专题7 培优点2 函数的构造问题-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦导数中的函数构造与同构问题，覆盖f(x)与xⁿ、eˣ、sinx/cosx的构造及同构技巧等高考核心考点，对接高考评价体系，分析这些考点在导数解答题中的高频考查权重，归纳常考构造类型与同构方法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题案例解析+技巧系统归纳+核心素养培养”，如例4通过指对跨阶同构转化不等式，跟踪训练结合高考真题变式，培养数学思维与数学语言表达能力，帮助学生掌握构造函数与同构的解题技巧，教师可据此精准指导学生高效复习冲刺。

培优点2　函数的构造问题 PART ONE 　　构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构造一种新的函数关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）解决原函数的一种行之有效的解题手段. 导数中的函数构造 考向1　利用f（x）与xn构造函数 【例1】　设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1）＝0，当x＜0时，有 xf'（x）－f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为 ⁠ ⁠. （－∞，－ 1）∪（1，＋∞） 解析：构造函数F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，当x＜0时，xf'（x）－f（x）＞0，则F' （x）＞0，F（x）在（－∞，0）上单调递增.∵f（x）为 偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x） 在（0，＋∞）上也单调递增.根据f（1）＝0可得F（1）＝ 0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的图象如图 所示，根据图象可知f（x）＞0的解集为（－∞，－1）∪ （1，＋∞）. 利用f（x）与xn构造函数的技巧 （1）对于f'（x）g（x）－f（x）g'（x）＞0（或＜0），可构造函数F （x）＝ ； （2）对于xf'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝xnf （x）； （3）对于xf'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝ . 感悟提升 　设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0， 且f（－4）＝0，则不等式xf（x）＞0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：构造函数F（x）＝xf（x），则F'（x）＝f（x）＋xf'（x），当x＜0时，f（x）＋xf'（x）＜0，则F'（x）＜0，∴F（x）在（－∞，0）上单调递减.∵f（x）为偶函数，y＝x为奇函数，∴F（x）为奇函数，∴F（x）在（0，＋∞）上也单调递减.根据f（－4）＝0可得F（－4）＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数F（x）的大致图 象如图所示，根据图象可知xf（x）＞0的解集为（－∞，－ 4）∪（0，4）. （－∞，－4）∪（0， 4） 跟踪训练 6 考向2　利用f（x）与enx构造函数 【例2】　已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的函数，导函数f'（x） 满足f'（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　） A. f（2）＞e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） B. f（2）＜e2f（0），f（2 024）＞e2 024f（0） C. f（2）＞e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） D. f（2）＜e2f（0），f（2 024）＜e2 024f（0） √ 解析：　构造F（x）＝ ，则F'（x）＝ ，又导函数f' （x）满足f'（x）＜f（x），则F'（x）＜0，F（x）在R上单调递减， 根据单调性可知选D. 利用f（x）与enx构造函数的技巧 （1）对于f'（x）＋f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝exf （x）； （2）对于f'（x）－f（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝ ； （3）对于f'（x）＋nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝enxf （x）； （4）对于f'（x）－nf（x）＞0（或＜0），可构造函数F（x）＝ . 感悟提升 　已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞1，f（1）＝4， 则不等式exf（x）＞ex＋3e的解集为（　　） A. （－∞，0） B. （－∞，1） C. （0，＋∞） D. （1，＋∞） √ 跟踪训练 解析：　设g（x）＝exf（x）－ex（x∈R），则g'（x）＝exf（x）＋ exf'（x）－ex＝ex[f（x）＋f'（x）－1]，因为f（x）＋f'（x）＞1，所 以f（x）＋f'（x）－1＞0，又ex＞0，所以g'（x）＞0恒成立，所以y＝g （x）在定义域R上单调递增.故原不等式可转化为exf（x）－ex＞3e，又f （1）＝4，所以g（1）＝ef（1）－e＝3e，所以g（x）＞g（1），所以 x＞1.故选D. 考向3　利用f（x）与 sin x， cos x构造函数 【例3】　偶函数f（x）的定义域为（－ ， ），其导函数为f'（x）， 若对任意的x∈［0， ），有f'（x）· cos x＜f（x） sin x成立，则关于x 的不等式2f（x）＜ 的解集为 　（－ ，－ ）∪（ ， ）　. （－ ，－ ）∪（ ， ） 解析：令g（x）＝f（x） cos x，x∈（－ ， ），∴g（－x）＝f（－ x） cos （－x）＝f（x） cos x＝g（x），∴g（x）为偶函数，又g' （x）＝f'（x） cos x－f（x） sin x，∴当x∈［0， ）时，g'（x）＜ 0，即g（x）在［0， ）上单调递减，又g（x）为偶函数，∴g（x）在 （－ ，0］上单调递增，不等式2f（x）＜ 可化为f（x） cos x＜f （ ） cos ，即g（x）＜g（ ），则解得－ ＜x＜－ 或 ＜x＜ . 利用f（x）与 sin x， cos x构造函数的技巧 （1）对于 f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x） ＝f（x） sin x； （2）对于f'（x） sin x－f（x） cos x＞0（或＜0），可构造函数F（x） ＝ ； （3）对于f'（x） cos x＋f（x） sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x） ＝ ； （4）对于f'（x） cos x－f（x） sin x＞0（或＜0），可构造函数F（x） ＝f（x） cos x. 感悟提升 　定义在区间（0， ）上的函数f（x），f'（x）是其导函数，恒有f （x）＞f'（x）tan x成立，则（　　） A. f（ ）＞ f（ ） B. f（1）＞2f（ ） sin 1 C. f（ ）＜f（ ） D. f（ ）＜f（ ） √ 跟踪训练 解析：　因为x∈（0， ），所以 sin x＞0， cos x＞0.由f（x）＞f' （x）tan x，得f（x） cos x－f'（x） sin x＞0.设F（x）＝ ，则F' （x）＝ ＜0，所以F（x）在区间（0， ）上单调递 减，所以F（ ）＞F（ ），即 f（ ）＞ f（ ）.同理B、C、D错 误.故选A. 函数的同构问题 【例4】　（1）若对于0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立， 则a的最大值为（　B　） A. B. 1 C. e D. 2e √ 解析：∵x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2，∴ － ≤ － ，即 ≤ ，又0＜x1＜x2＜a，令φ（x）＝ ，∴φ（x）在 （0，a）上单调递增，φ'（x）＝ ，当x∈（0，1）时，φ'（x） ＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，∴φ（x）在（0，1）上单 调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1. （2）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，＋∞），不等式eλx－ ≥0恒 成立，则λ的最小值为 ⁠. ​ 解析：eλx－ ≥0（λ＞0，x＞0）⇔λxeλx－xln x≥0⇔λxeλx≥xln x⇔λxeλx≥eln xln x，令f（x）＝xex.上述不 等式可等价转化为f（λx）≥f（ln x），易知f（x）在R上是增函 数，所以λx≥ln x，所以λ≥ .令h（x）＝ ，则h'（x）＝ ，当x∈（0，e）时，h'（x）＞0，当x∈（e，＋∞）时，h' （x）＜0，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上 单调递减，则h（x）max＝h（e）＝ ，即λ≥ . 　　函数的同构问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相 同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有变量分离 同构和指对跨阶同构. （1）变量分离同构：含有地位相等的两个变量的不等式（方程），关 键在于对不等式（方程）两边变形或先放缩再变形，使不等式 （方程）两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质 解决问题； 感悟提升 （2）指对跨阶同构：①和、差型（ea±a＞b±ln b）； （ⅰ）同左构造形式：ea±a＞eln b±ln b，构造函数f（x）＝ ex±x； （ⅱ）同右构造形式：ea±ln ea＞b±ln b，构造函数f（x）＝ x±ln x. ②积型（aea≤bln b）： （ⅰ）同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f（x）＝xex； （ⅱ）同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f（x）＝xln x； （ⅲ）取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋ln（ln b）（b＞1），构造函 数f（x）＝x＋ln x. ③商型：（ ≤ ）： （ⅰ）同左构造形式： ≤ ，构造函数f（x）＝ ； （ⅱ）同右构造形式： ≤ ，构造函数f（x）＝ ； （ⅲ）取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln（ln b）（b＞1），构造函 数f（x）＝x－ln x. 1. 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（　　） A. c＜b＜a B. b＜a＜c C. a＜c＜b D. a＜b＜c 解析：　令f（x）＝ （x＞0），则f'（x）＝ ，所以当x∈ （0，e）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（e，＋∞）时，f' （x）＜0，f（x）单调递减.a＝ ＝ ＝f（e2），b＝ ＝ ＝ ＝f（4），c＝ ＝ ＝f（e），因为e＜4＜e2，所以a＜b＜c. 故选D. √ 跟踪训练 2. 已知x＞0，y＞0，且ex＋ln y＞x＋y，则下列选项正确的是（　　） A. x＞y B. x＞ln y C. x＜y D. x＜ln y 解析：　原不等式等价于ex－x＞y－ln y，等价于ex－ln ex＞y－ln y. 令g（x）＝x－ln x，则不等式ex－ln ex＞y－ln y，等价于g（ex）＞ g（y），因为g'（x）＝ ，所以当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＝ ＞0，所以g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，因为x＞0，所 以ex＞1.若y∈（1，＋∞），由g（ex）＞g（y），有ex＞y，若y∈ （0，1]，恒有ex＞y.综上所述，ex＞y，即x＞ln y.故选B. √ 课时跟踪检测 1. 已知α，β∈［－ ， ］，且α sin α－β sin β＞0，则下列结论正 确的是（　　） A. α＞β B. α2＞β2 C. α＜β D. α＋β＞0 解析：　构造函数f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.当x∈ ［0， ］时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，当x∈［－ ，0）时，f' （x）＜0，f（x）单调递减，又f（x）为偶函数，∴α sin α－β sin β＞0⇔α sin α＞β sin β⇔f（α）＞f（β）⇔f（｜α｜）＞f（｜ β｜）⇔｜α｜＞｜β｜⇔α2＞β2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2. 若2x－2y＜3－x－3－y，则（　　） A. ln（y－x＋1）＞0 B. ln（y－x＋1）＜0 C. ln｜x－y｜＞0 D. ln｜x－y｜＜0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y，即2x－ ＜2y－ .设f（x）＝2x－ ，则f（x）＜f（y）.因为函数y＝ 2x在R上为增函数，y＝－ 在R上为增函数，所以f（x）＝2x－ 在R上为增函数，则由f（x）＜f（y），得x＜y，所以y－x＞ 0，所以y－x＋1＞1，所以ln（y－x＋1）＞0，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（－1）＝0，当x＜0时，xf' （x）＋f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A. （－∞，－1）∪（0，1） B. （－1，0）∪（1，＋∞） C. （－∞，－1）∪（－1，0） D. （0，1）∪（1，＋∞） 解析：　构造函数F（x）＝xf（x），当x＜0时，F'（x）＝f （x）＋xf'（x）＜0，F（x）单调递减.又f（－1）＝0，则F（－1） ＝0，所以当－1＜x＜0时，F（x）＜0，所以当－1＜x＜0时，f （x）＞0.因为f（x）为奇函数，所以F（x）＝xf（x）为偶函数， 所以当x＞1时，F（x）＞0，所以当x＞1时，f（x）＞0.综上可知， f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（1，＋∞），故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 已知aln 2＝2ln a，bln 3＝3ln b，cln 5＝5ln c，且a，b，c∈（0， e），则（　　） A. c＜a＜b B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. b＜c＜a √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　由已知得 ＝ ， ＝ ， ＝ ，令f（x）＝ （x∈（0，e）），则f'（x）＝ ＞0（x∈（0，e）），故f（c） －f（a）＝ － ＝ ＜0，且a，c∈（0，e），所以c＜a.f （a）－f（b）＝ － ＝ ＜0，且a，b∈（0，e），所以a＜ b，所以c＜a＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 已知函数f（x）满足xf'（x）ln x＋f（x）＞0（其中f'（x）是f（x） 的导函数），若a＝f（ ），b＝f（e），c＝f（e2），则下列选项 中正确的是（　　） A. a＜2b＜4c B. 2b＜4c＜a C. 4c＜2b＜a D. a＜4c＜2b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　因为xf'（x）ln x＋f（x）＞0（x＞0），所以f'（x）ln x＋ f（x）＞0，所以[f（x）ln x]'＞0.令g（x）＝f（x）ln x，则g'（x） ＞0在（0，＋∞）上恒成立，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增， 从而g（ ）＜g（e）＜g（e2），即f（ ）ln ＜f（e）ln e＜f （e2）ln e2，即 f（ ）＜f（e）＜2f（e2），所以 a＜b＜2c，即a ＜2b＜4c，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. （2024·邵阳第二次联考）已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f （x）的导函数.若f（1）＝e，且f'（x）＋ex＜f（x）在R上恒成立， 则不等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（　　） A. （－∞，2） B. （2，＋∞） C. （－∞，1） D. （1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　设函数g（x）＝ ＋x，可得g'（x）＝ ＋1＝ ＜0，所以函数g（x）在R上 单调递减，由f（x）＜（2－x）·ex，可得f（x）＋xex＜2ex，即 ＋x＜2＝ ＋1，可得g（x）＜g（1），所以x＞1，即不 等式f（x）＜（2－x）ex的解集为（1，＋∞）.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 设a，b都是正数，若aea＋1＋b＜bln b（其中e是自然对数的底数）， 则（　　） A. ab＞e B. b＞ea＋1 C. ab＜e D. b＜ea＋1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　由已知aea＋1＋b＜bln b，移项整理得aea＋1＜bln ，两边 同时除以e得aea＜ ln ，为了实现“两边结构相同”，对左边“降 阶”得aea＝ea·ln ea，故ea·ln ea＜ ln .设f（x）＝x·ln x，则有f （ea）＜f（ ），因为a＞0，所以ea＞1.因为b（ln b－1）＞0，b＞ 0，所以ln b＞1，故b＞e， ＞1，当x＞1时，f'（x）＝1＋ln x＞0，f （x）单调递增，所以ea＜ ，即ea＋1＜b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （多选）已知定义在［0， ）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且 f（0）＝0，f'（x） cos x＋f（x） sin x＜0，则下列判断中正确的是 （　　） A. f（ ）＜ f（ ） B. f（ln ）＞0 C. f（ ）＞ f（ ） D. f（ ）＞ f（ ） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　令g（x）＝ ，x∈［0， ），则g'（x）＝ ，因为f'（x） cos x＋f（x） sin x＜0，所以g' （x）＝ ＜0在［0， ）上恒成立，因此函数g （x）＝ 在［0， ）上单调递减，故g（ ）＞g（ ），即 ＞ ，即f（ ）＞ f（ ），故A错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又f（0）＝0，所以g（0）＝ ＝0，所以g（x）＝ ≤0在［0， ）上恒成立，因为0＝ln 1＜ln ＜ln e＝1＜ ，所以f（ln ）＜0，故B错 误；又g（ ）＞g（ ），所以 ＞ ，即f（ ）＞ f（ ）， 故C正确；又g（ ）＞g（ ），所以 ＞ ，即f（ ）＞ f （ ），故D正确.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 已知函数f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a（a＞0），若关于x的不等 式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：因为f（x）＝ex－aln（ax－a）＋a＞0（a＞0）恒成立，所 以 ＞ln（x－1）＋ln a－1，所以ex－ln a＋x－ln a＞ln（x－1）＋x－ 1，即ex－ln a＋x－ln a＞eln（x－1）＋ln（x－1）.令g（x）＝ex＋x，易 得g（x）在（1，＋∞）上单调递增，所以x－ln a＞ln（x－1），则 有－ln a＞ln（x－1）－x.因为ln（x－1）－x≤x－2－x＝－2，所以 －ln a＞－2，解得0＜a＜e2.所以实数a的取值范围为（0，e2）. （0，e2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. （2024·长沙调研）已知对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时， 都有 ＜1＋ ，则a的取值范围是 ⁠. 解析：因为对任意x1，x2∈（0，＋∞），且当x1＜x2时， ＜1＋ 恒成立，所以aln x2－aln x1＜x2－x1＋ 恒成立，即aln x2－aln x1＜x2－x1＋ － 恒成立，即aln x2－x2＋ ＜aln x1－x1＋ ①恒成立，令f（x）＝aln x－x＋ ，x∈（0，＋ ∞），由①式可得当x1＜x2时，f（x2）＜f（x1）， （－∞，2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝－ ≤0在 （0，＋∞）上恒成立，所以x2－ax＋1≥0在（0，＋∞）上恒成立，所以 a≤x＋ 在（0，＋∞）上恒成立，又x＋ ≥2 ＝2，当且仅当x＝ ， 即x＝1时取等号，所以a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $