专题5 培优点2 圆锥曲线中的设点、设线技巧-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线设点设线核心考点，严格对接高考评价体系，系统梳理抛物线椭圆双曲线方程求解、直线与曲线位置关系等高频考点，通过近五年真题分析明确设点设线技巧占60%的考查权重，归纳参数设点直接设线等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，以抛物线与圆相切问题为例，运用“设而不求”思维简化运算，培养数学思维与数学语言表达能力，通过韦达定理应用突破斜率计算等考点，帮助学生掌握答题技巧提高得分率，为教师提供系统复习框架助力高效教学。

培优点2　 圆锥曲线中的设点、设线技巧 PART ONE 　　解决解析几何问题，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出点与线“设”的重要性，以达到简化运算的目的. 设点的技巧 【例1】　抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交 C于P，Q两点，且OP⊥OQ. 已知点M（2，0），且☉M与l相切. （1）求抛物线C和☉M的方程； 解：因为x＝1与抛物线有两个不同的交点， 故可设抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0）. 令x＝1，则y＝± ， 根据抛物线的对称性，不妨设P在x轴上方，Q在x轴下方， 故P（1， ），Q（1，－ ）， 因为OP⊥OQ， 故1＋ ×（－ ）＝0⇒p＝ ， 故抛物线C的方程为y2＝x， 因为☉M与l相切，故其半径为1， 故☉M的方程为（x－2）2＋y2＝1. （2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与☉M相切.判断 直线A2A3与☉M的位置关系，并说明理由. 解：设A1（ ，y1），A2（ ，y2），A3（ ，y3）， 由直线的两点式可知，直线A1A2的方程为（ － ）（y－y2）＝（y1－y2）（x－ ）， 化简可得x－（y1＋y2）y＋y1y2＝0， 因为直线A1A2与圆M相切， 所以 ＝1⇒（2＋y1y2）2＝1＋（y1＋y2）2， 整理得（ －1） ＋2y1y2＋3－ ＝0， 又 ＝x2，代入得（ －1）x2＋2y1y2＋3－ ＝0， 同理可得（ －1）x3＋2y1y3＋3－ ＝0， 于是直线A2A3的方程为（ －1）x＋2y1y＋3－ ＝0， 设M到直线A2A3的距离为d， 则有d2＝ ＝1， 此时直线A2A3与☉M也相切， 综上，直线A2A3与☉M相切. 1. 由于抛物线方程中只有一个二次元，所以抛物线上动点的坐标可以用一 个字母来表示. 2. 椭圆与双曲线上的点可借助于三角换元设点，若常规设点，一般是用 “设而不求”的思想方法解决问题. 感悟提升 （2024·大连第一次模拟考试）设F1，F2分别是双曲线C： － ＝1（a ＞0，b＞0）的左、右焦点，点A是双曲线C右支上一点，若△AF1F2的内 切圆M的半径为a（M为圆心），且∃λ∈R，使得 ＋3 ＝λ （O为坐标原点），则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C. 2 D. 2 √ 跟踪训练 目录 解析：　不妨设点A在第一象限，M（xM，yM），A（xA，yA），则 ＝（xM，yM）， ＝（xM－xA，yM－yA），因为 ＋3 ＝ λ ，所以yM－yA＋3yM＝0，得yA＝4yM＝4a，所以 ＝ ·2c·4a＝ ·（｜AF1｜＋｜AF2｜＋2c）·a，又｜AF1｜－｜AF2｜＝ 2a，所以｜AF1｜＝3c＋a，｜AF2｜＝3c－a.因为F1（－c，0），所 以｜AF1｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ xA＋a，所以3c＝ xA，解 得xA＝3a，所以A（3a，4a），代入双曲线C的方程得 － ＝1，解得b＝ a，所以c＝ ＝ a，所以双曲线C的 离心率e＝ ＝ .故选A. 设线的技巧 【例2】　（2024·贵阳适应性考试）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞ 0）的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长 的 倍，且椭圆C过点P（ 1， ）. （1）求椭圆C的方程； 解：（1）由题意知a＋c＝ b，得（a＋c）2＝3b2， 又a2＝b2＋c2，所以（a＋c）2＝3（a2－c2）， 化简得a＝2c，所以b＝ c. 因为椭圆C过点P（ 1， ），所以 ＋ ＝1， 所以 ＋ ＝1，解得c＝1. 所以a＝2，b＝ ，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1. （2）设过点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐 角.若点P（ 1， ）到直线l的距离为 ，求直线PM与直线PN的 斜率之和. 解：由（1）知，F（1，0），设直线l的方程为x＝my＋1（m＞0）， 由点P（ 1， ）到直线l的距离为 ，得 ＝ ，解得m＝2. 联立消去x整理得16y2＋12y－9＝0，Δ＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ， 所以直线PM与直线PN的斜率之和为 ＋ ＝ ＋ ＝1－ · ＝0. 　　在圆锥曲线与直线的问题当中，设直线的方法比较多，常见有以下几 种类型： （1）当题干中直接或者隐含直线过定点（x0，y0）时，可设点斜式y－y0 ＝k（x－x0）. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； （2）当题干中含有过y轴上一定点（0，b）时，或者在解题步骤中需要 x1·x2或x1＋x2，需要消掉y，保留x时，设y＝kx＋b会简化解题步骤 和计算量. 局限性：不能表示垂直于x轴的直线，需要单独讨论； 感悟提升 （3）当题干中含有过x轴上一定点（m，0）时，或者在解题步骤中需要 y1·y2或y1＋y2，需要消掉x，保留y时，设x＝ky＋m会简化解题步 骤和计算量. 局限性：不能表示平行于x轴的直线，需要单独讨论. 已知实数m，n满足2mn＝1.令m＝ ，n＝ ，记动点M（x，y） 的轨迹为E. 跟踪训练 目录 （1）求E的方程，并说明E是什么曲线； 解：由题意知2· · ＝1，故x2－y2＝2，所以E的方程 为 － ＝1. 由方程得a＝b＝ ，c＝2， 所以E是以（－2，0），（2，0）为焦点，实轴长为2 的等轴 双曲线. （2）过点F2（2，0）作相互垂直的两条直线l1和l2，l1和l2与E分别交于 点A，B和C，D，证明：｜AB｜＝｜CD｜. 解：证明：当直线l1垂直于x轴时，则AB为通 径，故｜AB｜＝ ＝2 . 此时l2为x轴，此时｜CD｜为实轴长，故｜CD｜ ＝2 ， 所以｜AB｜＝｜CD｜； 当直线l1不垂直于x轴时，设l1：x＝ty＋2，l2：x ＝－ y＋2，t≠0，联立 消去x并整理得（t2－1）y2＋4ty＋2＝0， 因为l1与E交于两点，故t≠±1， 此时Δ＝16t2－4（t2－1）×2＝8（t2＋1）＞0， 所以｜AB｜＝ ｜y1－y2｜ ＝ · ＝ ， 同理，得｜CD｜＝ ＝ ， 所以｜AB｜＝｜CD｜. 课时跟踪检测 1. 已知抛物线C的方程为y＝ x2，F为其焦点，点N坐标为（0，－4）， 过点F作直线交抛物线C于A，B两点，D是x轴上一点，且满足｜ DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜.则直线AB的斜率为（　　） A. ± B. ± C. ± D. ± √ 1 2 3 4 5 6 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（a，0），由题意，F （0，1），设直线AB的方程为y＝kx＋1，联立直线与抛物线方程，可 得x2－4kx－4＝0，x1x2＝－4.又｜DA｜＝｜DB｜＝｜DN｜＝ ，故A（x1，y1），B（x2，y2）是圆x2＋y2－2ax－16＝0上 的点.将y＝kx＋1代入方程，得（1＋k2）x2＋（2k－2a）x－15＝ 0.∴－ ＝x1x2＝－4.∴k2＝ ，即k＝± .故选B. 1 2 3 4 5 6 2. （2024·怀化质检）已知P，Q（yPyQ＜0）分别为直线y＝x和y＝－x 上的点，且△OPQ（O为坐标原点）的面积为2，则线段PQ的中点M 的轨迹方程为（　　） A. x2－y2＝2 B. x2＋y2＝2 C. y2－x2＝2 D. x2＋y2＝4 √ 1 2 3 4 5 6 解析：　如图所示，不妨设P（a，a），Q（b，－ b），M（x，y），则x＝ ，y＝ ，且∠POQ ＝90°，｜OP｜＝｜ a｜，｜OQ｜＝｜ b｜， ∴S△OPQ＝ ·｜ a｜·｜ b｜＝｜ab｜＝2，∵－ ab＜0，∴ab＞0，则ab＝2，∴x2－y2＝ － ＝ab＝2，∴线段PQ的中点M的轨迹方程 为x2－y2＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 3. （多选）（2024·南宁第一次适应性测试）已知抛物线C：y2＝4x的焦 点为F，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C交于P，Q两点，l2 与C交于M，N两点，线段PQ的中点为G，线段MN的中点为H，则 （　　） A. 当｜PF｜＝2｜QF｜时，｜MN｜＝36 B. ｜PQ｜＋｜MN｜的最小值为18 C. 直线GH过定点（4，0） D. △FGH的面积的最小值为4 √ √ 1 2 3 4 5 6 解析：　对于A，由题意得F（1，0），设直线l1的方程为x＝my＋ 1，则直线l2的方程为x＝－ y＋1，由得y2－4my－4＝ 0，易知Δ＞0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝4m，y1y2＝ －4，设M（x3，y3），N（x4，y4），同理得y3＋y4＝－ ，y3y4＝－ 4，又｜PF｜＝2｜QF｜，所以y1＝－2y2，所以m2＝ ，所以｜MN｜ ＝x3＋x4＋2＝－ （y3＋y4）＋2＋2＝ ＋4＝36，故A正确.对于B， 由A知｜MN｜＝x3＋x4＋2＝－ （y3＋y4）＋2＋2＝ ＋4，又｜ 1 2 3 4 5 6 PQ｜＝x1＋x2＋2＝m（y1＋y2）＋2＋2＝4m2＋4，所以｜PQ｜＋｜ MN｜＝ ＋4＋4m2＋4≥16，当且仅当4m2＝ ，即m＝±1时，等号 成立，故B错误.对于C，由A知，G（2m2＋1，2m），H（ ＋1，－ ），所以直线GH：y－2m＝ （x－2m2－1），令y＝0，得x ＝3，所以直线GH过定点（3，0），故C错误.对于D，因为直线GH过 定点A（3，0），所以S△FGH＝ ｜FA｜·｜yG－yH｜＝｜yG－yH｜ ＝｜2m＋ ｜≥4，当且仅当m＝±1时，等号成立，故D正确.综上， 选A、D. 1 2 3 4 5 6 4. （2024·南充诊断）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点 分别为F1，F2，P为C上异于左、右顶点的一点，M为△PF1F2的内 心，若5 ＋3 ＋3 ＝0，则该椭圆的离心率是 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 解析：设P（x0，y0），M（x，y），由题可得F1（－c，0），F2 （c，0），则 ＝（－c－x，－y）， ＝（c－x，－y）， ＝（x0－x，y0－y），因为5 ＋3 ＋3 ＝0，所以5（－c －x，－y）＋3（c－x，－y）＋3（x0－x，y0－y）＝（0，0），则 可得y＝ ，所以△PF1F2的内切圆半径为 ，由椭圆定义可 得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜F1F2｜＝2c，所以 ＝ （｜ PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）× ＝ ｜F1F2｜×｜y0｜，即 （2a＋2c）× ＝ ×2c×｜y0｜，即3a＝8c，所以椭圆的离 心率e＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 5. （2024·潍坊模拟）已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）中，点A，C 分别是E的左、上顶点，｜AC｜＝ ，且E的焦距为2 . （1）求E的方程和离心率； 解：因为｜AC｜＝ ，所以a2＋b2＝5. 因为焦距为2 ，所以半焦距c＝ ，则a2－b2＝3， 解得a2＝4，b2＝1， 所以椭圆E的方程为 ＋y2＝1，其离心率e＝ . 1 2 3 4 5 6 （2）过点（1，0）且斜率不为零的直线交椭圆于R，S两点，设直 线RS，CR，CS的斜率分别为k，k1，k2，若k1＋k2＝－3，求k 的值. 解：由（1）知C（0，1）. 设R（x1，y1），S（x2，y2），x1x2≠0，所以k1＝ ，k2＝ . 由题意得直线RS：y＝k（x－1）（k≠±1且k≠0）， 代入 ＋y2＝1，得（4k2＋1）x2－8k2x＋4k2－4＝0， 1 2 3 4 5 6 则有x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 因为k1＋k2＝－3， 所以k1＋k2＝ ＋ ＝ ＝ ＝－3， 即（2k＋3）x1x2－（k＋1）（x1＋x2）＝0， 所以（2k＋3） －（k＋1） ＝0， 整理得k2－2k－3＝0， 又k≠±1，所以k＝3，即k的值为3. 1 2 3 4 5 6 6. （2024·济南模拟）已知双曲线C： －y2＝1的左、右顶点分别为A1， A2，过点P（4，0）的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点. （1）若直线l的斜率k存在，求k的取值范围； 1 2 3 4 5 6 解：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线l的方程为x＝ my＋4（m≠0）， 联立x＝my＋4与 －y2＝1，消去x可得（m2－4）y2＋8my＋12 ＝0. 由 可得－2＜m＜0或0＜m＜2. 由k＝ 可得k的取值范围为（ －∞，－ ）∪（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 （2）记直线A1M，A2N的斜率分别为k1，k2，求 的值； 解：由题意得A1（－2，0），A2（2，0）. 由根与系数的关系可知y1＋y2＝－ ，y1y2＝ . 于是2my1y2＝－3（y1＋y2）. 因此 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝－ . 1 2 3 4 5 6 （3）设G为直线A1M与直线A2N的交点，△GMN，△GA1A2的面积分 别为S1，S2，求 的最小值. 1 2 3 4 5 6 解：由（2）可知k2＝－3k1，于是直线A1M与直线A2N的方程分别为y＝k1（x＋2），y＝－3k1（x－2）， 由可得交点G的横坐标为xG＝1， 如图，于是 ＝ ＝ · ＝ · ＝ ＝ ＝ ＝－1＋ ≥－1＋ ＝3， 故 的最小值为3，当且仅当m＝0时等号成立. 1 2 3 4 5 6 $