略），则·＝－＝1－（）2＝，·＝－＝1－（）2＝，因此·＋·＝. 2.已知AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则（＋）·的最小值是－. 解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为AB的中点，所以（＋）·＝2·，由极化恒等式得·＝－＝－，因此当P为OC的中点，即｜｜＝0时，（＋）·取得最小值－. “奔驰定理”与三角形的四心 1.奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0. 2.“奔驰定理”与三角形的“四心”（四心在三角形内部） （1）O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔＋＋＝0； （2）O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔a＋b＋c＝0； （3）O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0； （4）O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C⇔tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 【例2】　（1）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且｜｜＝｜｜＝｜｜，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的（　C　） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 （2）已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m＝（　C　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析：（1）因为｜｜＝｜｜＝｜｜，所以点O为△ABC的外心，因为＋＋＝0，所以点N为△ABC的重心，因为·＝·＝·，所以点P为△ABC的垂心.故选C. （2）法一　延长CO到点M（图略），使得＝－，因为＋2＋m＝0，所以－＝＋，即＝＋，所以A，B，M三点共线，又因为与反向共线，所以＝，所以＝＝＝，解得m＝4. 法二（奔驰定理法）　根据奔驰定理，由＋2＋m＝0，所以S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以＝＝⇒m＝4. 感悟提升 1.已知P为△ABC内一点，且x＋y＋z＝0（x，y，z∈R，xyz≠0，x＋y＋z≠0），则有： （1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜； （2）＝｜｜，＝｜｜，＝｜｜. 2.涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件. 1.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若＝λ＋μ，则3λ＋6μ＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　＝λ＋μ可化为＋λ－λ＋μ－μ＝0，整理得（1－λ）＋（λ－μ）·＋μ＝0，所以（1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝，μ＝，所以3λ＋6μ＝3×＋6×＝3. 2.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝，如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为，x，y，求x＋y的最大值. 解：由奔驰定理得，＋x＋y＝0，即＝2x＋2y，两边平方得＝4x2＋4y2＋8xy｜｜·｜｜·cos∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜｜＝｜｜＝｜｜，且∠BPC＝2∠BAC＝，∴x2＋y2＋xy＝，从而（x＋y）2＝＋xy≤＋（ ）2，解得0＜x＋y≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴（x＋y）max＝. 1.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝（　　） A.－ B.－ C.－ D.－ 解析：B　由极化恒等式得·＝－＝－1＝－. 2.点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 解析：A　根据奔驰定理，得3＋2＋4＝0，即3＋2（＋）＋4（＋）＝0，整理得＝＋.故选A. 3.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是（　　） A. B.2 C. D. 解析：B　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化恒等式可得·＝－＝｜｜2－，所以当P与A（B）重合时，｜｜＝最大，从而（·）max＝2. 4.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（ ＋），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 解析：B　∵－＝，∴＝λ（ ＋），令＋＝，则是以A为始点，向量与为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在∠BAC的平分线上，∵＝λ，∴，共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故选B. 5.△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2，则△BGC的面积为（　　） A.12 B.8 C.4 D.4 解析：C　cos A＝＝＝，又A∈（0，π），∴A＝，∴S△ABC＝×6×8×sin ＝12，又G为△ABC的重心，∴＋＋＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝S△ABC＝4. 6.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值为（　　） A.－2 B.－ C.－ D.－1 解析：B　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·（＋）＝2·＝2（｜｜2－｜｜2）＝2［｜｜2－（）2］≥2×（0－）＝－，当且仅当｜｜＝0时，取等号，∴·（＋）的最小值为－. 7.（多选）如图，设P，Q为△ABC内的两点，且＝＋，＝＋，则（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：AC　由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以2＋2＋＝0，＝＝.由＝＋，可得＋－＋－＝0，整理得＋＋＝0，所以＝＝，＝. 8.（多选）已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则（　　） A.·＝－ B.存在点P，使｜｜＜｜｜ C.·＝0 D.AC＝BC 解析：AD　如图所示，取BC的中点D，连接PD，根据向量的极化恒等式，有·＝－，·＝－.又·≥·，所以｜｜≥｜｜，A正确，B错误；由点P为边AB上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜｜，从而DP0⊥AB，所以·≠0，C错误；取AB的中点E，连接CE，则由P0B＝AB知，CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确. 9.△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2＋2＋3＝0，则△ABC的外接圆面积为. 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2＋2＋3＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝（a＋b＋c）·r，∴×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cos C＝－，sin C＝，又2R＝＝⇒R＝＝，∴外接圆面积S＝πR2＝. 10.已知点P，Q在△ABC内，＋2＋3＝2＋3＋5＝0，则＝. 解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝. 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $