方法9 活用特例-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦“活用特例”解题方法，覆盖函数性质、立体几何、向量运算、三角函数等高考高频考点，对接新课标核心素养要求，分析这些考点在选择填空及解答题中的权重分布，归纳特殊值法、特殊点法、特殊函数法等常考题型的解题路径，体现高考备考的针对性与实用性。 课件亮点在于“方法拆解+真题实例+素养落地”，如例1通过特殊直角三角形求解三角函数值，训练3将平行四边形特殊化为矩形简化向量数量积运算，培养学生数学思维与几何直观素养。特设“一题多解对比”和“易错点警示”，帮助学生快速掌握得分技巧，教师可据此精准设计专题训练，提升复习效率。

方法9　活用特例 PART ONE 　　所谓特例法，又叫特殊化法，就是当我们面临一道难以入手的一般性题目时，可以从一般退到特殊，先考查包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径. 【例1】　（取特殊数值）（1）在△ABC中，三边长a，b，c满足a＋c ＝3b，则tan tan 的值为（　C　） A. B. C. D. C 解析：令a＝4，c＝5，b＝3，则符合题意（取满足条件的三边）.则由C＝90°，得tan ＝1.由tan A＝ ，得 ＝ ，解得tan ＝ .所以tan ·tan ＝ ×1＝ .故选C. （2）函数f（x）＝ex－2ax－e＋b≥0对任意x∈R成立，则 的最小值为 （　D　） A. 4 B. 3 D 解析：法一　f'（x）＝ex－2a，依题意得a≠0.当a＜0时，恒有f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）＜－2ax－e＋b＋1，而函数y＝－2ax－e＋b＋1（a，b为参数，x∈（－∞，0））单调递增，值域为（－∞，－e＋b＋1），因此存在x0∈R，当x＜x0时，f（x）＜0，不符合题意.所以a＞0.令ex－2a＝0，得x＝ln 2a，计算并列表如下. x （－∞，ln 2a） ln 2a （ln 2a，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 取最小值 ↗ C. D. 2 所以f（x）min＝f（ln 2a）＝2a－2aln 2a－e＋b，所以2a－2aln 2a－e＋b≥0.又a≠0，则上式可变形为 ≥2ln 2a＋ －2.令g（a）＝2ln 2a＋ －2，a＞0，则g'（a）＝ － ＝ ，计算并列表如下. a （ 0， ） ​ （ ，＋∞） g'（a） － 0 ＋ g（a） ↘ 取最小值 ↗ 所以g（a）min＝g（ ）＝2，所以 的最小值为2.故选D. 法二　令x＝0，则f（0）≥0，得b≥e－1＞0，结合4个选项可得a＞0.令 x＝1，则f（1）≥0，即f（1）＝e－2a－e＋b＝－2a＋b≥0，得 ≥2， 故A、B、C不符合题意，选D. 5 训练1　函数f（x）满足∀x，y∈Z，f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋ 2xy＋1，且f（－2）＝1，则f（2n）（n∈N*）＝（　　） A. 4n＋6 B. 8n－1 C. 4n2＋2n－1 D. 8n2＋2n－5 √ 解析：　法一　令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，所以f （0）＝－1.令x＝y＝－1，则f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＋2＋1＝ 2f（－1）＋3＝1，所以f（－1）＝－1.令x＝1，y＝－1，则f（0）＝f （1）＋f（－1）－2＋1＝f（1）－2＝－1，所以f（1）＝1.令x＝n，y ＝1，n∈N*，则f（n＋1）＝f（n）＋f（1）＋2n＋1＝f（n）＋2n＋ 2，所以f（n＋1）－f（n）＝2n＋2.当n≥2时，f（n）－f（n－1）＝ 2n，则f（n）＝f（n）－f（n－1）＋f（n－1）－f（n－2）＋…＋f （2）－f（1）＋f（1）＝2n＋（2n－2）＋…＋4＋1＝ ＋1 ＝n2＋n－1.当n＝1时，上式也成立，所以f（n）＝n2＋n－1 （n∈N*），所以f（2n）＝4n2＋2n－1（n∈N*）.故选C. 法二　令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋1，所以f（0）＝－1. 令x＝y＝－1，则f（－2）＝f（－1）＋f（－1）＋2＋1＝2f（－1）＋3 ＝1，所以f（－1）＝－1.令x＝1，y＝－1，则f（0）＝f（1）＋f（－ 1）－2＋1＝f（1）－2＝－1，所以f（1）＝1.令x＝y＝1，则f（2）＝f （1）＋f（1）＋2＋1＝5，排除A、B. 令x＝y＝2，则f（4）＝f（2）＋ f（2）＋8＋1＝19，排除D. 选C. 【例2】　（取特殊点（位置））（1）已知E为△ABC的重心，AD为BC 边上的中线，过点E的直线分别交AB，AC于P，Q两点，且 ＝ m ， ＝n ，则 ＋ ＝（　A　） A. 3 B. 4 C. 5 D. A 解析：法一　分别过点B，C作BM∥AD，CN∥AD，分别交PQ于点M，N. ∵D是BC的中点，∴DE是梯形CNMB的中位线.又 ＝m ， ＝n ，∴m＝ ，n＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝1＋ ＋1＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2＋1＝3. 法二　由于直线PQ是过点E的一条“动”直线，∴结果 必然是一个定值.故可利用特殊直线确定所求值.如图1， 令PQ∥BC，则 ＝ ， ＝ ，此时，m＝n ＝ ，故 ＋ ＝3. 法三　如图2，直线BE与直线PQ重合，此时， ＝ ， ＝ ，故m＝1，n＝ ，所以 ＋ ＝3. （2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝1，A1C＝2，∠BAC＝ ，E， F为线段A1C的三等分点，点D在线段EF上（包括端点）运动，则 二面角D-AB-C的正弦值的取值范围为（　C　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ， ］ D. ［ ， ］ C 解析：法一　易知AA1⊥平面ABC，故AA1⊥AC，又AA1＝1，A1C＝2， ∴AC＝ ＝ ，∠A1CA＝ .过D作DM⊥AC交AC于点M（图 略），则DM∥A1A，故DM⊥平面ABC.过M作MN⊥AB交AB于点N，连接DN（图略），则DN⊥AB，∠DNM即二面角D-AB-C的平面角. 设DC＝2a（ ≤a≤ ），在Rt△DCM中，∠DCM＝ ，∴DM＝a，CM＝ a，∴AM＝ － a，MN＝ AM＝ （ － a）.在Rt△DMN中，DN＝ ＝ ，则 sin ∠DNM＝ ＝ ＝ ＝ .易知f（a）＝3（ －1）2＋4在［ ， ］上的值域为［ ，16］，∴ sin ∠DNM∈［ ， ］.故选C. 法二　如图，若D与E重合，易知AA1⊥平面ABC，故 AA1⊥AC，又AA1＝1，A1C＝2，∴AC＝ ＝ ，∠A1CA＝ .过D作DM⊥AC交AC于点M，则 DM∥A1A，故DM⊥平面ABC. 过M作MN⊥AB交AB于 点N，连接DN，则DN⊥AB，∠DNM即二面角D-AB-C 的平面角.DM＝ ，AM＝ ，MN＝ ，则DN＝ ， sin ∠DNM＝ ＝ ，结合选项知C正确. 训练2　（1）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A和B1B上各有一 动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分， 则其体积之比为（　B　） A. 3∶1 B. 2∶1 C. 4∶1 D. ∶1 B 解析：法一　设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，故四棱锥C-PQBA的体积等于三棱锥C-ABA1的体积，等于 V，则几何体CPQ-C1B1A1的体积等于 V，故过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. 法二　将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ（＝0），则有 ＝ ＝ .因此过P，Q，C三点的截面把棱柱分成的两部分体积之比为2∶1. 16 （2）设椭圆C： ＋ ＝1的长轴的左、右端点分别是M，N，P是C上 异于M，N的任意一点，则直线PM与PN的斜率之积等于 ⁠. － 解析：取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点（0， ），又M（－2，0），N（2，0），所以kPM·kPN＝ ×（ － ）＝－ . 【例3】　（取特殊图形）AD，BE分别是△ABC的中线，若｜ ｜＝｜ ｜＝1，且 与 的夹角为120°，则 · ＝ ⁠. ​ 解析：法一　由已知得解得所以 · ＝ ｜ ｜2－ ｜ ｜2－ · ＝ . 法二　若△ABC为等边三角形，则｜ ｜＝ ，∴ · ＝｜ ｜｜ ｜ cos 60°＝ . 训练3　设四边形ABCD为平行四边形，｜ ｜＝6，｜ ｜＝4，若点 M，N满足 ＝3 ， ＝2 ，则 · ＝（　　） A. 20 B. 15 C. 9 D. 6 √ 解析：　由于平行四边形ABCD的形状不定，选项为定 值，所以可取四边形ABCD为矩形，建立如图所示的平面 直角坐标系，由 ＝3 ， ＝2 ，知M（6， 3），N（4，4），所以 ＝（6，3）， ＝（2，－ 1），所以 · ＝6×2＋3×（－1）＝9. 【例4】　（取特殊函数）若函数y＝f（x）对定义域D中的每一个x1，都 存在唯一的x2∈D，使f（x1）·f（x2）＝1成立，则称f（x）为“影子函 数”，有下列三个命题： ①“影子函数”f（x）的值域可以是R； ②“影子函数”f（x）可以是奇函数； ③若y＝f（x），y＝g（x）都是“影子函数”，且定义域相同，则y＝f （x）·g（x）是“影子函数”. 上述命题正确的序号是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ②③ √ 解析：　对于①：假设“影子函数”的值域为R，则存在x1，使得f（x1）＝0，此时不存在x2，使得f（x1）·f（x2）＝1，所以①错误；对于②：函数f（x）＝x（x≠0），对任意的x1∈（－∞，0）∪（0，＋∞），取x2＝ ，则f（x1）f（x2）＝1，又因为函数f（x）＝x（x≠0）为奇函数，所以“影子函数”f（x）可以是奇函数，②正确；对于③：函数f（x）＝x（x＞0），g（x）＝ （x＞0）都是“影子函数”，但F（x）＝f（x）g（x）＝1（x＞0）不是“影子函数”（因为对任意的x1∈（0，＋∞），存在无数多个x2∈（0，＋∞），使得F（x1）·F（x2）＝1），所以③错误. 训练4　已知函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝2－f（x），若函数y ＝ 与y＝f（x）的图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…， （xm，ym），则 （xi＋yi）＝（　　） A. 0 B. m C. 2m D. 4m 解析：　由f（－x）＝2－f（x）得f（－x）＋f（x）＝2，不妨设f （x）＝x＋1，则f（x）的图象与函数y＝ ＝1＋ 的图象的交点为 （1，2），（－1，0），∴m＝2，∴x1＋y1＋x2＋y2＝2＝m.故选B. √ $