专题2 培优点2 带绝对值的三角函数性质-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦带绝对值的三角函数性质这一高考热点，覆盖奇偶性、周期性、单调性等核心考点，严格对接高考评价体系。通过分析近五年真题明确考点权重，归纳出sin|x|型、|sin x|型及双绝对值型三大常考题型，构建系统的知识网络与解题框架，实用性强。 课件亮点在于“真题解析+分类突破+素养提升”的备考模式，如以2024遵义三模双绝对值函数题为例，运用分类讨论和数形结合思想（数学思维），指导学生去绝对值写分段函数（数学语言），培养逻辑推理与直观想象素养。特设易错点警示与跟踪训练，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

培优点2　 带绝对值的三角函数性质 PART ONE 　　带绝对值的三角函数性质是高考的热点，解决此类问题常用分类讨论和数形结合思想. 目录 1. y＝｜ sin x｜的图象 y＝｜ sin x｜的图象是将y＝ sin x图象中x轴下方的图象沿x轴对折上去 得到的（x轴上方图象保持不变），如图1. 2. y＝ sin ｜x｜的图象 y＝ sin ｜x｜的图象是将y＝ sin x图象中y轴左边部分除掉，再将y轴右 边的部分对折到左边得到的（y轴右边图象保持不变），如图2. 3. y＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜的图象与性质 令f（x）＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜，由f（x＋ ）＝｜ sin （x＋ ）｜ ＋｜ cos （x＋ ）｜＝｜ cos x｜＋｜－ sin x｜＝｜ sin x｜＋｜ cos x｜ ＝f（x），知f（x）是周期函数，最小正周期T＝ . 先作x∈［0， ］部分的函数图象，然后沿x轴向左、向右平移（每次 平移 个单位长度）可得到y＝｜ sin x｜＋ ｜ cos x｜（x∈R）的图象，如图3. 因此从图象可以得到它的性质：①定义域为R；②值域为[1， ]；③ 图象关于y轴对称，为偶函数；④在［ － ， ］（k∈Z）上单调 递减，在［ ， ＋ ］（k∈Z）上单调递增；⑤最小正周期为 . 【例1】　关于函数f（x）＝ sin ｜x｜，下列说法正确的是 （　　） A. f（x）的最小值为0 B. f（x）为奇函数 C. f（x）的最小正周期为π D. f（x）在（－ ，－ ）上单调递减 sin ｜x｜型的三角函数问题 √ 解析：　f（x）＝ sin ｜x｜＝最小值为－ ，所以A不正确；又由f（－x）＝ sin ｜－x｜＝ sin ｜x｜＝f （x），所以函数f（x）为偶函数，所以B不正确；因为f（ ）＝ sin ＝1，f（π＋ ）＝ sin （π＋ ）＝－1，所以f（ ）≠f（π＋ ），π不是f（x）的周期，所以C不正确；当x＜0时，f（x）＝－ sin x，函数f（x）在［－ ，－ ］上单调递减，又因为（－ ， － ）⊆［－ ，－ ］，所以函数f（x）在（－ ，－ ）上单 调递减，D正确. 　　解决关于 sin ｜x｜的三角函数问题的关键是先判断 sin ｜x｜是偶函 数，其次是研究x≥0时的函数性质，最后根据偶函数的对称性即可得到x ＜0的函数性质，从而解决问题. 感悟提升 　（多选）设函数f（x）＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1，则（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）在[－2π，2π]上有6个零点 C. f（x）的最小值为－ D. f（x）在［－ ，0］上单调递减 √ √ √ 跟踪训练 解析：　选项A，函数f（x）的定义域为R，由f（－x）＝2 sin 2 （－x）－3 sin ｜－x｜＋1＝2 sin 2x－3 sin ｜x｜＋1＝f（x），可得f （x）是偶函数，正确；选项B，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋ 1，由2 sin 2x－3 sin x＋1＝0，可得 sin x＝ 或 sin x＝1，则当x∈[0，2π] 时，x＝ 或x＝ 或x＝ ，又f（x）是偶函数，则当x∈[－2π，0]时， x＝－ 或x＝－ 或x＝－ ，则f（x）在[－2π，2π]上有6个零点，正确； 选项C，当x≥0时，f（x）＝2 sin 2x－3 sin x＋1＝2（ sin x－ ）2－ ， 则当 sin x＝ 时f（x）取得最小值－ ，又f（x）是偶函数，则f（x）的 最小值为－ ，正确；选项D，f（－ ）＝2 sin 2（－ ）－3 sin ｜－ ｜ ＋1＝（1－ ）＋1＜1，f（0）＝2 sin 20－3 sin ｜0｜＋1＝1，则f（－ ）＜f（0），则f（x）在［－ ，0］上不单调递减，错误.故选A、B、C. ｜ sin x｜型的三角函数问题 【例2】　（多选）已知函数f（x）＝2（ sin x＋｜ sin x｜） cos x，则下 列结论中正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为π B. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称 C. f（x）在［－ ， ］上单调递增 D. f（x）的值域为[－2，2] √ √ 解析：　f（x＋π）＝2（－ sin x＋｜ sin x｜）·（－ cos x）＝2（ sin x－｜ sin x｜）· cos x≠f（x），所以A错误；f（ ）＝2（ sin ＋｜ sin ｜）· cos ＝0，f（ ＋x）＝2（ cos x＋｜ cos x｜）（－ sin x），f（ －x）＝2（ cos x＋｜ cos x｜）· sin x＝－f（ ＋x），所以f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称，B正确；因为f（－ ）＝0，f（0）＝0，f（－ ）＝f（0），所以C错误；因为f（x）＝即f（x）＝k∈Z，所以f（x）的值域为[－2，2]，D正确. 　　解决有关｜ sin x｜的三角函数问题，其关键点在于根据 sin x的符号构 造分段函数，逐段分析函数的图象与性质即可. 感悟提升 　已知函数f（x）＝tan x＋｜tan x｜，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的最小正周期为 B. 点（－ ，0）是函数f（x）图象的一个对称中心 C. f（x）的值域为[0，＋∞） D. 不等式f（x）＞2的解集为（ ＋2kπ， ＋2kπ）（k∈Z） √ 跟踪训练 解析：　f（x）＝tan x＋｜tan x｜＝作出函数f（x）的图象，如图.观察图象，f（x）的最小正周期为π，A错误；f（x）的图象没有对称中心，B错误；f（x）的值域为[0，＋∞），C正确；不等式f（x）＞2，即x∈［kπ， ＋kπ）（k∈Z）时，2tan x＞2，得tan x＞1，解得 ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z， 所以f（x）＞2的解集为（ ＋kπ， ＋kπ） （k∈Z），故D错误.故选C. 带双绝对值的三角函数问题 【例3】　（多选）（2024·遵义三模）关于函数f（x）＝2 sin ｜x｜＋｜ sin x｜，有以下四个结论，其中正确的有（　　） A. f（x）的最小正周期为2π B. f（x）在［ ， ］上单调递减 C. 方程xf（x）－1＝0的所有根之和为0 D. 若函数f（ωx）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有5个零点，则ω∈［2， ） √ √ 解析：　因为f（－x）＝2 sin ｜－x｜＋｜－ sin x｜＝2 sin ｜x｜＋｜ sin x｜＝f（x），所以 函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2 sin ｜x｜＋｜ sin x｜＝ k∈Z，如图，作出函数f（x）的图象，由图可知，函数f（x）不是周期函数，故A错误； 函数f（x）在［ ， ］上单调递减，故B正确；对于C，显然x＝0时方程xf（x）－1≠0，当x≠0时，则方程xf（x）－1＝0的根即为函数y＝f（x），y＝ 交点的横坐标，因为函数y＝f（x）是偶函数，函数y＝ 是奇函数，所以两个函数的交点不具有对称性，所以方程xf（x）－1＝0的所有根之和显然不为0，故C错误；对于D，当x∈[0，2π]时，ωx∈[0，2ωπ]，因为函数f（ωx）（ω＞0）在[0，2π]上有且仅有5个零点，所以2ωπ∈[4π，5π），所以ω∈［2， ），故D正确.故选B、D. 　　解决此类带双绝对值的三角函数问题，分析函数的奇偶性和周期性是 两个必备的过程.此类问题的解题步骤可以归纳为：①分析奇偶性、周期 性；②去绝对值，写成分段函数；③画出草图，结合图象和对称性的定义 判断，包括代入必要的特殊值. 感悟提升 　（多选）设函数f（x）＝ cos ｜2x｜＋｜ sin x｜，则（　　） A. f（x）是偶函数 B. f（x）的最小正周期为π C. f（x）的最小值为0 D. f（x）在[0，2π]上有3个零点 √ √ √ 跟踪训练 解析：　因为函数f（x）定义域为R，而且f（－x）＝ cos ｜2x｜ ＋｜ sin x｜＝f（x），所以f（x）是偶函数，A正确；因为函数y＝ cos ｜2x｜的最小正周期为π，y＝｜ sin x｜的最小正周期为π，所以f （x）的最小正周期为π，B正确；f（x）＝ cos ｜2x｜＋｜ sin x｜＝ cos 2x＋｜ sin x｜＝1－2 sin 2x＋｜ sin x｜＝－2（｜ sin x｜－ ）2＋ ， 而｜ sin x｜∈[0，1]，所以当｜ sin x｜＝1时，f（x）的最小值为0，C正 确；由上可知f（x）＝0可得1－2 sin 2x＋｜ sin x｜＝0，解得｜ sin x｜＝ 1或｜ sin x｜＝－ （舍去），因此在[0，2π]上只有x＝ 或x＝ 共2个 零点，所以D不正确.故选A、B、C. 课时跟踪检测 1. 如图，曲线对应的函数是（　　） A. y＝｜ sin x｜ B. y＝ sin ｜x｜ C. y＝－ sin ｜x｜ D. y＝－｜ sin x｜ 解析：　注意到图象所对应的函数值有正有负，因此排除A、D，又 当x∈（0，π）时， sin ｜x｜＞0，而图中显然是小于零，因此排除B. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 √ 2. 已知函数f（x）＝｜tan（ x－ ）｜，则下列说法正确的是（　　） A. f（x）的一个周期是 B. f（x）的值域是{y｜y∈R，且y≠0} C. 直线x＝ 是函数f（x）图象的一条对称轴 D. f（x）的单调递减区间是（2kπ－ ，2kπ＋ ），k∈Z √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　函数f（x）的最小正周期为2π，故A错；f（x）的值域为 [0，＋∞），故B错；当x＝ 时， x－ ＝ ≠ ，k∈Z，所以x＝ 不是f（x）的对称轴，故C错；令kπ－ ＜ x－ ＜kπ，k∈Z，可 得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z，所以f（x）的单调递减区间是 （2kπ－ ，2kπ＋ ），k∈Z，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 函数f（x）＝2｜ sin x｜＋ cos 2x在［－ ， ］上的单调递减区间为 （　　） A. ［－ ，－ ］和［0， ］ B. ［－ ，0］和［ ， ］ C. ［－ ，－ ］和［ ， ］ D. ［－ ， ］ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　因为函数f（x）＝2｜ sin x｜＋ cos 2x在［－ ， ］上满 足f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数；当0≤x≤ 时，则有f （x）＝2 sin x＋ cos 2x＝－2 sin 2x＋2 sin x＋1＝－2（ sin x－ ）2＋ ，所以x∈［ ， ］时，由复合函数的单调性可知，正弦函数单调递 增，二次函数单调递减，函数f（x）单调递减；所以0≤x≤ 时，单 调递减区间为［ ， ］，又因为其为偶函数，所以单调递减区间为 ［－ ，0］和［ ， ］.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 4. 对于函数f（x）＝ （ sin x＋ cos x）－ ｜ sin x－ cos x｜，下列说法 正确的是（　　） A. f（x）的值域为[－1，1] B. 函数f（x）的最小正周期是π C. 当且仅当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，函数f（x）取得最小值 D. 当且仅当x∈（2kπ， ＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　f（x）＝作出函数f（x）的图象如图所示，f（x）的值域为［－1， ］，故A错；f（x）的最小正周期是2π，故B错；当且仅当x＝ ＋2kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值，故C错；当且仅当x∈（2kπ， ＋2kπ）（k∈Z）时，f（x）＞0，故D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 5. （多选）已知函数f（x）＝ sin ｜x｜＋｜ cos x｜，则下列叙述正确的 有（　　） A. 2π是函数y＝f（x）的一个周期 B. 函数y＝f（x）是偶函数 C. 函数y＝f（x）在区间［ ， ］上单调递减 D. ∀x1，x2∈R，｜f（x1）－f（x2）｜≤ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 解析：　对于A，f（－ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝1，f（ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝－1≠f（－ ），则2π不是函数y＝f（x）的一个周 期，故A错误；对于B，f（－x）＝ sin ｜－x｜＋｜ cos （－x）｜＝ sin ｜x｜＋｜ cos x｜＝f（x），则函数f（x）为偶函数，故B正确； 对于C，当x∈［ ， ］时，f（x）＝ sin x－ cos x＝ sin （x－ ），x－ ∈［ ，π］，可知函数f（x）在［ ， ］上单调递减， 故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 对于D，当x＞0时，f（x）＝ sin x＋｜ cos x｜，此时f（ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝ ，f（ ）＝ sin ＋｜ cos ｜＝－1，即f（ ）－f （ ）＝ ＋1＞ ，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0），且函数y＝｜f（x）｜ 的最小正周期为2π，则函数y＝｜f（x）｜的单调递增区间为 ⁠ ⁠. 解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0），且函数y＝｜f （x）｜的最小正周期为2π，所以ω＝ ，令kπ＜ x＋ ＜kπ＋ ，解 得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，故函数的单调递增区间为（2kπ－ ，2kπ ＋ ）（k∈Z）. （2kπ － ，2kπ＋ ）（k∈Z） 1 2 3 4 5 6 7 8 7. 已知函数f（x）＝｜ sin ωx｜＋｜ cos ωx｜（ω＞0）在区间（ ，π） 上单调递增，则ω的取值范围是 ⁠. （0， ］ 解析：f（x）＝ ＝ ＝ ，ω＞0.令2kπ≤4ωx≤（2k＋1）π，k∈Z，得≤x≤ ，k∈Z，即f（x）的单调递增区间为［ ， ］， k∈Z，ω＞0， 1 2 3 4 5 6 7 8 所以只需k∈Z，解得 2k≤ω≤ ，k∈Z，ω＞0，则解得－ ＜k≤ .又 k∈Z，所以k＝0，所以0＜ω≤ ，即ω的取值范围是（0， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 设O为坐标原点，定义非零向量 ＝（a，b）的“相伴函数”为f （x）＝a sin x＋b cos x（x∈R）， ＝（a，b）称为函数f（x） ＝a sin x＋b cos x的“相伴向量”. （1）设函数g（x）＝2 sin （ －x）－ cos （ ＋x），求函数g （x）的相伴向量 ； 解：因为g（x）＝2 sin （ －x）－ cos （ ＋x）＝2（ cos x－ sin x）－（ cos x－ sin x）＝－ sin x＋ cos x，所以 函数g（x）的相伴向量为 ＝（－ ， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）记 ＝（0，2）的“相伴函数”为f（x），若方程f（x）＝k ＋1－2 ｜ sin x｜在区间x∈[0，2π]上有且仅有四个不同的实 数解，求实数k的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 解：由题意， ＝（0，2）的“相伴函数”f（x）＝ 0× sin x＋2× cos x＝2 cos x， 方程f（x）＝k＋1－2 ｜ sin x｜即2 cos x＝k＋1－2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]， 则方程2 cos x＝k＋1－2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 所以k＝2 cos x－1＋2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]有四个实数解， 令h（x）＝2 cos x－1＋2 ｜ sin x｜，x∈[0，2π]， 1 2 3 4 5 6 7 8 ①当x∈[0，π]时，h（x）＝2 cos x－1＋2 sin x＝4 sin （x ＋ ）－1， ②当x∈（π，2π]时，h（x）＝2 cos x－1－2 sin x＝－4 sin （x－ ）－1， 作出h（x）的图象，如图，由图可知， 当1≤k＜3时，函数h（x）与y＝k有 四个交点，即实数k的取值范围为[1，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 $