专题5 培优点3 圆锥曲线中二级结论的应用-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线二级结论应用，覆盖椭圆双曲线焦点三角形、焦半径、切线方程等核心考点，对接高考评价体系，通过2023全国甲卷等真题分析考点权重，归纳焦点三角形面积计算、焦半径关系证明等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“结论推导+真题解析+跟踪训练”模式，如用焦点三角形面积公式速解2023全国甲卷题，培养学生数学思维与模型观念。特设必记结论清单和易错点警示，帮助学生掌握焦半径公式应用等技巧，教师可依托此课件实现精准复习，提升学生高考得分率。

培优点3　 圆锥曲线中二级结论的应用 PART ONE 　　圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解. 椭圆、双曲线的焦点三角形 【例1】　（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个 焦点，点P在C上，若 · ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 √ 解析：　法一　∵ · ＝0，∴∠F1PF2＝90°.由题意可知b2＝1， 则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝b2·tan ＝1，解得｜PF1｜·｜PF2｜ ＝2.故选B. 法二　由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ · ＝0， ∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋ ＝｜F1F2｜2＝4c2.∵｜PF1｜＋｜ PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝ ＝ ＝2.故选B. 必记结论 　　焦点三角形的面积公式：P为椭圆（双曲线）上异于长轴端点的一 点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中， ＝ b2·tan ；在双曲线中， ＝ . 如图，F1，F2是椭圆C1： ＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别 是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心 率是（　　） A. B. C. D. √ 跟踪训练 解析：　设双曲线C2的方程为 － ＝1（a2＞0，b2＞0），则有 ＋ ＝ ＝ ＝4－1＝3.又四边形AF1BF2为矩形，所以△AF1F2的面积为 tan 45°＝ ，即 ＝ ＝1.所以 ＝ － ＝3－1＝2.故双曲 线的离心率e＝ ＝ ＝ . 椭圆、双曲线的焦半径 【例2】　如图，F1，F2为椭圆 ＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端 点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的 取值范围是 ⁠. （－ ， ） 解析：设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平 分线性质知， ＝ ，于是得 ＝ ⇒m＝e2x0＝ x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－ ， ）. 1. 若点P（x0，y0）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，则｜PF1｜＝a＋ ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）. 2. 若点P（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）右支上，则｜ PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）. 3. 焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两 点，则 ＋ ＝ . 必记结论 已知椭圆C： ＋ ＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜ AF2｜＝2，则｜AB｜＝ 　​ 　， cos ∠F1AB＝ 　－ 　. 解析：∵a＝4，b＝2，由 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ，∴｜BF2｜＝ ，∴｜AB｜＝ ，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝ ， ∴ cos ∠F1AB＝ ＝ ＝－ . ​ － 跟踪训练 切线、切点弦方程 【例3】　已知椭圆E： ＋ ＝1，点P为直线l：x＝3上的一点，过点 P作椭圆E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB，求证：直线AB过定 点M，并求出定点M的坐标. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（3，y0）， 过点P且切点在A处的椭圆E的切线方程为 ＋ ＝1， 同理，过点P且切点在B处的椭圆E的切线方程为 ＋ ＝1. 因为点P在直线PA，PB上， 所以 所以直线AB的方程为 ＋ ＝1， 则直线AB过定点M（2，0）. 1. 已知点P（x0，y0）为椭圆（双曲线）上任一点，则过点P与圆锥曲线 相切的切线方程为：在椭圆中 ＋ ＝1；在双曲线中 － ＝1. 2. 若点P（x0，y0）是椭圆（双曲线）外一点，过点P（x0，y0）作椭圆 （双曲线）的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB的直线方程 是：在椭圆中 ＋ ＝1；在双曲线中 － ＝1. 必记结论 已知椭圆C： ＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离 的最大值为（　　） A. B. C. D. √ 跟踪训练 解析：　法一　取椭圆上任意一点P，易知当过点P的直线l1与直线l平 行且与椭圆C相切时，点P到直线l的距离取得最值.设直线l1的方程为y＝ x＋k，与椭圆C的方程联立，得消去x得3y2－2ky＋k2－2 ＝0，令Δ＝4k2－12（k2－2）＝0，得k＝± ，数形结合知，当k＝－ 时，点P到直线l的距离最大，最大值为 ＝ .故选C. 法二　设P（x0，y0）为椭圆C上一点，则过点P的椭圆C的切线方程为 ＋y0y＝1，易知当切线与直线l平行时，点P到直线l的距离取得最值， 所以x0＝－2y0，又P（x0，y0）在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，即2 ＋ ＝1，得y0＝± ，则点P的坐标为（ － ， ）或（ ，－ ）. 易知点P的坐标为（ ，－ ）时，点P到直线l的距离最大，最大值为 ＝ .故选C. 椭圆、双曲线的第三定义 【例4】　已知椭圆C： ＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1， M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组 平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10 条直线的斜率乘积为（　　） A. － B. － C. D. √ 解析：　如图所示，由椭圆的性质可得 · ＝ · ＝－ ＝－ .由椭圆的对 称性可得 ＝ ， ＝ ，所以 · ＝－ .同理可得 · ＝ · ＝ · ＝ · ＝－ .所以直 线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积 为（－ ）5＝－ .故选B. 必记结论 　　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实 轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ，双曲线中kPA·kPB＝ . 椭圆C： ＋ ＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜 率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（　　） A. ［ ， ］ B. ［ ， ］ C. ［ ，1］ D. ［ ，1］ √ 跟踪训练 解析：　设P点坐标为（x0，y0），则 ＋ ＝1， ＝ ， ＝ ，于是 · ＝ ＝ ＝－ .故 ＝－ · .∵ ∈[－2，－1]，∴ ∈［ ， ］. 圆锥曲线的垂径定理 【例5】　已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直 线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方 程为（　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 √ 解析：　由题意可知kAB＝ ＝1，kMO＝ ＝ ，由双曲线的垂径 定理得kMO·kAB＝ ，即 ＝ ，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝5， 故双曲线E的方程为 － ＝1. 1. 若AB是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M （x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－ . 2. 若AB是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M （x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝ . 必记结论 椭圆 ＋ ＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　） A. 4x＋9y－17＝0 B. 4x－9y－17＝0 C. x＋3y－2 －3＝0 D. x－3y－2 ＋3＝0 √ 跟踪训练 解析：　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B （x2，y2），则有两式相减得 ＋ ＝0，因为M （2，1）为中点，所以 ＝2， ＝1，所以斜率k＝ ＝－ ＝－ （ 或直接利用结论k＝－ · ＝－ × ＝－ ），所以 所求直线方程为y－1＝－ （x－2），即4x＋9y－17＝0. 双曲线中有关渐近线的距离 【例6】　（2024·长春模拟）已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1 （a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝ 10，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为 d1，d2，则 ＝（　　） A. B. C. D. 2 √ 解析：　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝ 6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝ ＝ ，所 以 ＝ . 1. 双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b. 2. 双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 . 3. 双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘积为定值 . 必记结论 　过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线， 垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 4 解析：　双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝ 0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩 形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝ ＝1，故选B. √ 跟踪训练 抛物线的焦点弦 【例7】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是 原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D. 2 √ 解析：　∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＝1，∴｜BF｜＝ .设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜ ＝｜AF｜＋｜BF｜＝ ＝ ，即3＋ ＝ ，∴ sin 2θ＝ ， sin θ＝ ，则△AOB的面积S△AOB＝ ＝ ＝ ，故选C. （1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2； （2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ； （3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，且 ＋ ＝ ； （4）S△OAB＝ （O为坐标原点）. 必记结论 　　若倾斜角为α（α≠ ）的直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦 点，且与抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2）两点，则 已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2， 直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则｜AB｜ ＋｜DE｜的最小值为（　　） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 √ 跟踪训练 解析：　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0， ），则直线l2的倾斜角为 ＋θ，由抛物线的焦点弦弦长 公式知｜AB｜＝ ＝ ，｜DE｜＝ ＝ ，∴｜AB｜＋｜DE｜＝ ＋ ＝ ＝ ≥16，当且仅当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时取等 号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16. 课时跟踪检测 1. 已知椭圆C： ＋ ＝1的两焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且 ∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为（　　） A. 6 B. 2 C. 4 D. 6 解析：　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知， ＝b2tan ＝6·tan ＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的 直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方程 为（　　） A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x 解析：　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2， y2），则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2＝－ p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 已知A，B是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，M是椭 圆上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为－ ，则 椭圆C的离心率为（　　） A. B. C. D. 解析：　椭圆上不同于A，B的任意一点与左、右顶点的斜率之积为 － ，∴－ ＝－ ，∴ ＝ ，∴椭圆的离心率e＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图，A，B分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右顶点， 点P在以AB为直径的圆O上（点P异于A，B两点），线段AP与椭圆 C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C 的离心率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，又 所以kAQ·kBP＝4kAQ·kBQ＝4（e2－1）＝－1⇒e＝ . 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－ ，0），F2（ ，0），过 F2的直线与C的右支交于A，B两点.若 ＝2 ，｜AB｜＝｜ F1B｜，则双曲线C的方程为（　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t， ∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ，即 ＝ ，又｜F1B｜－｜ F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴2t＝2a，∴t＝a， ∴ ＝ ，即3b2＝4a2，又c＝ ，∴a2＋b2＝7，解 得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），过原点O的直线交C于 A，B两点（点B在右支上），双曲线右支上一点P（异于点B）满足 · ＝0，直线PA交x轴于点D，若∠ADO＝∠AOD，则双曲线C 的离心率为（　　） A. B. 2 C. D. 3 解析：　如图，∵ · ＝0，∴BA⊥BP，令kAB ＝k，∵∠ADO＝∠AOD，∴kAP＝－kAB＝－k，又 BA⊥BP，∴kPB＝－ ，依题意知kPB·kPA＝ ，∴ － ·（－k）＝ ，∴ ＝1，即e＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. （多选）已知斜率为 的直线l经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦 点F，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准 线交于点D，若｜AB｜＝8，则以下结论正确的是（　　） A. ＋ ＝1 B. ｜AF｜＝6 C. ｜BD｜＝2｜BF｜ D. F为AD中点 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析： 　设直线AB的倾斜角为θ，则θ＝ ，利用抛物线的焦点 弦的性质，由｜AB｜＝ ＝8，则p＝3，｜AF｜＝ ＝6，｜ BF｜＝ ＝2， ＋ ＝ ＝ ，过点B作准线的垂线， 垂足为B'，在Rt△DBB'中， cos θ＝ ，所以｜BD｜＝4，｜ DF｜＝｜BF｜＋｜BD｜＝6，因此F为AD中点.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （多选）（2024·泸州阶段练习）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过右焦点F2的直线l与双曲线的右 支交与A，B两点，则下列说法中正确的是（　　） A. 弦AB的最小值为 B. 若｜AB｜＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a C. 若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k＝ D. 若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　弦AB的最小值为通径 ，故A正确；由双曲线的定义 得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a，所以｜AF1｜ ＝｜AF2｜＋2a，｜BF1｜＝｜BF2｜＋2a，｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜ AF2｜＋2a＋｜BF2｜＋2a＝｜AB｜＋4a，则△F1AB的周长为｜ AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝2｜AB｜＋4a＝2m＋4a，故B正确；根 据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝ ，故C正确；若直线AB的斜率 为 ，所以 ＜ ，所以b2＜3a2，所以c2＜4a2，所以e＝ ∈（1， 2），故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2， 过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知 ＝ ，则双曲 线的渐近线方程为 ⁠. y＝±2x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：依题意， ＝ ，｜PF2｜－｜PF1｜＝2a，则｜PF2｜＝ 4a，｜PF1｜＝2a.令双曲线的半焦距为c，又点F2（c，0）到渐近线 的距离为b，则有 cos ∠PF2F1＝ .在△PF1F2中，由余弦定理得｜ F1F2｜2＋｜PF2｜2－2｜F1F2｜｜PF2｜ cos ∠PF2F1＝｜PF1｜2，即 （2c）2＋（4a）2－2·2c·4a· ＝（2a）2，整理得c2＋3a2－4ab＝0， 即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝ ±2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知P是椭圆 ＋ ＝1（a1＞b1＞0）和双曲线 － ＝1（a2＞0， b2＞0）的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，e1，e2分别 为椭圆和双曲线的离心率，若∠F1PF2＝ ，则e1·e2的最小值 为 ⁠ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：因为点P为椭圆和双曲线的公共点，F1，F2是两曲线的公共焦 点，则由焦点三角形的面积公式得 ＝ tan ＝ ，化简得 ＝3 ，即 －c2＝3（c2－ ），等式两边同除c2，得 －1＝3 － ，所以4＝ ＋ ≥ ，解得e1·e2≥ ，所以e1·e2的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $