精品解析：吉林省2024年下半年普通高中学业水平合格性考试数学试题

2024年下半年吉林省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分100分，答题时间为90分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1.考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负． 2.答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”． 3.答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，第1－10小题每小题3分，第11－15小题每小题4分，共50分． 1. 若集合，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6 6. 若，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 9. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 12. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 13. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品．若从中任取支，则这两支都是一等品的概率是（ ） A. B. C. D. 14. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 第Ⅱ卷（非选择题 共50分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 16. ______． 17. 如果5个数的平均数是7，那么，，，，的平均数是______． 18. 函数的零点的个数为______． 19. 的最小值为______． 三、解答题：本题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间． 21. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是0.5，0.6． （1）求两人恰有一个人成功破译的概率； （2）求至少有一个人成功破译的概率． 22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 23. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数是增函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下半年吉林省普通高中学业水平合格性考试 数学试题 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．全卷满分100分，答题时间为90分钟．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 注意事项： 1.考生要认真检查试题（卡）有无漏印、破损或缺页，若有，及时申请更换，否则责任自负． 2.答题前，考生先将自己的姓名、考籍号、科考号和考生座位序号填写清楚，将条形码准确粘贴到“考生信息条形码粘贴区”． 3.答题时，考生在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本题共15小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，第1－10小题每小题3分，第11－15小题每小题4分，共50分． 1. 若集合，则下列关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定集合判断元素与集合的关系即可. 【详解】由，则，. 故选：B 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的四则运算求解， 【详解】由题意得， 故选：B 3. 已知，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式平方和为1，结合角所在象限求出即可. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 故选：C. 4. 下列函数是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB为偶函数，C为非奇非偶函数，D满足要求. 【详解】，均满足，不为奇函数，AB错误； 定义域为，为非奇非偶函数，C错误； 定义域为R，且，为奇函数，D正确. 故选：D 5. 已知向量与垂直，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标公式即可求解. 【详解】由可得，，解得. 故选：D 6. 若，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的性质判断各项的正误即可. 【详解】由，，则，，，A、B错，C对， 若时满足前提，此时，故D错. 故选：C 7. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入计算即得. 【详解】函数，所以. 故选：C 8. 某校有男生800人，女生400人，为了了解该校学生的运动情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为120的样本．如果样本按比例分配，则女生应抽出的人数为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样公式，按比例抽取，即可求解. 【详解】女生应抽出的人数为. 故选：C 9. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】由若两个三角形全等，则两个三角形大小，形状一样，则这两个三角形的面积相等，即p是q的充分条件.取两直角边长分别为4，1与2，2的直角三角形，面积均为2，但两三角形不全等，即p是q的不必要条件，故p是q的充分不必要条件. 故选：A. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数单调性和中间值比较大小. 【详解】，，故. 故选：A 11. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体线线关系即可求解. 【详解】如图，连接 在正方体中，因为 所以四边形为平行四边形，所以 又在正方形中，，所以 则异面直线与所成角的大小为. 故选：D 12. 为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（ ） A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象变换的左加右减规律逐项分析判断即可. 【详解】对于A：将向右平行移动个单位长度， 可得，符合题意，故A正确； 对于B：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故B错误； 对于C：将向右平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故C错误； 对于D：将向左平行移动个单位长度， 可得，不合题意，故D错误； 故选：A. 13. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品．若从中任取支，则这两支都是一等品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法并根据古典概型的概率公式计算可得. 【详解】将支一等品用表示，支二等品用表示， 从中任取支的情况有，，，，，，，，，共种情况， 这两支都是一等品的情况有，，，，，共种情况， 所以这两支都是一等品的概率为. 故选：A. 14. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是，则这个球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得所求球是棱长为的正方体的外接球，代入正方体对角线公式，求出外接球的半径，代入球的体积公式，可得答案 【详解】由题知，该球为正方体的外接球，正方体的棱长为， 所以体对角线为该球的半径， 所以，这个球的体积是. 故选：B 15. 在中，，，，则为（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，进而判断三角形形状. 【详解】在中，，由余弦定理得， 此时，， 所以为等腰三角形且为钝角三角形，排除A、C、D选项 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题 共50分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 16. ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式计算. 【详解】 故答案为：1. 17. 如果5个数的平均数是7，那么，，，，的平均数是______． 【答案】17 【解析】 【分析】由题知，再计算新数据的平均数即可. 【详解】因为的平均数是7， 所以， 所以，，，，的平均数是： . 故答案为：17 18. 函数的零点的个数为______． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据函数单调性性质可知函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】因为在上单调递增，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数在上只有一个零点， 可知函数的零点的个数为1 故答案为：1 19. 的最小值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】由基本不等式计算可得结果. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为0. 故答案为：0. 三、解答题：本题共4小题，第20、21小题每小题8分，第22、23小题每小题9分，共34分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）逆用两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期公式求解； （2）根据正弦型函数的单调区间求解即可. 【小问1详解】 ， 所以周期. 【小问2详解】 令， 解得， 即函数的单调递减区间为 21. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是0.5，0.6． （1）求两人恰有一个人成功破译的概率； （2）求至少有一个人成功破译的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为，则“两人恰有一个人成功破译”为事件，结合互斥事件，独立事件的概率公式求解； （2）利用独立事件，对立事件的概率公式求解. 【小问1详解】 记“甲译出密码”的事件为，“乙译出密码”的事件为， 则“两人恰有一个人成功破译”为事件， 则，， 所以. 则两人恰有一个人成功破译的概率为. 【小问2详解】 记“至少有一个人成功破译”为事件C， 则. 22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明： ∵在中，、分别是和的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线性质得，进而利用线面平行判定定理得平面； （2）结合锥体体积公式，由等体积法求解三棱锥的体积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵平面，∴是三棱锥的高， ∵四边形是正方形，， ∴三棱锥的体积为． ∴三棱锥的体积为． 23. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）根据函数单调性的定义证明函数是增函数． 【答案】（1） （2） 证明：设任意的，且， ， 因为，所以， 又，，则，所以， 所以，即， 所以函数是增函数. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求，可得结论； （2）利用函数单调性的定义，在定义域上任取，，且，通过作差化简证明即可. 【小问1详解】 由得， 因为函数为奇函数，则， 即，化简为， 因为，故，解得. 所以的值为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $