专题7 第3讲 小题研透——导数的简单应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的简单应用”专题，覆盖导数的几何意义、函数单调性、极值与最值等高频考点，对接高考评价体系，分析近三年全国卷真题中切线方程（占比30%）、单调性应用（占比40%）的权重，归纳“公切线求解”“恒成立求参”等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技法拆解+素养落地”，以2024全国甲卷切线问题为例，通过“求导公式辨析—切点坐标联立—面积计算”三步法，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。特设“易错公式排查”“构造函数模型”模块，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准定位复习重点，提升高考冲刺效率。

第3讲　小题研透 ——导数的简单应用 目录 CONTENTS 课时跟踪检测 锁定高考·明方向 研透高考·攻重点 有的放矢 事半功倍 重难攻坚 快速提升 01 锁定高考·明方向 有的放矢 事半功倍 目录 一、考情分析 高频考点 高考预测 导数的几何意义 在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及应用，注意构造法的应用 求函数单调性 求函数极值 求函数最值（与不等式结合转化求解） 备考领航 目录 二、真题感悟 1. （2024·全国甲卷理6题）（导数的几何意义）设函数f（x）＝ ，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为（　　） A. B. C. D. √ 目录 解析：　f'（x）＝ ，所以f'（0） ＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x －0），即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1）， （－ ，0），所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ ，故选A. 目录 2. （2023·新高考Ⅱ卷6题）（函数单调性的应用）已知函数f（x）＝aex －ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A. e2 B. e C. e－1 D. e－2 √ 目录 解析：　法一　由题意，得f'（x）＝aex－ ，∴f'（x）＝aex－ ≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥ 在区间（1，2）上恒成立.设 函数g（x）＝ ，x∈（1，2），则g'（x）＝－ ＜0，∴函数g （x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1） ＝ ＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 目录 法二　∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－ .∵函数f（x）＝ aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即 aex－ ≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜ ≤xex在（1，2）恒成 立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g' （x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e， ∴ ≤e，即a≥ ＝e－1，故选C. 目录 A. x＝3是f（x）的极小值点 B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2） C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0 D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x） 3. （多选）（2024·新高考Ⅰ卷10题）（求函数的单调区间、极值）设函数 f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　） √ √ √ 目录 解析： 　对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）＝2（x －1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈（1， 3）时，f'（x）＜0，当x∈（－∞，1）或x∈（3，＋∞）时，f'（x） ＞0，故函数f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递 减，在（3，＋∞）上单调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，A 正确；对B，当0＜x＜1时，x－x2＝x（1－x）＞0，所以x＞x2，又函 数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）＞f（x2），B错误；对 C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在（1， 3）上单调递减，所以f（1）＞f（2x－1）＞f（3），即－4＜f（2x－ 1）＜0，C正确； 目录 对D，由2－x－x＝2－2x，又－1＜x＜0，故2－2x＞0，所以f（2－x） －f（x）＝（1－x）2（－2－x）－（x－1）2（x－4）＝（x－1）2（2 －2x）＞0，D正确.故选A、C、D. 目录 4. （2024·新高考Ⅰ卷13题）（导数的几何意义）若曲线y＝ex＋x在点 （0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ⁠⁠. 解析：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x 在（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1） ＋a），由两曲线有公切线得y' ＝ ＝2，解得x0＝－ ，则 切点为（－ ，a＋ln ），由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln ＝0， 故a＝ln 2. ln2 目录 1. 四个易误导数公式 （1）（ sin x）'＝ cos x； （2）（ cos x）'＝－ sin x； （3）（ax）'＝axln a（a＞0，且a≠1）； （4）（logax）'＝ （a＞0，且a≠1，x＞0）. 重难排查 目录 2. 利用导数研究函数的单调性 （1）若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证 明）不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0； （2）若已知函数的单调性，则转化为不等式f'（x）≥0或f'（x）≤0在 单调区间上恒成立问题来求解. 目录 3. 利用导数研究函数的极值、最值 （1）若f'（x0）＝0且在x0附近左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0，则f （x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f'（x）＜0，右 侧f'（x）＞0，则f（x0）为函数f（x）的极小值； （2）设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f （x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 目录 4. 常用结论 （1）在某区间内f'（x）＞0（f'（x）＜0）是函数f（x）在此区间上单 调递增（减）的充分不必要条件； （2）可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是对 ∀x∈（a，b），都有f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在 （a，b）上的任何子区间内都不恒为零； （3）若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则相应的极 值点一定是函数的最值点. 目录 02 研透高考·攻重点 重难攻坚 快速提升 目录 导数的几何意义 【例1】　（1）（2024·福建适应性练习卷）已知直线y＝kx＋b既是曲线 y＝ln x的切线，也是曲线y＝－ln（－x）的切线，则（　　） A. k＝ ，b＝0 B. k＝1，b＝0 C. k＝ ，b＝－1 D. k＝1，b＝－1 √ 考点一 目录 解析：法一　设直线y＝kx＋b与曲线y＝ln x的切点坐标为 （x1，y1），直线y＝kx＋b与曲线y＝－ln（－x）的切点坐标为 （x2，y2），对y＝ln x求导得y'＝ ，对y＝－ln（－x）求导得y'＝ － ·（－1）＝－ ，所以有得 得所以k＝ ＝ .故选A. 目录 法二　对于A，对y＝ln x求导得y'＝ ，令 ＝k＝ ，得x＝e，又ln e＝ 1，所以曲线y＝ln x在点（e，1）处的切线方程为y－1＝ （x－e），即y ＝ x，同理得曲线y＝－ln（－x）在点（－e，－1）处的切线方程为y＝ x，故A正确，故选A. 目录 （2）已知函数f（x）＝ ，若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的 切线方程为ax－y＝0，则x0的值为 　　. 2 解析：因为函数f（x）＝ ，求导得f'（x）＝ ，依题意得 消去a得， ＝ ，而 ＞0，解得x0＝2. 目录 求曲线y＝f（x）的切线方程的三种类型及方法 （1）已知切点P（x0，y0），求切线方程：求出切线的斜率f'（x0），由 点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率k，求切线方程：设切点为P（x0，y0），通过方程 k＝f'（x0）解得x0，再由点斜式写出方程； 感悟提升 目录 （3）已知切线上一点（非切点），求切线方程：设切点为P（x0，y0）， 利用导数求得切线斜率f'（x0），再由斜率公式求得切线斜率，列方 程（组）解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 提醒　求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需 要设出切点，后者给出的点即为切点. 目录 1. （2024·邯郸第四次调研）设函数f（x）＝x＋ 的图象与x轴相交于 点P，则该曲线在点P处的切线方程为（　　） A. y＝－x B. y＝－x－1 C. y＝0 D. y＝x－1 解析：　令x＋ ＝0，即x（x＋2）＋1＝0，即（x＋1）2＝0，解 得x＝－1，故P（－1，0），f'（x）＝1－ ，则f'（－1）＝1 － ＝0，则其切线方程为：y－f（1）＝f'（－1）（x＋1）， 即y＝0.故选C. √ 跟踪训练 目录 2. （2024·山东新高考联合质量测评）过点（3，0）作曲线f（x）＝xex 的两条切线，切点分别为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），则x1＋ x2＝（　　） A. －3 B. － C. D. 3 √ 目录 解析：　因为f（x）＝xex，所以f'（x）＝（x＋1）ex，设切点坐标 为（x0，x0 ），所以f'（x0）＝（x0＋1） ，所以切线方程为y－ x0 ＝（x0＋1） （x－x0），所以－x0 ＝（x0＋1） （3－ x0），即（－ ＋3x0＋3） ＝0，依题意关于x0的方程（－ ＋3x0 ＋3） ＝0有两个不同的解x1，x2，即关于x0的方程－ ＋3x0＋3＝0 有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3.故选D. 