方法15 模型法-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦模型法专题，覆盖函数建模、立体几何对称、圆锥曲线应用等高考核心考点。依据高考评价体系，分析各考点权重，归纳出实际问题抽象、几何模型构建、解析几何综合等常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题示例+模型归纳+素养提升”的复习策略，通过例1物流运输成本函数建模、训练2球内三棱锥体积计算等真题实例，培养学生用数学眼光观察问题、用数学思维推理分析的素养。独创“模型识别-策略匹配-规范求解”三步解题法，帮助学生高效突破函数最值、立体几何体积等高频考点，教师可据此开展精准复习教学，助力学生高考冲刺。

方法15　模型法 PART ONE 　　模型法在高中数学中分为两个层面：其一是在实际问题中，通过分析数据、观察特征，进行抽象、构建，得到函数、数列、排列组合或统计与概率的模型，转而用数学的方法来解决问题；其二是在具体的数学问题中，追根溯源，发现背景，将问题归结为一个或者多个基本模型，这就需要在平时学习中及时总结模型，用对应的策略来处理. 【例1】　（从实际问题中抽象模型）A地组织物流企业的汽车运输队由高 速公路向B地运送物资.已知A地距离B地500 km.设车队从A地匀速行驶 到B地，高速公路限速为60～110 km/h.车队每小时运输成本（单位：元） 由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（单位：km/h）的立方成 正比，比例系数为b，固定部分为a元.若b＝ ，a＝104，为了使全程运 输总成本最低，车队的速度v应为 km/h. 100 解析：由题意知，总成本f（v）是关于速度v的函数，总成本＝每小时运 输成本×时间，分别将每小时运输成本、时间表示为a＋bv3， ，则f （v）＝（a＋bv3） ＝（ 104＋ v3） ＝ ＋ （60≤v≤110），由f'（v）＝－ ＋5v知f（v）在（60，100）上单 调递减，在（100，110）上单调递增，故当v＝100 km/h时总成本最低. 训练1　风车发电是指把风的动能转化为电能.如图，风车由一座塔和三个 叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 .现有一座风车，塔高60米，叶 片长度为30米.叶片按照逆时针方向匀速转动，并且6秒旋转一圈，风车开 始旋转时，某叶片的一个端点P在风车的最低点（P离地面30米），设点 P离地面的距离为S（米），转动时间为t（秒），则S与 t之间的函数解析式为 ， 一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为 秒. S＝60－30 cos t（t＞0） 4 解析：因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为 rad/s，经过t秒时， 叶片转过的圆心角为 t，此时离地面的高度为30＋30（ 1－ cos t），故S ＝60－30 cos t（t＞0）.由S＝60－30 cos t≥45，得 cos t≤ ，因为 0≤t≤6， cos t≤ ，所以 ≤ t≤ ，解得1≤t≤5，故一圈内点P离 地面的高度不低于45米的时长为4秒. 【例2】　（从几何对称中发现模型）有一种制作正二十面体的方法：如 图1，先制作三张一样的黄金矩形ABCD ，然后从长边CD的 中点E出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即OE＝ AD，再沿着与 长边AB平行的方向剪出相同的长度，即OF＝OE，将这三个矩形穿插两 两垂直放置，如图2，连接所有顶点即可得到一个正二十面体，如图3.若 黄金矩形的短边长为4，则按如上方法制作的正二十面体的表面积 为 　80 　，其外接球的表面积为 　（40＋8 ）π　. 80 （40＋8 ）π 解析：由题图知，正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，正二十面 体的棱长为矩形的短边长，即棱长为4，所以正二十面体的表面积为 ×42×20＝80 .设矩形的长边长为2y，由 ＝ 得到矩形的长边长 2y＝2 ＋2.根据对称性可知，外接球的球心在三个黄金矩形的对角线交 点处，所以外接球的直径是黄金矩形的对角线长.设外接球半径为R，则 2R＝ ＝ ，所以外接球的表面积为4πR2＝ （40＋8 ）π. 训练2　已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且 AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为（　　） A. B. C. D. √ 解析：　取AB的中点O'（如图），由等腰直角三角形 的性质可知△ABC的外接圆圆心为O'.由于点A，B，C 均在球O上，故O'O⊥平面ABC，即O'O为三棱锥O- ABC的底面ABC上的高，在△O'AO中，O'O＝ ＝ ＝ ，故三棱锥的体积V＝ S△ABC·O'O＝ × ×1×1× ＝ .故选A. 【例3】　（从圆锥曲线中巧用模型）已知A，B为双曲线E的左、右顶 点，点M在E上（不同于点A，B），△ABM为等腰三角形，且顶角为 120°，则E的离心率为 ⁠. ​ 解析：如图，不妨设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b ＞0），取AM的中点K，因为OK∥BM，所以kAM·kBM ＝kAM·kOK. 对双曲线上任意两点（x1，y1），（x2， y2），有①－②， 得 － ＝0，此处取A（x1，y1），M （x2，y2），则K（ ， ），故kAM·kOK＝ · ＝ .由等腰三角形的几何性质知kAM＝tan 30°，kBM＝kOK＝tan 60°，可知 ＝kAM·kBM＝1，故离心率e＝ . 训练3　已知椭圆 ＋y2＝1，P是椭圆的上顶点，过点P作斜率为k （k≠0）的直线l交椭圆于另一点A，设点A关于原点的对称点为B，线 段PB的中垂线与y轴交于点N，若点N在椭圆内部，求斜率k的取值范围. 解：由模型法可知kPA·kPB＝e2－1＝－ . 设直线PA的斜率为k， 则直线PB：y＝－ x＋1， 联立椭圆方程得B（ ， ）， PB的中点M（ ， ）， 从而PB的中垂线方程为： y－ ＝4k（ x－ ）. 令x＝0，得yN＝－ . 由点N在椭圆内得k∈（ － ，0）∪（ 0， ）. $