举措一 一、函数与方程思想-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦函数与方程思想核心考点，依据高考评价体系梳理了构造函数、方程转化、最值求解等考查要求。通过2024年新高考Ⅱ卷交点问题、江苏浙江大联考体积最值等真题分析，明确同构函数比较大小、函数单调性应用等高频考点分布，归纳了“构造函数+单调性”“方程法转化”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+素养培养+技巧提炼”模式，如例1通过构造f(x)=lnx/x分析单调性比较大小，培养数学思维（推理能力）；例2利用函数奇偶性转化交点问题，强化数学眼光（抽象能力）。提供“同构变形”“方程法建模”等突破方法，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

一、函数与方程思想 PART ONE 函数思想 方程思想 函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析、转化问题，从而使问题得到解决的思想 方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想 函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系 【例1】　（1）（2024·新乡第三次模拟）设a＝ ，b＝ln ，c＝ ，其中e是自然对数的底数，则（　B　） A. b＜a＜c B. a＜c＜b C. b＜c＜a D. c＜b＜a B 同构函数关系解决问题 解析：令函数f（x）＝ ，x＞e，求导得f'（x）＝ ＜0，即函数f（x）在（e，＋∞）上单调递减，而a＝ ＝ ，b＝ ，c＝ ＝ ，又3＜ ＜4，因此f（3）＞f（ ）＞f（4），所以a＜c＜b.故选B. （2）已知函数f（x）＝xa－aln x（a＞0），若当x∈（1，e2）时，f （x）≤ex－x恒成立，则实数a的最大值是（　B　） A. 1 B. e C. D. e2 B 解析：由题意知，当x∈（1，e2）时，f（x）≤ex－x恒成立，即xa－aln x≤ex－x在（1，e2）上恒成立，即 －ln xa≤ex－x在（1，e2）上恒成立.令m（x）＝ex－x（x＞0），则m'（x）＝ex－1＞0，即m（x）在（0，＋∞）上单调递增，则由 －ln xa≤ex－x，即m（ln xa）≤m（x），可得ln xa≤x，即a≤ 在（1，e2）上恒成立.令n（x）＝ ，x∈（1，e2），n'（x）＝ ，当x∈（1，e）时，n'（x）＜0，n（x）单调递减；当x∈（e，e2）时，n'（x）＞0，n（x）单调递增，故n（x）在x＝e时取最小值，且n（e）＝ ＝e，则由a≤ 在（1，e2）上恒成立，可知a≤e，故实数a的最大值为e.故选B. 　　对于结构相同（相似）的不等式，通常考虑变形，构造函数，再通过 函数的单调性进行求解. 感悟提升 1. 若2a＋log2a＜22b＋log2b＋1，则（　　） A. ln（2b－a＋1）＜0 B. ln（2b－a＋1）＞0 C. ln｜a－2b｜＞0 D. ln｜a－2b｜＜0 解析：　对已知不等式变形可得2a＋log2a＜22b＋log22b，令f（x） ＝2x＋log2x，x＞0，因为函数y＝2x与y＝log2x在（0，＋∞）上均单 调递增，所以函数f（x）＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，2a＋ log2a＜22b＋log22b即f（a）＜f（2b），所以2b＞a＞0，所以2b－ a＞0，所以2b－a＋1＞1，则ln（2b－a＋1）＞ln 1＝0，A错误，B正 确；无法确定｜a－2b｜与1的大小，故无法确定ln｜a－2b｜与0的大 小，C、D错误.故选B. √ 2. 已知x（aex＋1）＞ln 有解，则实数a的取值范围为（　　） A. （ － ，＋∞） B. （ － ，＋∞） C. （－1，＋∞） D. （ －∞， ） √ 解析：　不等式x（aex＋1）＞ln 可化为a（xex）＋x＋ln x＞1， 即a（xex）＋ln（xex）＞1.令t＝xex，t＞0，则at＋ln t＞1在（0， ＋∞）上有解，所以a＞ 在（0，＋∞）上有解.令f（t）＝ （t＞0），则f'（t）＝ ，当0＜t＜e2时，f'（t）＜0，f（t）在 （0，e2）上单调递减；当t＞e2时，f'（t）＞0，f（t）在（e2，＋∞） 上单调递增.所以f（t）min＝f（e2）＝－ ，所以a＞－ ，所以a的 取值范围为（ － ，＋∞），故选A. 转换函数关系解决问题 【例2】　（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g （x）＝ cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x） 恰有一个交点.则a＝（　　） A. －1 B. C. 1 D. 2 √ 解析：　法一　令f（x）＝g（x），即a（x＋1）2－1＝ cos x＋2ax， 可得ax2＋a－1＝ cos x，令F（x）＝ax2＋a－1，G（x）＝ cos x，原题 等价于当x∈（－1，1）时，曲线y＝F（x）与y＝G（x）恰有一个交 点，注意到F（x），G（x）均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，可 得F（0）＝G（0），即a－1＝1，解得a＝2.故选D. 法二　令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－ cos x，x∈（－1， 1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－ x）2＋a－1－ cos （－x）＝ax2＋a－1－ cos x＝h（x），则h（x）为 偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a －2＝0，解得a＝2，故选D. 转化函数关系主要包括的两个方面 （1）将函数的性质或函数图象的各类形态转化为方程（不等式）表示， 然后利用方程（不等式）的运算规则求解； （2）将方程（不等式）转化为函数表示，然后利用函数的性质及图象间 的对应关系求解. 感悟提升 （2024·广州期末）已知函数f（x）＝aln x＋ x2，若对任意正数x1，x2 （x1≠x2），都有 ＞2恒成立，则实数a的取值范围为（　） A. （0，1] B. （0，2] C. [1，＋∞） D. [2，＋∞） √ 解析：　根据 ＞2，可知 ＞0，令g （x）＝f（x）－2x＝aln x＋ x2－2x（x＞0），由 ＞0，知g（x）单调递增，所以g'（x）＝ ＋x－2 ＝ ≥0（x＞0）恒成立，分离参数得a≥2x－x2，而当x＞0时， y＝2x－x2在x＝1时取最大值1，故a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋ ∞）. 利用函数关系解决问题 【例3】　（2024·江苏、浙江大联考）已知长方体的表面积为8，所有棱长 和为16，则长方体体积的最大值为 ⁠. 解析：设从长方体同一顶点出发的三条棱长分别为a，b，c.则2（ab＋ bc＋ac）＝8，4（a＋b＋c）＝16，所以ab＋bc＋ac＝4，a＋b＋c＝ 4，不妨设c≤b≤a，则0＜c≤ ，体积V＝abc＝（4－bc－ac）c＝[4 －c（a＋b）]c＝[4－c（4－c）]·c＝c3－4c2＋4c，求导得V'＝3c2－ 8c＋4＝（3c－2）·（c－2），易知当c＝ 时，V最大，最大值为 . ​ 　　当问题中涉及的一些关键量为变动的量时，往往转化为函数问题求 解.如求某量的最值、范围问题等.此类题有意识地凸显其函数关系，进而 用函数思想及函数方法研究、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能 促进科学思维的培养，提高发散思维的水平. 感悟提升 1. 甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在 每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.则甲以3∶1获胜的概率的最 大值为 ⁠. ​ 解析：甲以3∶1获胜，则前三局中甲要胜两局败一局，第四局甲再获 胜，若所求概率用f（p）表示，则f（p）＝ ·p2·（1－p）·p＝3p3 －3p4，0＜p＜1，则f'（p）＝9p2－12p3＝3p2（3－4p）.令f'（p）＞ 0，得0＜p＜ ；令f'（p）＜0，得 ＜p＜1.所以f（p）在 上 单调递增，在 上单调递减，所以当p＝ 时，f（p）取得最大 值，为 . 2. （2024·安徽六校第二次素养测试）已知正方形ABCD的边长为2，中心 为O，四个半圆的圆心均为正方形ABCD各边的中点（如图），若P在 上，且 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ的最大值为 ⁠. ​ 解析：如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系，设P（ cos θ， sin θ），θ∈[π，2π]，又A （－1，2），B（－1，0），C（1，0），D（1，2），则 ＝（ cos θ＋1， sin θ－2）， ＝（2，0）， ＝（0，－2），∵ ＝ λ ＋μ ， 即（ cos θ＋1， sin θ－2）＝λ（0，－2）＋μ（2，0）∴解得λ＋μ＝ ＋ ＝ （ cos θ－ sin θ＋3）＝ ［ cos （ θ＋ ）＋3］，∵θ∈[π， 2π]，则θ＋ ∈［ ， ］，∴当θ＋ ＝2π时， cos （ θ＋ ）取 得最大值1，则λ＋μ的最大值为 . 建立方程（组）解决问题 【例4】　（2024·临沂二模）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右 焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与 y轴相交于点Q，离心率e＝ ，若 ＝λ ，则λ＝（　　） A. B. C. D. √ 解析：设｜ ｜＝m，｜ ｜＝n，则有m2＋n2＝4c2， m＋n＝2a＝2× c＝ c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋ 2mn＝ c2，即2mn＝ c2－4c2＝ c2，则（m－n）2＝ m2＋n2－2mn＝4c2－ c2＝ c2，即m－n＝ c，即m＝ ＝ c，n＝ ＝ c，则｜ ｜＝λ｜ ｜＝λm＝ λc，由｜ ｜＝｜ ｜，则有（ λc）2＝（ c－ λc）2＋（ c）2，整理得8λ＝5，即λ＝ .故选B. 　　分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程（组）， 使原问题得到解决，这就是构造方程法，构造方程法是应用方程思想解决 非方程问题的极富创造力的一个方面. 感悟提升 1. （2024·武昌5月质量检测）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝ 9，S9＝81，则S12＝（　　） A. 288 B. 144 C. 96 D. 25 √ 解析：　由题意即解得 于是S12＝12×1＋ ×2＝144.故选B. 2. 设非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，＜b，c＞＝ 120°，则｜b｜的最大值为 ⁠. 解析：因为a＋b＋c＝0，所以a＝－（b＋c），所以｜a｜2＝｜b｜2 ＋2｜b｜｜c｜ cos 120°＋｜c｜2，即｜c｜2－｜b｜｜c｜＋｜b｜2 －4＝0，所以Δ＝｜b｜2－4（｜b｜2－4）≥0，解得0＜｜b｜≤ ， 即｜b｜的最大值为 . ​ 函数与方程思想的应用归纳 （1）函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象 和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问 题，一般利用函数思想构造新函数、建立函数关系求解； （2）三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算， 常转化为函数关系，利用函数的性质求解； （3）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去 处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函 数或一元二次方程来解决； （4）解析几何中有关求曲线方程、求值等问题常常需要通过解方程 （组）来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值 来解决； （5）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方 程或建立函数表达式的方法加以解决. $