中档题保分练7-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦中档题保分训练，覆盖三角函数性质、统计方差、立体几何、数列、解析几何等高考核心考点。依据高考评价体系分析考点权重，如三角函数单调区间占15%、立体几何计算占20%，归纳单调区间求解、方差计算等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”，以正四面体截面面积题为例，用数学眼光分析空间关系，通过导数应用题培养数学思维。设置“易错陷阱警示”如双曲线渐近线斜率计算误区，帮助学生掌握得分技巧。教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

中档题保分练7 （时间：50分钟　满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数f（x）＝ sin ωx cos φ＋ cos ωx sin φ（ω＞0，0＜φ＜ ），f （x1）＝0，f（x2）＝1，若｜x1－x2｜的最小值为 ，且f（ ）＝ ， 则f（x）的单调递增区间为（　　） A. ，k∈Z B. ，k∈Z C. ，k∈Z D. ，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 解析：　因为f（x）＝ sin ωx cos φ＋ cos ωx sin φ＝ sin （ωx＋φ）， 又f（x1）＝0，f（x2）＝1，且｜x1－x2｜的最小值为 ，所以 ＝ ， 即T＝2π，又ω＞0，所以ω＝ ＝1，所以f（x）＝ sin （x＋φ），又f （ ）＝ ，所以 sin （ ＋φ）＝ ，即 cos φ＝ ，因为0＜φ＜ ，所以 φ＝ ，所以f（x）＝ sin （x＋ ），令－ ＋2kπ≤x＋ ≤ ＋ 2kπ，k∈Z，解得－ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z，所以函数f（x） 的单调递增区间为 ，k∈Z. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班 级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 10，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 （　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　设5个数据分别是x1，x2，x3，x4，x5，则由方差为4得（x1－ 10）2＋（x2－10）2＋（x3－10）2＋（x4－10）2＋（x5－10）2＝20， 显然最大值不可能大于14，假如x5≥15，则（x5－10）2≥25，不合题 意；若最大值为14，不妨设x5＝14，（x5－10）2＝16，则（x1－10） 2，（x2－10）2，（x3－10）2，（x4－10）2只能三个0，一个4，或四个 1，不合题意；若最大值为13，不妨设x5＝13，此时如x1＝7，x2＝9，x3 ＝10，x4＝11，满足题意.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则（参考数据：ln 2≈0.7）（　　） A. a＞b＞c B. b＞a＞c C. b＞c＞a D. c＞a＞b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　因为a＝ ＝ ＝ ，c＝ ，考虑构造函数f（x） ＝ ，则f'（x）＝ ，当0＜x＜e时，f'（x）＞0，函数f（x）在 （0，e）上单调递增，当x＞e时，f'（x）＜0，函数f（x）在（e，＋ ∞）上单调递减，因为ln 2≈0.7，所以e0.7≈2，即 ＞（e0.7）2≈4，所 以3＜4＜ ，所以 ＞ ＞ ，即 ＞ ＞ ，又 ＜ ，所以 ＞ ＞ ，故b＞a＞c，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中 点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则球O被平面 BCD截得的截面面积为（　　） A. B. C. D. π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　在棱长为2的正四面体ABCD中，连接AN， DN，过O作OE⊥DN于E，如图，由M，N分别为 棱AD，BC的中点，得AN⊥BC，DN⊥BC，而 AN∩DN＝N，AN，DN⊂平面AND，则BC⊥平面 AND，又BC⊂平面BCD，于是平面AND⊥平面 BCD，而平面AND∩平面BCD＝DN，因此OE⊥平面BCD，而AN＝DN＝ ，DM＝1，MN⊥AD，则MN＝ ，球O半径ON＝ MN＝ ， sin ∠DNM＝ ＝ ，从而OE＝ON· sin ∠DNM＝ × ＝ ，球O被平面BCD截得的截面圆半径r＝ ＝ ，所以球O被平面BCD截得的截面面积S＝πr2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分） 5. 已知定义在R上的偶函数满足f（x＋2）＝f（x－2），且当x∈[0，2] 时，f（x）单调递减，则下列四个命题中正确的是（　　） A. T＝4 B. 直线x＝－2为函数y＝f（x）图象的一条对称轴 C. 函数f（x）在区间[－2，9]上存在3个零点 D. 若f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，则x1＋x2＝－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　对于A，因为f（x＋2）＝f（x－2），所以周期T＝4，故A正确；对于B，因为f（x）为偶函数，所以f（x＋2）＝f（－x－2），又f（x＋2）＝f（x－2），所以f（－x－2）＝f（x－2），所以f（x）的图象关于直线x＝－2对称，故B正确；对于C，若当x∈[0，2]时，f（x）无零点，则根据周期性和对称性可推出f（x）无零点，故C错误；对于D，因为f（x）的图象关于直线x＝－2对称，f（x）＝m在区间[－4，0]上的根为x1，x2，所以x1＋x2＝2×（－2）＝－4，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 已知双曲线C： － ＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲 线具有如下光学性质：从右焦点F2发出的光线m交双曲线右支于点P， 经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F1，如图所示.若 双曲线C的一条渐近线的方程为 x－y＝0，则下列结论正确的有（　） A. 双曲线C的方程为 － ＝1 B. 若m⊥n，则｜PF1｜·｜PF2｜＝12 C. 若射线n所在直线的斜率为k，则k∈（－ ， ） D. 当n过点M（8，5）时，光由F2→P→M所经过的路 程为10 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　对于A ，由题意可知a＝2，因为双曲线C的一条渐近线的 方程为 x－y＝0，所以 ＝ ，即b＝2 ，所以双曲线的方程为 － ＝1，故A正确；对于B，由a＝2，b＝2 ，得c2＝22＋（2 ）2 ＝16，解得c＝4，在△PF1F2中，∠F1PF2＝90°，由勾股定理及双曲 线的定义知，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜ PF1｜·｜PF2｜＝4a2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2，即2｜PF1｜·｜PF2｜ ＝4（c2－a2）＝4b2＝48，解得｜PF1｜·｜PF2｜＝24，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为y＝± x，由双曲线的性质可得射线n所在直线的斜率范围为（－ ， ），故C正确；对于D，由题意可知，F1（－4，0），当n过点M（8，5）时，由双曲线定义可得，光由F2→P→M所经过的路程为｜F2P｜＋｜PM｜＝｜F1P｜＋｜PM｜－2a＝｜MF1｜－4＝ －4＝9，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 7. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱 昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故 又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13， 21，34，…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0＝ 1，a1＝1，an＝an－1＋an－2（n≥2，n∈N*），A＝{a1，a2，…，a2 024}，B⊆A且B≠⌀中，则B中所有元素之和为奇数的概率 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：由斐波那契数列规律可知，集合A＝{a1，a2，…，a2 024}中的元 素有674个偶数，1 350个奇数，记A中所有偶数组成的集合为C，所有 奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，集合D中含有奇数个元素的 子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成E∪F，显然集合E 共有2674个，集合F共有 ＋ ＋ ＋…＋ ＝21 349 个，所以所有元素之和为奇数的集合B共有2674×21 349＝22 023个，又集 合A的非空子集共有22 024－1个，所以B中所有元素之和为奇数的概率 为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 已知圆C是以点M（2，2 ）和点N（6，－2 ）为直径的圆，点P 为圆C上的动点，若点A（2，0），点B（1，1），则2｜PA｜－｜ PB｜的最大值为 ⁠. 解析：由题设，知C（4，0）且｜MN｜＝ ＝8，即圆C的半径 为4，∴圆C：（x－4）2＋y2＝16，如图，坐标系 中D（－4，0），则｜OD｜＝2｜AC｜＝｜CP｜ ＝｜OC｜＝4，∴ ＝ ＝ ， ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 即△APC∽△PCD，故 ＝ ，∴2｜PA｜－｜PB｜＝｜PD｜－｜PB｜，在△PBD中｜PD｜－｜PB｜＜｜BD｜，∴要使｜PD｜－｜PB｜最大，P，B，D共线且最大值为｜BD｜的长度.∴｜BD｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 9. （本小题满分15分）如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形， AC是圆柱的底面直径，PC是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，AB ＝AD，∠BAD＝60°. （1）记圆柱的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：由题设得AC⊥BD，BD＝2 EC，AE＝ BD＝3EC，AC＝4EC，于是 V1＝π·（ AC）2·CP＝4π·EC2·CP， V2＝ × AC·BD·CP＝ EC2·CP， 所以 ＝ π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）设点F在线段AP上，PA＝4PF，PC＝4CE，求二面角F-CD-P 的余弦值. 解：以C为坐标原点， 的方向为x轴正方 向，｜ ｜为单位长，建立如图所示的空间直角坐 标系C-xyz. 由（1）和题设得 ＝ ＝ ， 所以 ＝（1，0，3）， ＝（1， ，0）， ＝（0，0，4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设平面FCD的法向量为n＝（x，y，z），则 即 可取n＝（－3， ，1）. 设平面PCD的法向量为m＝（p，q，r），则 即 可取m＝（－3， ，0）. 所以 cos ＜n，m＞＝ ＝ . 因此二面角F-CD-P的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. （本小题满分15分）已知数列{an}的首项a1＝ ，且满足an＋1＝ . （1）求证：数列{ －1}为等比数列； 解：证明：因为an＋1＝ ， 所以 ＝ ＝ . 又 －1＝ ≠0，所以数列{ －1}是一个首项为 ，公比为 的 等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）设数列{bn}满足bn＝求最 小的实数m，使得b1＋b2＋…＋b2k＜m对一切正整数k均成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：由（1）知，当n为偶数时，bn＝ －1＝ ， 当n为奇数时， bn＝ ＋ －2＝ － ， 故b1＋b2＋…＋b2k ＝（b1＋b3＋…＋b2k－1）＋（b2＋b4＋…＋b2k） ＝（ － ）＋（ － ）＋…＋（ － ）＋ ＋ ＋…＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ＝2－ ＋ ＝ － － ， 当k∈N*时， ＋ ＞0， 则 － － ＜ ， 所以m的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ex＋ cos x，g（x）＝ax＋2. （1）求f（x）在x＝0处的切线方程； 解：f（x）＝ex＋ cos x，f'（x）＝ex－ sin x， 故f（0）＝2，f'（0）＝1，所以f（x）在x＝0处的切线方程 为：y－2＝1·（x－0）， 即x－y＋2＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）记函数h（x）＝f（x）－g（x），x∈[0，＋∞）. ①当a＝2时，求证：h（x）≥0不恒成立； ②若h（x）≥0恒成立，求实数a的最大值. 解：①证明：当a＝2，h（x）＝ex＋ cos x－2x－2， x∈[0，＋∞）. h'（x）＝ex－ sin x－2，x∈[0，＋∞）， 令m（x）＝ex－ sin x－2，m'（x）＝ex－ cos x≥0， 所以m（x）在[0，＋∞）上单调递增，又因为m（x）min＝m （0）＝e0－ sin 0－2＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 所以存在x0∈[0，＋∞），使得m（x）＝0， 则当x∈[0，x0），m（x）＜0，则h'（x）＜0， 当x∈（x0，＋∞），m（x）＞0，则h'（x）＞0， 所以h（x）在[0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增， 而h（x）min＝h（x0）＜h（0）＝e0＋ cos 0－2＝0， 所以h（x）≥0不恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②因为h（0）＝0，所以一定有h'（0）＝1－a≥0，即a≤1（必要性）； 下证充分性， 当a≤1时，h（x）＝ex＋ cos x－ax－2≥ex＋ cos x－x－2 令u（x）＝ex＋ cos x－x－2，u'（x）＝ex－ sin x－1， 令k（x）＝ex－ sin x－1，k'（x）＝ex－ cos x≥0在[0，＋∞）上恒成立， 所以k（x）在[0，＋∞）上单调递增，k（x）≥k（0）＝e0－ sin 0－1＝0， 所以u'（x）≥0，故u（x）在[0，＋∞）上单调递增，u（x）≥u（0）＝0， 故h（x）≥0，满足充分性. 综上，a≤1. 所以实数a的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $