专练(七)分式方程及应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 广西专版）

专练（七）分式方程及应用 1已知关下x的分式方程是2 2-x =1 6.定义新运算：a*6=分，则方程1*(2x十 有增根，则k的值为 ( 1)=1￥(x一2)的解为 A.2 B.-2 C.-3 D.3 7.为了改善生态环境，防止水土流失，某村 2.已知关于x的分式方程”十3=1的 计划在荒坡上种4000棵树，后来由于青 解是非负数，则m的取值范围是( 年志愿者的支援，每日比原计划多种 A.m>2 B.m≥2 25%,结果提前10天完成任务，那么原计 C.m>2且m≠3 D.m≥2且m≠3 划每天种 棵树 3.甲车行驶40km与乙车行驶30km所用 8.解下列方程： 的时间相同，已知甲车比乙车每小时多行 4 驶15km.设甲车的速度为xkm/h,依题 x+2 (1) x-1x(x-1) =0 意，下列所列方程正确的是 ) A.4030 B.30-40 xx-15 xx+15 C.40=30 D.30=40 xx+15 x-15 4.一艘轮船在静水中的最大航速为35km/h, 它以最大航速沿江顺流航行120km所用 时间与以最大航速逆流航行90km所用 时间相等.设江水的流速为vkm/h,则可 列方程为 ( (2)十3 =1； x2-3x 3-x 4.120 90 120 B. 90 v+35v-25 35-v 35+v C.120 90 D. 120 90 ”w-35v+35 35+v35-v 5.甲、乙两人做某种机械零件，已知甲做350 个零件的时间是乙做240个零件所用时 间的号倍，两人每天共做130个零件.八 (1)班同学根据条件提出了不同的问题， 设出相应的未知数x,并列出如下方程. 数学老师批阅后，发现有一个不正确，这 (3)-1=x+1+4 个不正确的方程是 x十1x-1x2-1 A.350=5× 240 Γ4130-x B.5X,350 130-x =4×240 C350±240=130 42 D 350+240=130 5x 4.x ·27· (4)5x-4_2x+51 11.一项工程，甲队单独做需40天完成，若 2x-43x-621 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做 20天恰好完成任务，请问： (1)乙队单独做需要多少天才能完成任务？ (2)现将该工程分成两部分，甲队做其中 一部分工程用了x天，乙队做另一部 分工程用了y天.若x,y都是正整 数，且甲队做的时间不到15天，乙队 ).已知关于x的分式方程是1世与分式 做的时间不到70天，则两队实际各 做了多少天？ 方程是=马的解相同，求m-2m 的值. 师测控 10.小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶 家，匀速行驶需要4h.某天，他以平常的 速度行驶了一半的路程时遇到了暴雨， 立即将车速减少了20km/h,到达奶奶 家时共用了5h.问小强家到奶奶家的距 离是多少千米？ ·28·3=x+4红+(）-()-3=(x+2)-.“(+2y≥0，(x+2-7≥-7， 重点题型专练答案 ∴.∠ADC-∠B+∠BAD-2∠B:AD-AC.∴.∠C-∠ADC-2∠B.:BA-BC, ∴.∠BAC=∠C=2∠B.,∠B+∠BAC+∠C=180°，∴.∠B+2∠B+2∠B=180 即x2+4x一3≥-7，，x2+4x一3的最小值为-7：(3)：a2++2+50=6a十8b+ 专练（一）三角形的重要线段与角 .∠B=36,∴∠C=2∠B=72,(2)由(1)可知∠BAD=∠B,∠DAC=∠B∠BAD 10c,∴.a2++2+50-6a-86-10c=0,∴a-6a+9+6-8b+16+c2-10c+25= B2.C3Λ4A520或606解：解方程维如+26-18=0R 由三 -∠CAD.:MH⊥AD,.∠AHN-∠AHE-9O.在△AHN和△AHE中 0,∴.(a-3)+(h-4)2+(c-5)2=0.(a-3)≥0，(b-4)2≥0.(c-5)2≥0，∴.(a 4h-3a+8=0. 1b=1, ∠NAH=∠EAH, 3)=0.(b-4):=0,(c-5)1=0,.a-3=0.b-4=0,e-5=0,解得a=3,b=4,=5. 角形三边关系，得4一1<<4十1，即3<c<5.:这个三角形的周长为整数，.c为整 AH=AH. .△AHN2△AHE(ASA),.AN=AE,∴.△ANE是等腰三 .△ABC的周长为3十4十5=12. 数..c=4.这个三角形的周长为4十1+4=9,7.解：(1)50(2)BE是△ABD ∠AHN=∠AHE, 阶段微测试（九） 中AD边上的高线，∴∠BED=90,∠ABC=∠ADB=a,∠FBC=90°-a 珀形。 :∠ACB=B..∠AFB=∠FBC+∠ACB=90°-a+:(3):∠BAF=180°-∠ABC 1.B2C3B4B5A6.A7C8B9≠210l是 专练（四）幂的运算及乘法公式 -∠ACB=180°-a-B.∠AFB=9D-a十3.∠AFB=∠BAF..180°-a-3=90°-a 十3,3=45 1B2.B3.C4.A5.B6.D7.58.解：1原式=-27xy·(-6xy) 2.-213:解：)原式=中品可-》·岩异告=马 2 9xy2-(27×6÷9》+x2+1y+1-1=18xy:(2)原式=4x2-8x+4十92十6x+1 专练（二）三角形全等的判定 2原式-。之.a00D·当=a-0当-血4解，2六 13x2-2x+5:(3)原式=(x-4)(4-z)=-x+8x一16.9.解1)7=4，.7 1,HL2.C3B.C5解：CD+BD=AB证明如下：如图， 延长DE, a十6 =(71==64(2)7=4,7=5,7=80∴7+0=7÷7·7=T÷(7)y· 2原武-片-+1)-六-》-.+1 7”=4÷5×80=:(3)力=2m十”10.解：(1)小明说得有道理理由如下：原式 一1 r-1 r一】 (2x)1-y+2(4x-4xy+y)+(-y2+8xy)=4x2-y2+8x2-8xy+2y-y2+8xy 白 交AB于点F,:BE⊥ED,.∠BED=∠BEF=0.在△FBE和△DBE中， =12x,:化简结果为12x,其中不含字母y,条件y=一1是多余的，.小明说得有 r(-1) ∠FBE=∠DBE, 道理：2)当x=立时，12x=12×(2）=3.M=3 BE-BE. ,△FBE≌△DBE(ASA),,BF=BD,EF=ED.,点E是AC的 =兰.解不等式组，得-1≤<3.”x为整数，“x的值为-1,0,1,2.“婴使分式有意 专练（五）因式分解 ∠BEF=∠BED. 义，则r≠0，x+1≠0，x一1≠0，r≠0r≠一1，x≠1，x只能取2，当x=2时.原式 AE=CE, 1.B2.B3.解：(1)原式=x2〔a一b)-(d-b)=(a-b)(x2-1)=(a-b)(x+1)(x =号=号16解：0：-2红+1=0,40，方程两边同除以，得一2+士 中点，EA=EC,在△AEF和△CED中，∠AEF-∠CED,△AEF≌△CED 1):(2)原式-x-3r4+3r-x2-4=(x+2)(r-2):(3)原式-(x一y2+(ar+ EF=ED. ay)=(x+y)(x-y)十a(x十y)=(r十y)(x一y十a):(4)原式=(3m一2n十m+n)(3m 0∴+=2.则（(+)=2=42+=+)-2=4-2=2a2)原式= -2n-m一)-(4m-n)(2m一3m).4.解：(1)原式-2023×(2023十1)一2024- (SAS),,CD=AF,,CD十BD=AF+BF=AB,即CD十BD=AB.6.解：如图， 2023×2024-20241=2024×(2023-2024)=-2024:(2)原式=98+2×98×2+ r÷x 而7+》 1 过点A作AH⊥DE于H,则∠AHD=∠ACD=90.:DA平分 2=(98+2)2=1002=10000,5.解：5-6(-1)×(-5)-6=-1+(-5) (r-1)(x-5)(1)xr2+8x-9=x1+8r+16-9-16=(x+4)1-25=(x+4+5)(x+ 阶段微测试（十） 4-5)=(x+9)(x-1):(2)x2-4x-5=2-4x+4-5-4=(x-2)-9=(x-2+ 1.C2.B3.D4.B5.A6.A7.C8D9.80.111.1,312.200 ∠ADC=∠ADH, 3)(x-2-3)-(x+1)(x-5).x>5,x+1>0,x-5>0,(x+1)(x-5)>0,即 x2-4x-50. 1a解：原式=aPo]中-名2a+D 2(a-1) ∠CDE,·∠ADC=∠ADH,在△ADC和△ADH中，∠C=∠AHD, △ADC≌ AD=AD. 专练（六）分式的混合运算 a+8-可·a+)-。(2原式=尘÷2立-中 AC=AH, △ADH(AAS),.AC=AH,CD=DH=2,在Rt△ABC和R:△AEH中， 1D2.B3.A4.3或75.之-号6，解1)原式-(2)原式=0 AB=AE. 士·红中-可-青14.解：方程两边乘rr一2》，得2红=3一2》.解 .Rt△ABC≌Rt△AEH(HL),.BC-EH.BC=BD+CD-3+2=5.∴.EH-5, (m十1) 得r=6.检验：当x=6时，x(x一2)≠0.所以，原分式方程的解为x=6:(2)方程两边乘 ∴.DE=DH+HE=2+5=7. 专练（三）等腰三角形的性质与判定 品-1-0-m十1原式--12原式-号 (x十1)(x-1.得3=2(x十1)(1)-2(一1).解得x=号检验当x=号时，(x 2》 x=】 ∠A=∠C, 中一D≠所以，原分式方程药释为一15：原式-”器2》。 1.C2.A3.104.正明：(1)在△AOB和△COD中，JOA-OC, .△AOB≌ 市当x=一2时.原式=动=-1(3)原式=2如2mm十m）+4业 1 ∠AOB=∠COD, (2+)(2n一m) x十3 △COD(ASA),.OB=OD:(2)由(1)得OB=OD,.点O在线段BD的垂直平分线上， (21+m)(2n一m) 2=2m而中品：贤 -2mn十2m十m+4m=An+n十m (2u+)3 -4.16,解：(1)设B型机器人每小时搬运xkg原料，侧A型机器人每小时搬运(x十 ,BE=DE,点E在线段BD的垂直平分线上，OE垂直平分BD.5.解： 30)g原韩，根影题意，得端-1四解得=120，经控=120是原分式方程 (1),DF⊥BC于点F,∠DFB=∠EFC=90,,'∠E=30°，.在R△CFE中，∠C 专=原式-8-号 90-∠E=90-30=60°.：AE=AD,∠E=30,,∠E=∠ADE=30.∠CAB= 专练（七）分式方程及应用 的解，且符合题意，∴.x十30=120+30=150，答：A型机器人每小时撤运150kg原料，B ∠E+∠ADE-30十30'-60°，∠C-∠CAB-60°，.BC=BA,.△ABC为等边三 L.C2.D3.A4.D5.B6.x=一37.808.解：(1)方程网边乘r(x一1)，得 型机器人每小时搬运120kg原料：(2)设A型机器人要椒运mkg原料，根据题意，得 角形：(2)连接CD.由(I)得AC=BC,∠ACB=60,:D为AB的中点，：∠ACD 高+高≤解得心侧，m最小为0答：A型机器人至少要装运0侧好 ∠DCF-30,∠E-3G,∠E-∠ACD,∴.CD-DE.在Rt△FCD中，：∠FCD- 红一（十2》-0，解得x一号检验：当x一号时红一≠所以，原分式方程的解为 原料 30,DF=CD=号DE,即=2.6.解：1yDA=DB,∠BAD=∠ x=号：(2)方程两边乘(x一3)，得x十3十=士-3x,解得x=一手.检验：当x= 第49页（共60页） 第50页（共60页） 第51页（共60页） -平时.2一3x≠0，所以.原分式方程的解为=一：(3)方程两边乘(+1D。一1)， 期末复习综合测试（二） 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 得(x一1)=(x十1)十4.解得x=-1.检验，当x=-1时，(x十1)（一1）=0.因此x 1D2.A3.D4.D5.D6B7.A8.C9,6×1010.-111.412.20 1.B2.A3.(1)高(2)角平分线(3)中线4.(1)CEBC(2)∠CAD∠BAC 13.解：(1)原式-a一9一d一4=一9一：(2)方程两边乘2(x十1)，得3=2+2-2.解 (3)∠AFC =一1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解：(4)方程两边乘6（工一2），得3(5x 一4)=2(2x十5)-3(x-2).解得x=2.检验：当x=2时，6(x-2)=0.因此，x=2不是 得x-子，检验：当x-三时，2(x十1)≠0.所以，原分式方程的解为x-之.14.解：原 13.3三角形的内角与外角 原分式方程的解，所以，原分式方程无解。9解：云一3（一1）-2红，解得r一3。 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 检验，当x=3时，2-1)≠0，所以=3是此方程的解，把x=3代人子=只，得 智-青当：一：时，原式-告-85都，自设B种京每每千党的选价为 1.A2.D3.B4.50°5.60°6.解：：∠ABC=42.∠A=60..∠ACB=180 3子=号解得m=号“m2-2m=()一2×号=一侣。10.解：设平常的速度 2 ∠AC-∠A=180-4Y-60=78.∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F, 工元.则A种本每每千克的进价是2红元，根据圈意，得220-10=10，解得=5 ∠FBC-2∠ABC-号×42°-2，∠FCB-∠ACB-号×78-39，.∠BFC 是：kmh根粥圆意，得，0十2=5，解得=60.经检验=60是原分式方程的解， 经检验，x一5是原分式方程的解，且符合题意.答：B种草每每千克的进价为5元： =180°-∠FC-∠FCB=180'-21-39=120. 且符合题意.4×60=240(km),答：小强家到奶奶家的距离是240km,11,解：(1)设 (2)该水果店购进A种草莓3000÷(2×5)一300(kg),该水果店购进B种草每1000 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 乙队单独做需要：天才能完成任务，根据题意，得碧+（分+）×20=1.解得a= 5=20(kg),根据题意，得16-2X5)×2m+立×(16-2×)×(300-2m)+(9-5)m 1.B2.C3.63+.①②③5，解：(1)45(2》在△ABC中，∠ACB=180°-∠A 100.经检验，心=100是原分式方程的解，且符合题意，答：乙队单独做需要100天才能 +号×(9-5)(200-m)≥2300.解得m≥125.答：m的最小值为125 16.解： ∠B=180-30-60'=90,CE平分∠ACB.·∠BCE=∠ACE=7∠ACB=45 完成任务：(2)根据题意，得看十六=1，<15，y<70,月工y为正整数，y=100 (1):∠ACB=90°，∠B=60°，∠BAC=30.:AD,CE分别是∠BAC和∠ACB的平 CD⊥AB,.∠CDB=90.在RI△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60°=30°， .∠FCD=∠BCE-∠DCB=45-30=15.在△CDF中，∠FCD+∠CDF=15+ 号r<70,则>1212<<16，：y都是正整数=13或14.当=13时3= 分线，∠DAC=壹∠BAC=15,∠ECA=∠ACB=45,÷∠EFA=∠DAC+ 75°=g0,.∠CFD=g0,.△CDF是直角三角形， 100-受1=67.5不是整数，应舍去，当x-14时，y=100-号x=65,符合条件，答，甲 ∠ECA-15°十45'=60：(2)如图，在AC上截数AG-AE,连接FG.:AD是∠BAC的 13.3.2三角形的外角 队做了14天，乙队做了65天. 平分线，CE是∠ACB的平分钱，∠EAF-∠GAF,∠DCF-∠GCF.在△EAF和 1.D2.B3.80'4,150°5.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A-35, AE=AG. ∠ACD=83°，·∠B=∠ACD-∠A=83-35=48:(2)∠AFE是△BDE的一个 期末复习综合测试（一） △GAF中，J∠EAF=∠GAF,.△EAF≌△GAF(SAS),,EF=GF,∠EFA= 外角，∠B=48°，∠D=42°，，∠AFE=∠B十∠D=48+42°=90. 1.C2.A3B+.B5,A6.B7.D8,B9.5×1010.x(y+3)11,1<x AF=AF. <312.(1)45(2)413.解：(1)原式-8a-7a十a=2a,(2)原式=x十2xy+ 第十四章全等三角形 ∠GFA=60,:∠AFC=180°-∠EFA=180°-60°=120°，，∠GFC=∠AFC y-〈x-2xy十y)=x+2xy十y-x1+2xyy=4xy:(3)方程两边乘《x十3)(x 14.1全等三角形及其性质 ∠AFG=120-60°=60，，∠DFC=∠EFA=60°，∴.∠GFC=∠DFC,又：CF=CF, 3),得x(r十3)-(-3)=(x十3)(x-3).解得1=一6.检验：当x=-6时，(x十3)(x 1.A2.A3.54.60°5.解：(1)△ACE≌△DBF,.∠A=∠D,AE∥DF: ∠DF=∠GCF,△FDC2△FGC(ASA),∴.DF=GF,.EF=DF:(3)EF=DF仍 -》物两以，原分式方程的解为-4)原式一（台高）兴 (2)△ACE2△DBF.∴AC-DB-6.∴.CD-BD-BC=6-4-2,.AD-AC+CD 然成立.理由如下：如图，在AC上裁取AH=AE,连接HF.:∠AFE=∠FAC十 =6十2=8， ∠FCA=之（∠BAC+∠ACB)=之(180°-∠B)=号X(180°-60）=60，同(2)可得 14.2三角形全等的判定 (2)如图：(3)如图，：AB=AC,∠B=∠3.：AM平分∠DAC, △EAF≌△HAF,△FHC≌△FDC,,DF=HF=EF,即EF=DE 第1课时用“SAS”判定三角形全等 1.D2.1053.④4.解：(1)不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角“证明全等 不满足证明全等三角形的条件：(2)AO=BO.证明如下：，点P在∠A(OB的平分线上， AO-BO. .∠1=∠2.：∠DAC-∠B+∠3=∠1十∠2，.2∠3=2∠1，易得∠B-∠2=∠3 ,∠AOP=∠BOP.在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP.·△AOP≌ =∠1.EF垂直平分AC,∴EA=EC,∴∠3=∠EAC,∴∠EAC=∠1.∠1十∠2 PO-PO. +∠EAC+∠BAE=180°，∠BAE=36..∠1+∠1+∠1+36°=180°.即3∠1+36 随堂反馈答案 △BP(SAS). -180∠1-号×(180-36)-48，∠B-48,1反证明：1)：FG1AC. 第十三章三角形 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 ∠FGA=90=∠C,∠FAG+∠F=90AF⊥AE,∴.∠FAE=90,.∠FAG+ 13.1三角形的概念 1.C2.D3.D4.证明：ED⊥AB,∠ADE=90.又：∠ACB-90,∠ADE ∠F=∠CAE, /∠A=∠A: 1.B2.D3.3△ABC成△ABD4.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△ABC, ∠CAE=90.·∠CAE=∠F,在△AGF和△ECA中 ∠AGF=∠ECA..△AGF≌ ∠ACB.在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE,∴.△ABC≌△AED(AAS)..AE △BC,△BCD,△BCE(3)BC5,③@①④⑥②D AF=EA+ BC-ED. 13.2与三角形有关的线段 △ECA(AAS):(2)(1)知△AGF2△ECA∴.FG=AC=BC.在△FGD和△BCD中 =AB,AC=AD,..AE-AC=AB-AD,CE=DB. ∠FGD=∠CD, 13.2.1三角形的边 第3课时用“SSS”判定三角形全等 ∠FDG=∠BDC,,△FGD≌△BCD(AAS),.DG-CD,AD=3CD,.AG-AD 1.A2.D3.D4.55.5<x<96.解：(1)c的取值范周为2<e<10:xr的取值范 AB=DB. EG■BC, 国为12<r<20:(2)①，x是小于18的倒数，x=16,减x=14.当x=16时，0=61当 1.C2.C3.654.AB∥DE5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,△ABC -DG=AD-CD=3CD-CD=2CD.AC=AD+CD=3CD+CD=4CD...BC=AC= x=14时，c=4:②当c=6时，b=c,△ABC为等腰三角形：当c=4时，a=C,△ABC为 CB=CB. 4CD,CE-AG=2CD,.BC=2CE,即E为BC的中点 等暖三角形，综上所述，△ABC是等腰三角形， ≌△DBC(SSS)..∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,∠ABC=∠DBC.∴.∠ABE= 第52页（共60页） 第53页（共60页） 第54页（共60页）