目录 利用导数研究函数的单调性 【例2】　（1）已知函数f（x）与f'（x）的图象如图所示，则函数g （x）＝ 的单调递减区间为（　D　） A. （0，4） B. （－∞，1），（ ，4） C. （0， ） D. （0，1），（4，＋∞） √ 考点二 目录 解析：由题图可知，先减后增的曲线为f'（x）的图象，先增后 减再增的曲线为f（x）的图象，当0＜x＜1或x＞4时，f'（x）＜f （x），即g'（x）＝ ＜0，则函数g（x）＝ 的单 调递减区间为（0，1），（4，＋∞）.故选D. 目录 （2）（2024·贵阳适应性考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且y ＝f'（x）＋ex也是偶函数，若f（a）＞f（2a－1），则实数a的取 值范围是（　D　） A. （－∞，1） B. （1，＋∞） C. （ ，1） D. （－∞， ）∪（1，＋∞） √ 目录 解析：因为f（x）为R上的偶函数，所以f（x）＝f（－x），对等 式两边求导有f'（x）＝－f'（－x）　①.因为y＝f'（x）＋ex是偶函 数，所以f'（x）＋ex＝f'（－x）＋e－x　②.由①②得f'（x）＝ （e －x－ex）＝ .当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调 递增；当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.又f （a）＞f（2a－1），所以｜a｜＜｜2a－1｜，得a＞1或a＜ ， 故选D. 目录 利用导数研究函数单调性的三个关键点 （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认； （3）已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 感悟提升 目录 1. 已知函数f（x）＝xex－ ，则（　　） A. f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上单调递减 B. f（x）是奇函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 C. f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减 D. f（x）是偶函数，且在（－∞，0）上先递减再递增 √ 跟踪训练 目录 解析：　由f（x）＝xex－ 可得，f（－x）＝－xe－x－ ＝xex － ＝f（x），故f（x）为偶函数，所以A、B错误；由f'（x）＝ex－ e－x＋x·（ex＋e－x），当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞， 0）上单调递减，所以C正确，D错误，故选C. 目录 2. 若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则实数m的 取值范围为 ⁠. 解析：由题可得f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ ，易知当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f' （x）＞0，即函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单 调递增.若函数f（x）＝ －ln x在区间（m，m＋ ）上不单调，则需 满足0≤m＜1＜m＋ ，解得 ＜m＜1，所以实数m的取值范围为 （ ，1）. （ ，1） 目录 利用导数研究函数的极值与最值 【例3】　（1）（2024·扬州第二次调研）若函数f（x）＝eax＋2x有大于 零的极值点，则实数a的取值范围为（　C　） A. （－2，＋∞） B. （－ ，＋∞） C. （－∞，－2） D. （－∞，－ ） √ 考点三 目录 解析：函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，f'（x）＞0，此时f'（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f' （x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ ln（－ ），当x＞ ln（－ ）时， f'（x）＞0，当x＜ ln（－ ）时，f'（x）＜0，故x＝ ln（－ ） 是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零 的极值点，∴ ln（－ ）＞0⇒ln（－ ）＜0⇒0＜－ ＜1，解得a ＜－2.故选C. 目录 （2）已知函数f（x）＝2ln x，g（x）＝x＋2，若f（x1）＝g（x2）， 则x2－2x1的最大值为 ⁠. 解析：设f（x1）＝g（x2）＝m，m∈R，则x1＝ ，x2＝m －2，x2－2x1＝m－2－2 .令h（x）＝x－2－2 ，则h'（x）＝ 1－ ，令h'（x）＞0，解得x＜0，所以h（x）在（－∞，0）上单 调递增，令h'（x）＜0，解得x＞0，所以h（x）在（0，＋∞）上 单调递减，h（x）max＝h（0）＝－4，所以x2－2x1的最大值为－4. －4 目录 利用导数研究函数极值与最值的方法 （1）若求极值，则先求方程f'（x）＝0的根，再检查f'（x）在方程根的左 右函数值的符号； （2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f'（x）＝0根的大小 或存在情况来求解； （3）求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上， 结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比 较，从而得到函数的最值. 感悟提升 目录 1. （2024·江西名校联考）已知函数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点， 则a的取值范围是（　　） A. （－ ， ） B. [－ ， ] C. （－∞，－ ） D. [，＋∞） 解析：　f'（x）＝3x2－2ax＋1，是开口向上的二次函数，因为函 数f（x）＝x3－ax2＋x＋1没有极值点，则f'（x）≥0，所以Δ＝4a2－ 12≤0，解得－ ≤a≤ ，所以a的取值范围是[－ ， ].故 选B. √ 跟踪训练 目录 2. （2024·南京、盐城一模）用min{x，y}表示x，y中的最小数.已知函 数f（x）＝ ，则min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为（　　） A. B. C. D. ln 2 √ 目录 解析：　∵f（x）＝ ，∴f'（x）＝ ，根据导数易知f（x）在 （－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；由题意令f （x）＝f（x＋ln 2），即 ＝ ，解得x＝ln 2；作出图象，则 min{f（x），f（x＋ln 2）}的最大值为两函数图象交点处函数值，为 .故选C. 目录 03 课时跟踪检测 目录 1. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f'（1）＝a， ＝1－a，则实数a的值为（　　） A. －2 B. － C. D. 2 解析：　 ＝－ · ＝－ a，则－ a＝1－a，解得a＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 √ 目录 2. （2024·岳阳质量监测）函数f（x）＝6＋12x－x3的极小值点为 （　　） A. （4，－10） B. （－2，－10） C. 4 D. －2 解析：　函数f（x）＝6＋12x－x3的定义域为R，且f'（x）＝12－ 3x2＝3（2－x）（2＋x），所以当－2＜x＜2时，f'（x）＞0，当x＜ －2或x＞2时f'（x）＜0，所以f（x）在（－2，2）上单调递增，在 （－∞，－2），（2，＋∞）上单调递减，所以f（x）在x＝－2处取 得极小值，在x＝2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 3. （2024·上饶一模）已知函数f（x）＝xex，则下列说法正确的是 （　　） A. f（x）的导函数为f'（x）＝（x－1）ex B. f（x）在（－1，＋∞）上单调递减 C. f（x）的最小值为－ D. f（x）的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　f（x）＝xex⇒f'（x）＝ex＋xex＝（x＋1）ex，当x＞－1 时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，函 数f（x）单调递减，所以当x＝－1时，函数f（x）的最小值为－ ， 因此A、B错误，C正确；因为f'（0）＝1，f（0）＝0，所以f（x）的 图象在x＝0处的切线方程为y＝x，因此D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 4. （多选）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则下列 说法正确的是（　　） A. －3是函数y＝f（x）的极值点 B. －1是函数y＝f（x）的最小值点 C. y＝f（x）在区间（－3，1）上单调递增 D. y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　根据导函数图象可知：当x∈（－∞，－3）时，f'（x）＜ 0，当x∈（－3，1）时，f'（x）≥0，∴函数y＝f（x）在（－∞，－ 3）上单调递减，在（－3，1）上单调递增，故A、C正确；∵f（x）在 （－3，1）上单调递增，∴－1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不 正确；∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于 零，故D不正确.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 5. 函数f（x）＝x3－aln x的图象在点（1，f（1））处的切线与直线2x ＋y＋1＝0平行，则实数a＝ ⁠. 解析：f'（x）＝3x2－ ，因为函数f（x）的图象在点（1，f（1））处 的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，所以f'（1）＝3－a＝－2，即a＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 6. 若函数f（x）＝ex－ax－1（a∈R）为增函数，则g（x）＝2ln x＋x2 －（a＋2）x的单调递增区间为 ⁠. 解析：由题可得f'（x）＝ex－a≥0恒成立，又ex∈（0，＋∞），所以 a≤0.函数g（x）的定义域为（0，＋∞），g'（x）＝ ＋2x－（a＋ 2），x＞0，又2x＋ ≥2 ＝4，当且仅当x＝1时取等号，由a≤0 得a＋2≤2，则g'（x）＞0，故g（x）的单调递增区间为（0，＋∞）. （0，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 7. 已知函数f（x）＝xln x，g（x）＝x2＋ax（a∈R），直线l与f （x）的图象相切于点A（1，0），若直线l与g（x）的图象也相切， 则a＝（　　） A. 0 B. －1 C. 3 D. －1或3 解析：　f'（x）＝1＋ln x，则f'（1）＝1＋ln 1＝1，易知f（1）＝0， 所以直线l的方程为y＝x－1.因为直线l与g（x）的图象也相切，所以 方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋（a－1）x ＋1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝（a－1）2－4＝0，解得a＝－1 或a＝3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 8. 设a∈R，若函数y＝x＋aln x在（ ，e）上有极值点，则实数a的取值 范围为（　　） A. （ ，e） B. （－e，－ ） C. （－∞， ） D. （－∞，－e）∪（－ ，0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　函数y＝f（x）＝x＋aln x在（ ，e）上有极值点，则f' （x）在（ ，e）上有零点.f'（x）＝1＋ ＝ （x＞0），令g （x）＝x＋a，则g（x）的零点即为f'（x）的零点，且函数g（x） 在（0，＋∞）上单调递增，所以（ ＋a）（e＋a）＜0，解得－e＜a ＜－ .所以实数a的取值范围为（－e，－ ）.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 9. （2024·南通、如皋、连云港联考）已知函数f（x）的定义域为R，对 任意x∈R，有f'（x）－f（x）＞0，则“x＜2”是“exf（x＋1）＞ e4f（2x－3）”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分又不必要条件 D. 充要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　因为f'（x）－f（x）＞0，所以 ＞0.令g（x） ＝ ，则g'（x）＝ ＞0，所以g（x）在R上单调递 增.exf（x＋1）＞e4f（2x－3）⇔ ＞ ⇔g（x＋1） ＞g（2x－3）⇔x＋1＞2x－3⇔x＜4，所以“x＜2”是“exf（x＋ 1）＞e4f（2x－3）”的充分不必要条件，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 10. 设函数f（x）＝x sin x，若x1，x2∈［－ ， ］，且f（x1）＜f （x2），则下列不等式恒成立的是（　　） A. x1＜x2 B. x1＞x2 C. x1＋x2＜0 D. ＜ 解析：　由于f（－x）＝（－x） sin （－x）＝x sin x＝f（x）， 且定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数，当x∈［0， ］ 时，f'（x）＝ sin x＋x cos x≥0，故函数f（x）在［0， ］上单调递 增，结合函数为偶函数可知，函数f（x）在［－ ，0］上单调递减， 所以f（x1）＜f（x2）等价于｜x1｜＜｜x2｜，即 ＜ .故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 11. （2024·东北三省四市教研联合体模拟）在同一平面直角坐标系内，函 数y＝f（x）及其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，已知两图象有 且仅有一个公共点，其坐标为（0，1），则（　　） A. 函数y＝f（x）·ex的最大值为1 B. 函数y＝f（x）·ex的最小值为1 C. 函数y＝ 的最大值为1 D. 函数y＝ 的最小值为1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　由导数与函数单调性的关系得f（x）的图象为实曲线，f' （x）的图象为虚曲线，且当x＜0时，f（x）＜f'（x），当x＞0 时，f（x）＞f'（x），设g（x）＝f（x）·ex，则g'（x）＝（f（x） ＋f'（x））ex＞0，∴g（x）在R上单调递增，故A、B错误；设h （x）＝ ，则h'（x）＝ ＝ ，则h （x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴h （x）在x＝0处有最大值h（0）＝ ＝1，故C正确，D错误.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 12. （多选）（2024·金丽衢十二校第二次联考）设定义在R上的函数f （x）的导函数为f'（x），若∀x∈R，均有xf'（x）＝（x＋1）f （x），则（　　） A. f（0）＝0 B. f″（－2）＝0（f″（x）为f（x）的二阶导数） C. f（2）＜2f（1） D. x＝－1是函数f（x）的极大值点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　由∀x∈R，xf'（x）＝（x＋1）f（x），令x＝0，则0＝ （0＋1）f（0），∴f（0）＝0，A正确；当x≠0时，由xf'（x）＝ （x＋1）f（x）得xf'（x）－f（x）＝xf（x），故 ＝ ，即［ ］'＝ ，则 ＝ex，则f（x）＝ xex，f'（x）＝ex＋xex，f″（x）＝ex＋ex＋xex＝ex（2＋x），故 f″（－2）＝ex（2－2）＝0，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 令g（x）＝ （x＞0），g'（x）＝ex＞0，故g（x）在（0，＋∞） 上单调递增，故 ＞ ，即f（2）＞2f（1），C错误；由于f' （x）＝ex＋xex，令f'（x）＞0，∴ex（1＋x）＞0，即得x＞－1，令f' （x）＜0，∴ex（1＋x）＜0，即得x＜－1，故f（x）在（－∞，－1） 上单调递减，在（－1，＋∞）上单调递增，故x＝－1是函数f（x）的极 小值点，D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 13. （2024·上饶一模）若函数f（x）＝x3－ ax2＋6x在区间（1，3）上单 调递增，则a的取值范围为 ⁠. 解析：因为f（x）＝x3－ ax2＋6x，所以f'（x）＝3x2－ax＋6，因为 函数f（x）＝x3－ ax2＋6x在区间（1，3）上单调递增，所以f'（x） ＝3x2－ax＋6≥0在（1，3）上恒成立，即x∈（1，3）时，a≤3x＋ 恒成立，因为3x＋ ≥2 ＝6 ，当且仅当x＝ 时等号成 立，即（3x＋ ）min＝6 ，所以a≤6 . （－∞，6 ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 14. 已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g（x）＝x2＋（2－a）ln x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围 是 ⁠. （－∞， ）∪（2，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x ＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥ ；若g（x）＝x2＋（2 －a）ln x无极值，则g'（x）＝ ≥0对x∈（0，＋∞）恒成 立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无 极值，则或解得a∈（－∞， ）∪（2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 15. （2024·成都模拟）已知函数g（x）＝ 的图象与函数f（x）＝aln x的图象在公共点处有相同的切线，则公共点坐标为 ⁠. 解析：函数f（x）＝aln x的定义域为（0，＋∞），可得f'（x）＝ ，由g'（x）＝ ，设曲线f（x）＝aln x与曲线g（x）＝ 的公 共点为（x0，y0），由于在公共点处有共同的切线，所以 ＝ ， 所以x0＝4a2（a＞0），由f（x0）＝g（x0），可得aln x0＝ ，联 立可得解得x0＝e2，所以y0＝e，所以公共点坐标为 （e2，e）. （e2，e） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 16. （多选）已知函数f（x）＝aln x＋x2－（a＋2）x，其中a∈R且 a≠0，则（　　） A. 当a＝2时，f（x）无极值点 B. 当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0 C. 当a＝2时，曲线f（x）在x＝2处的切线方程为y＝x－6＋2ln 2 D. 当a＞0时，f（a）≥f（1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：　f'（x）＝ ＋2x－（a＋2）＝ ，x＞0.当 a＝2时，f'（x）＝ ≥0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞） 上单调递增，故f（x）无极值点，A正确；当a＜0时，2x－a＞0，f （x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，f（1）＝ －a－1，当x→0＋，f（x）→＋∞，当x→＋∞，f（x）→＋∞，当 f（1）＝0即a＝－1时，f（x）有且仅有1个零点；当a＜－1时，f （x）无零点；当－1＜a＜0时，f（x）有2个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 当a＞0，令f'（x）＝0，解得x＝1或 ，当x→0＋，f（x）→－∞，当 x→＋∞，f（x）→＋∞，①当a＝2时，由A项分析可知f（x）在（0， ＋∞）上单调递增，此时有且仅有1个零点，②当0＜a＜2时，f（x）在 （0， ）上单调递增，在（ ，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递 增，当a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1， ）上单调递减， 在（ ，＋∞）上单调递增，f（1）＝－a－1＜0，f（ ）＝aln － － a＜0，则当a＞2或0＜a＜2时，f（x）在（0，＋∞）上有且仅有1个零点， 综上，当f（x）有且仅有1个零点时，a＞0或a＝－1，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 当a＝2时，f（2）＝2ln 2－4，f'（2）＝1，所以f（x）在x＝2处的切线 方程为y＝x－6＋2ln 2，C正确；当a＞0时，f（a）－f（1）＝aln a－ 2a＋a＋1＝aln a－a＋1，记h（a）＝aln a－a＋1，h'（a）＝ln a，令 h'（a）＞0，解得a＞1，则h（a）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞） 上单调递增，所以h（a）≥h（1）＝0，即f（a）≥f（1），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 17. 若曲线f（x，y）＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲 线f（x，y）＝0的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自 公切线”的序号为 ⁠. ①y＝x2－2｜x｜；②y＝3 sin x＋4 cos x；③3x2－xy＋1＝0；④x2＋ y2－x－｜x｜－1＝0. ①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 解析：①y＝x2－2｜x｜＝在x＝－1和x＝1处的切线都是y＝－1，故①有“自公切线”；②y＝3 sin x＋4 cos x＝5 sin （x＋φ），其中 cos φ＝ ， sin φ＝ ，此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故②有“自公切线”；③3x2－xy＋1＝0，即y＝3x＋ （x≠0），则y'＝3－ ，假设此函数有“自公切线”，设切点分别为A（x1，3x1＋ ），B（x2，3x2＋ ），且x1≠x2，所以切线的斜率k＝3－ ＝3－ ，解得x2＝－x1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 则B（－x1，－3x1－ ），故k＝3－ ＝ ，化简得3x1＋ ＝3x1－ ，无 解，所以③没有“自公切线”；④x2＋y2－x－｜ x｜－1＝0，当x≥0，则（x－1）2＋y2＝2，当x＜ 0，则x2＋y2＝1，表示的图形如图，由于圆（x－ 1）2＋y2＝2与圆x2＋y2＝1相交，有公切线，所以④ 有“自公切线”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 目录 $