专题1 培优点 极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心-【领跑高中】2025版高考数学二轮专题复习教师用书配套课件

该高中数学高考复习课件聚焦极化恒等式、奔驰定理及三角形“四心”等核心考点，紧密对接高考评价体系，分析向量数量积、三角形性质问题的高频考查方向，梳理出数量积计算、四心判定等常考题型，构建针对性强的备考知识体系。 课件亮点在于“真题案例+技巧提炼”的复习模式，如通过例1极化恒等式快速求解向量数量积，例2结合奔驰定理破解面积比问题，培养学生逻辑推理的数学思维与符号表达的数学语言能力。配套跟踪训练与课时检测，助力学生掌握转化技巧，教师可据此精准教学，提升高考冲刺效率。

培优点　极化恒等式、“奔驰定理”与三角形的四心 极化恒等式及应用 极化恒等式：已知a，b是两个平面向量，a·b＝ [（a＋b）2－（a－ b）2]. 变式：a·b＝ － ，a·b＝ － . （1）平行四边形形式：平行四边形ABCD中， · ＝ （ － ）； （2）三角形形式：△ABC中， · ＝ － （O为BC的中 点），即向量的数量积等于对应中线长与对边长一半的平方差. 【例1】　（1）设向量a，b满足｜a＋b｜＝ ，｜a－b｜＝ ，则a·b＝（　A　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 解析：由极化恒等式可知，a·b＝ ＝ ＝1.故选A. √ （2）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球球O的 一条弦（球面上任意两点连成的线段为球的弦），P为正方体表面上 的动点，当弦MN的长度最大时， · 的取值范围是 ⁠⁠. 解析：当弦MN的长度最大时，MN为球O的 直径，连接PO，如图所示，则 · ＝ － ＝ －1.因为P为正方体表面上的动点，故 PO∈[1， ]，所以 · ∈[0，2]. [0，2] 利用极化恒等式快速求解平面向量问题的高分大招 　　适用范围：①共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接转化；② 不共起点和不共终点的两向量的数量积问题可通过向量的平移，等价转化 为共起点或共终点的两向量的数量积问题.在确定求数量积的两个向量共 起点的情况下，可使用如下大招： 感悟提升 1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分 别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则 · ＋ · ＝ ⁠. 解析：连接EG，FH交于点O（图略），则 · ＝ － ＝1－ （ ）2＝ ， · ＝ － ＝1－（ ）2＝ ，因此 · ＋ · ＝ . ​ 跟踪训练 2. 已知AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆 O所在平面上任意一点，则（ ＋ ）· 的最小值是 ⁠. 解析：如图所示，取OC的中点D，连接PD，因为O为 AB的中点，所以（ ＋ ）· ＝2 · ，由极化恒 等式得 · ＝ － ＝ － ，因此当P为OC 的中点，即｜ ｜＝0时，（ ＋ ）· 取得最小值 － . － “奔驰定理”与三角形的四心 1. 奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC· ＋S△PAC· ＋S△PAB· ＝0. 2. “奔驰定理”与三角形的“四心”（四心在三角形内部） （1）O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔ ＋ ＋ ＝0； （2）O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔a ＋b ＋c ＝0； （3）O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝ sin 2A∶ sin 2B∶ sin 2C⇔ sin 2A· ＋ sin 2B· ＋ sin 2C· ＝0； （4）O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tan A∶tan B∶tan C⇔tan A· ＋tan B· ＋tan C· ＝0. 【例2】　（1）已知O，N，P在△ABC所在平面内，且｜ ｜ ＝｜ ｜＝｜ ｜， ＋ ＋ ＝0，且 · ＝ · ＝ · ，则点O，N，P依次是△ABC的（　C　） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 √ 解析：因为｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，所以点O为△ABC的外心，因为 ＋ ＋ ＝0，所以点N为△ABC的重心，因为 · ＝ · ＝ · ，所以点P为△ABC的垂心.故选C. （2）已知O是△ABC内部一点，满足 ＋2 ＋m ＝0，且 ＝ ，则实数m＝（　C　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 解析：法一　延长CO到点M（图略），使得 ＝－ ，因为 ＋2 ＋m ＝0，所以－ ＝ ＋ ，即 ＝ ＋ ，所以A，B，M三点共线，又因为 与 反向共线，所以 ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ，解得m＝4. 法二（奔驰定理法）　根据奔驰定理，由 ＋2 ＋m ＝0，所以 S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.所以 ＝ ＝ ⇒m＝4. 1. 已知P为△ABC内一点，且x ＋y ＋z ＝0（x，y，z∈R， xyz≠0，x＋y＋z≠0），则有： （1）S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝｜x｜∶｜y｜∶｜z｜； （2） ＝｜ ｜， ＝｜ ｜， ＝｜ ｜. 2. 涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂 心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题 时，要注意观察题目有无这一条件. 感悟提升 1. 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若 ＝ λ ＋μ ，则3λ＋6μ＝（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　 ＝λ ＋μ 可化为 ＋λ －λ ＋μ － μ ＝0，整理得（1－λ） ＋（λ－μ）· ＋μ ＝0，所以 （1－λ）∶（λ－μ）∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝ ，μ＝ ，所以3λ ＋6μ＝3× ＋6× ＝3. √ 跟踪训练 2. 设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝ ，如图.若 △PBC，△PCA，△PAB的面积分别为 ，x，y，求x＋y的最大值. 解：由奔驰定理得， ＋x ＋y ＝0，即 ＝2x ＋2y ， 两边平方得 ＝4x2 ＋4y2 ＋8xy｜ ｜·｜ ｜· cos ∠BPC，∵点P是△ABC的外心，∴｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜，且 ∠BPC＝2∠BAC＝ ，∴x2＋y2＋xy＝ ，从而（x＋y）2＝ ＋ xy≤ ＋（ ）2，解得0＜x＋y≤ ，当且仅当x＝y＝ 时取等 号，∴（x＋y）max＝ . 课时跟踪检测 1. 如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径， ＝2 ，则 · ＝（　　） A. － B. － C. － D. － 解析：　由极化恒等式得 · ＝ － ＝ －1＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 2. 点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设 ＝ λ ＋μ ，则实数λ和μ的值分别为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 解析：　根据奔驰定理，得3 ＋2 ＋4 ＝0，即3 ＋2（ ＋ ）＋4（ ＋ ）＝0，整理得 ＝ ＋ .故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. 已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则 · 的最大值是 （　　） A. B. 2 C. D. 解析：　如图所示，取CD的中点E，连接PE，由极化 恒等式可得 · ＝ － ＝｜ ｜2－ ，所以 当P与A（B）重合时，｜ ｜＝ 最大，从而 （ · ）max＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足 ＝ ＋λ（ ＋ ），λ∈[0，＋∞），则P的轨迹一 定通过△ABC的（　　） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　∵ － ＝ ，∴ ＝λ（ ＋ ），令 ＋ ＝ ，则 是以A为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，即 在∠BAC的平分线上， ∵ ＝λ ，∴ ， 共线，故点P的轨迹一定通过△ABC的内 心，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. △ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2 ，则△BGC的面积为 （　　） A. 12 B. 8 C. 4 D. 4 解析：　 cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0，π）， ∴A＝ ，∴S△ABC＝ ×6×8× sin ＝12 ，又G为△ABC的重心， ∴ ＋ ＋ ＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC ＝ S△ABC＝4 . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则 ·（ ＋ ）的最小值为（　　） A. －2 B. － C. － D. －1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE. 由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝ AD＝ ，则 ·（ ＋ ）＝2 · ＝2（｜ ｜2－｜ ｜2）＝2 ［｜ ｜2－（ ）2］≥2×（0－ ）＝－ ，当且仅当｜ ｜＝0 时，取等号，∴ ·（ ＋ ）的最小值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. （多选）如图，设P，Q为△ABC内的两点，且 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，则（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　由 ＝ ＋ ，可得 ＋ － ＋ － ＝0，整理得 ＋ ＋ ＝0，所以2 ＋2 ＋ ＝0， ＝ ＝ .由 ＝ ＋ ，可得 ＋ － ＋ － ＝0，整理得 ＋ ＋ ＝0，所以 ＝ ＝ ， ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. （多选）已知在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上一定点， 满足P0B＝ AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ， 则（　　） A. · ＝ － B. 存在点P，使｜ ｜＜｜ ｜ C. · ＝0 D. AC＝BC √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：　如图所示，取BC的中点D，连接PD，根 据向量的极化恒等式，有 · ＝ － ， · ＝ － .又 · ≥ · ，所 以｜ ｜≥｜ ｜，A正确，B错误；由点P为边AB 上任意一点知，点D到边AB上点的距离的最小值为｜ ｜，从而DP0⊥AB，所以 · ≠0，C错误；取 AB的中点E，连接CE，则由P0B＝ AB知， CE∥DP0，故CE⊥AB，于是AC＝BC，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. △ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14，2 ＋2 ＋ 3 ＝0，则△ABC的外接圆面积为 ⁠. 解析：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.∵2 ＋ 2 ＋3 ＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b ＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC ＝ （a＋b＋c）·r，∴ ×7k×2＝14，解得k＝2，∴a＝4，b＝4， c＝6，∴ cos C＝－ ， sin C＝ ，又2R＝ ＝ ⇒R＝ ＝ ，∴外接圆面积S＝πR2＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 已知点P，Q在△ABC内， ＋2 ＋3 ＝2 ＋3 ＋5 ＝ 0，则 ＝ 　​ 　. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解析：根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3， S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝ S△ABC， ∴PQ∥AB，又∵S△PBC＝ S△ABC，S△QBC＝ S△ABC，∴ ＝ － ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $