中档题保分练2-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦函数导数、立体几何、向量、数列等高考核心考点，严格对接高考评价体系，通过中档题保分训练明确各模块权重，归纳单项选择、填空、解答等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“考点突破+解题建模+素养提升”，如函数导数最值问题通过单调性分析培养数学思维，立体几何线面角计算借助空间向量发展数学眼光。特设易错点警示和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此高效指导学生冲刺高考。

中档题保分练2 （时间：50分钟　满分：87分） 一、单项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设O为坐标原点，圆M：（x－1）2＋（y－2）2＝4与x轴切于点A， 直线x－ y＋2 ＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则 · ＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 解析：　由题意A（1，0），圆心M（1，2），M（1，2）到直线x － y＋2 ＝0距离为 ，所以BC＝2 ＝ ，直线x－ y ＋2 ＝0的斜率为 ，则其倾斜角为 ，则 与 的夹角为 ，所 以 · ＝｜ ｜｜ ｜ cos ＜ ， ＞＝1× × ＝ . 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 已知函数f（x）＝ x3＋ x2－2x＋1，若函数f（x）在（2a－2，2a＋ 3）上存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A. ［－ ， ） B. ［－ ， ） C. （－ ， ］ D. （－ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　f（x）＝ x3＋ x2－2x＋1，f'（x）＝x2＋x－2＝（x＋2） （x－1），当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＜－2 或x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极 小值，在x＝－2处取得极大值.令f（x）＝f（1），解得x＝1或x＝－ ，又∵函数f（x）在（2a－2，2a＋3）上存在最小值，∴－ ≤2a －2＜1＜2a＋3，解得－ ≤a＜ ，即a的取值范围是［－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 在棱长为2a（a＞0）的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为 棱AB，D1C1的中点.已知动点P在该正方体的表面上，且 · ＝ 0，则点P的轨迹长度为（　　） A. 12a B. 12πa C. 24a D. 24πa √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　因为 · ＝0，故P点轨迹为以MN为直径 的球，如图，易知MN中点即为正方体中心O，球心在每 个面上的射影为面的中心，设O在底面ABCD上的射影 为O1，又正方体的棱长为2a，所以MN＝2 a，易知 OO1＝a，O1M＝a，又动点P在正方体的表面上运动， 所以点P的轨迹是六个半径为a的圆，轨迹长度为 6×2πa＝12πa，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ∀x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋3），f（－1）＝0， 则f（2 024）＝（　　） A. 2 B. 1 C. 0 D. －1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　由题意知∀x∈R，f（x）＋f（x＋3）＝1－f（x）f（x＋ 3），f（－1）＝0，令x＝－1，则f（－1）＋f（2）＝1－f（－1）f （2），∴f（2）＝1.显然f（x）＝－1时，－1＋f（x＋3）＝1＋f （x＋3）不成立，故f（x）≠－1，故f（x＋3）＝ ，则f（x ＋6）＝ ＝f（x），即6为函数f（x）的周期，则f（2 024） ＝f（337×6＋2）＝f（2）＝1，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分） 5. 已知复数z，下列说法正确的是（　　） A. 若z－ ＝0，则z为实数 B. 若z2＋ ＝0，则z＝ ＝0 C. 若｜z－i｜＝1，则｜z｜的最大值为2 D. 若｜z－i｜＝｜z｜＋1，则z为纯虚数 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：　设z＝a＋bi（a，b∈R），则 ＝a－bi，若z－ ＝0，即（a＋bi）－（a－bi）＝2bi＝0，即b＝0，则z为实数，故A正确；若z2＋ ＝0，即（a＋bi）2＋（a－bi）2＝0，化简可得a2－b2＋2abi＋a2－b2－2abi＝0，即a2＝b2，即a＝±b，当a＝b时，z＝a＋ai， ＝a－ai，此时不一定满足z＝ ＝0，当a＝－b时，z＝a－ai， ＝a＋ai，此时不一定满足z＝ ＝0，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若｜z－i｜＝1，即｜z－i｜＝1＝｜a＋（b－1）i｜＝ ＝1，所以a2＋（b－1）2＝1，即z表示以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上的点，且｜z｜表示圆上的点到原点的距离，所以｜z｜的最大值为2，故C正确；若｜z－i｜＝｜z｜＋1，即｜z－i｜＝｜a＋（b－1）i｜＝ ＝｜z｜＋1＝ ＋1，即 ＝ ＋1，化简可得b＝－ ，则a＝0且b≤0，此时z可能为实 数也可能为纯虚数，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒子 中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒 子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以 此类推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2， 3，…，n），则（　　） A. P（A1A2）＝ B. P（A1｜A2）＝ C. P（A1＋A2）＝ D. P（A10）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：对A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A错误；对B，P（A2）＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝ ，所以B正确；对C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所以C正确；对D，由题意：P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An）＝ ×（1＋ ），则P（A10）＝ ×（1＋ ），所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 7. 已知O为坐标原点，点F为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦 点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：由椭圆的对称性可知，AB垂直于x轴，又OA⊥OB，所以 ∠AOF＝ ，所以△AOF为等腰直角三角形，故A（c，c），所以 ＋ ＝1，即a2c2＋b2c2＝a2b2，所以a2c2＋（a2－c2）c2＝a2（a2－ c2），整理得e4－3e2＋1＝0，解得e2＝ 或e2＝ （舍去），故e ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 已知（ ＋ x）n＝a0＋a1（x＋1）＋…＋an（x＋1）n，写出满足条 件①②的一个n的值 ⁠. ①n≥3，n∈N*；②a3≥ai，i＝0，1，2，…，n. 8，9，10或11（答案不唯一） 解析：令x＋1＝t，得（1＋ t）n＝a0＋a1t＋…＋antn，∴ai＝ （ ）i，i＝0，1，2，…，n，由条件②知 ⇒⇒8≤n≤11.又n∈N*，∴n的 值可以为8，9，10或11（答案不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 四、解答题（本题共3小题，共45分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 9. （本小题满分15分）在△ABC中， sin （B－A）＋ sin A＝ sin C. （1）求B的大小； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以 sin C＝ sin （A＋B）. 因为 sin （B－A）＋ sin A＝ sin C，所以 sin （B－A）＋ sin A＝ sin （A＋B）， 即 sin B cos A－ cos B sin A＋ sin A＝ sin B cos A＋ cos B sin A， 化简得 sin A＝2 cos B sin A. 因为A∈（0，π），所以 sin A≠0， cos B＝ . 因为0＜B＜π，所以B＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）延长BC至点M，使得2 ＝ .若∠CAM＝ ，求∠BAC的 大小. 解：法一　设BC＝x，∠BAC＝θ，则CM＝2x. 由（1）知B＝ ，又∠CAM＝ ，所以在△ABM 中，∠AMC＝ －θ. 在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在△ACM中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ .② ①÷②，得 ＝ ，即2 sin θ cos θ＝ ，所以 sin 2θ＝ . 因为θ∈（0， ），2θ∈（0， ），所以2θ＝ 或 ，故θ＝ 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 法二　设BC＝x，则CM＝2x，BM＝3x. 因为∠CAM＝ ＝B，所以△ACM∽△BAM，因此 ＝ ， 所以AM2＝BM·CM＝6x2，AM＝ x. 在△ABM中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ， 化简得 sin ∠BAM＝ . 因为∠BAM∈（0， ），所以∠BAM＝ 或 ，∠BAC＝∠BAM－ ， 故∠BAC＝ 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. （本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1与BB1的距 离为 ，AB＝AC＝A1B＝2，A1C＝BC＝2 . （1）证明：平面A1ABB1⊥平面ABC； 解：证明：取棱A1A中点D，连接 BD，因为AB＝A1B，所以BD⊥AA1， 因为三棱柱ABC-A1B1C1，所以AA1∥BB1， 所以BD⊥BB1，所以BD＝ ， 又因为AB＝2，所以AD＝1，AA1＝2. 因为AC＝2，A1C＝2 ，所以AC2＋A ＝A1C2，所以AC⊥AA1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 同理AC⊥AB， 因为AA1∩AB＝A，且AA1，AB⊂平面A1ABB1，所以AC⊥平 面A1ABB1， 因为AC⊂平面ABC， 所以平面A1ABB1⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若点N在棱A1C1上，求直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的 最大值. 解：AB中点O，连接A1O，取BC 中点P，连接OP，则OP∥AC， 由（1）知AC⊥平面A1ABB1，所以OP⊥平 面A1ABB1， 因为A1O⊂平面A1ABB1，AB⊂平面 A1ABB1， 所以OP⊥A1O，OP⊥AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以O为坐标原点，OP，OB，OA1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz， 则A（0，－1，0），A1（0，0， ），B1（0，2， ），C（2，－1，0）， 可设点N（a，0， ）（0≤a≤2）， ＝（0，2，0）， ＝（2，－1，－ ）， ＝（a，1， ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 设平面A1B1C的法向量为n＝（x，y，z），得 取x＝ ，则y＝0，z＝2，所以n＝（ ，0，2）， 设直线AN与平面A1B1C所成角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜n， ＞｜＝ ＝ × ＝ × ＝ × ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 若a＝0，则 sin θ＝ ； 若a≠0，则 sin θ＝ × ≤ × ＝ ， 当且仅当a＝ ，即a＝2时，等号成立， 所以直线AN与平面A1B1C所成角的正弦值的最大值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. （本小题满分15分）数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4且当n≥2时，3Sn－1，2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列. （1）求数列{an}的通项公式； 解：由题意，n∈N*，在数列{an}中，当n≥2时，3Sn－1， 2Sn，Sn＋1＋2n成等差数列，所以3Sn－1＋Sn＋1＋2n＝4Sn，即Sn＋1－Sn＋2n＝3（Sn－Sn－1）， 所以n≥2时，an＋1＋2n＝3an， 又由a1＝2，a2＝4知n＝1时，an＋1＋2n＝3an成立， 即对任意正整数n均有an＋1＝3an－2n， 所以an－2n＝3an－1－3·2n－1＝3（an－1－2n－1）＝…＝3n－1（a1－2）＝0，从而an＝2n（n∈N*）， 即数列{an}的通项公式为an＝2n（n∈N*）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）在an和an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列{dn}中是否存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由. 解：由题意及（1）得，an＝2n（n∈N*），所以dn＝ ＝ . 假设数列{dn}中存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数 列）成等比数列，则 ＝dmdp， 即（ ）2＝ · ，化简得 ＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 因为m，k，p成等差数列，所以m＋p＝2k，所以（m＋1）（p＋1）＝（k＋1）2，化简得k2＝mp， 又m＋p＝2k，所以（m＋p）2＝4k2＝4mp，即（m－p）2＝0，所以m＝p，所以m＝p＝k，这与题设矛盾，所以假设不成立， 所以在数列{dn}中不存在3项dm，dk，dp（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $