4.3 对数（六大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3对数 题型一对数的概念判断与求值 1.对数loga+3(5-a中实数a的取值范围是() A.（-0,5 B.（-3,5 C.-3,-2)U-2,5D.-3,+0 2.(多选)使对数式log2a-2(10-4a)有意义的a的值可能是() A.2 B月 C.4 D.4 3.已知函数f1到=16+1ogx,则f付) 4.记代数式M=1og.（x-a2+x-2a+-9,N=(-1-x)+(4+x). (1)当a=2时，求使代数式M有意义的实数x的集合： (2)若存在实数x使得代数式M+N有意义，求实数a的取值范围. 题型二指数式与对数式的互化 5.已知log。3=m,log。4=n,计算a2m-"=() 9 B.1 c. D.2 6.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是() 11 A.e°=1与loge1=0 B.85=2与1o823 C.1g,9=2与92=3 D.1og,7=1与7=7 2,x≤1， 7.己知f(x)= logsi x,x >1. 则满足(x)=4的x的值为一 8.已知函数f(x)= x x2+41 (1)求f1的值： (2)判断fx在区间(0,2)上的单调性，并用定义证明； (3)求关于x的不等式f(22-2>的解集 题型三对数的运算 9.设lg2=a,lg3=b,则log6=() A.ab B治 ab C.1-a D. a+b +b 10.(多选)以下运算中不正确的有() A.若g3=m,lg2=n,则1og,18=2m+n 1-n B.[-]-+'++°=3-25 c.(周°-2hs=7 D.l0g2 3.l0g,4=2 11.已知2=3=元，其中上+12，xy>0,则2 x y 12.计算： (1)已知x+x1=5,求x2+x2的值： (3)已知2°=9,3=16，求ab的值. 题型四对数的运算性质的应用 13.已知g:=,e3=b,则实数g,g18,g14中可以用a,b表示的有(） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 14.(多选)下列计算正确的是() A.(a2'=a B.a.a=a回 C.(1g2)+1g2x1g5+1g5=1 D.若3”=10,1og25=b,则1g5= a 15.计算：1g√5+2e3+ (8)3lg2 27 2 2 16.化简下列各式，并求值. +--日+2 （②)1og27+lg4+24g5t+loe,8 题型五运用换底公式化简计算 17.1og218-41og43=() A.1 B.0 C.-log23 D.log,3 18.(多选)以下运算中正确的是() A.若1g3=m,1g2=n,则1og,18=2m+n 1-n B.lg5+1g2+ 3+l89-lg5 lg81-lg272 c.-2e-7 D.4-25+210g,3-1og,4=V5+1 19.已知log25=a,log,7=b,则logs35可用a,b表示为 20.化简求值： (1)2:3-l1og,7x1og,9+1og48+l1og2V2-9x 1 (2)已知a+ai=3,求ad+a2的值. 题型六运用换底公式证明恒等式 21.设a,b,c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（) A.1ogab·1ogcb=1ogca B.1ogab·1ogca=1ogcb C.loga(bc)=logab.logac D.loga(b+c)=logab+logac 22.(多选)下列运算正确的是() 3 a.[=x>0 Va.da.ya-a B. (a).ai 5 D.若xe=l,则x+nx=0 23.已知a3=9. (1)求l1og:a的值； ②)设-()=1g,a,求证：+1 4.3 对数 题型一 对数的概念判断与求值 1．对数中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数真数和底数的性质进行求解即可． 【详解】由题. 故选：C. 2．（多选）使对数式有意义的a的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】要使有意义，则解得或． 3．已知函数，则 【答案】 【分析】代入函数的解析式，利用对数与指数的运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以， 故答案为:. 4．记代数式. (1)当时，求使代数式有意义的实数的集合； (2)若存在实数使得代数式有意义，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分、、三种情况解不等式，由此可得出结果； （2）解出使得有意义时的取值范围是，由题意可知，存在，使得成立，通过去绝对值再由且且可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， ①当时，，解得，此时； ②当时，，原不等式无解； ③当时，，解得，此时. 解得或， 故实数的集合为. （2）因为， 则，解得， 由题意可知，存在，使得成立， 即有解， 因为且，则， 所以 即在时有解，所以， 又因且，解得且， 所以实数的取值范围为. 题型二 指数式与对数式的互化 5．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用指数、对数的关系可得：,代入求解即可. 【详解】由题可得：,所以 故选：A 6．（多选）下列指数式与对数式互化正确的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】利用指数式和对数式的互化关系逐个选项判断求解即可. 【详解】首先，我们给出指数式和对数式的互化关系式， 对于A，可化为，故A正确， 对于B，可化为，故B错误， 对于C，可化为，故C错误， 对于D，可化为，故D正确. 故选：AD 7．已知则满足的x的值为 . 【答案】3 【分析】分析出使成立，有或两种情况，再分别解方程组即可得解. 【详解】若，则有①或②， 由解得，与矛盾，故①无解，舍去； 由解得，满足，故②解得， 所以满足的x的值为3. 故答案为：3 8．已知函数. (1)求的值； (2)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1)； (2)函数在上为增函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）代入计算可得出的值； （2）判断出函数在上为增函数，然后、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （3）分析可知，函数为偶函数，且在上为增函数，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则. （2）当时，，且函数在上为增函数，理由如下： 任取、且，即， 则 ， 因为，则，，，， 故，即， 故函数在上单调递增. （3）对任意的，，故函数的定义域为， ，故函数为偶函数， 因为，则，所以，则， 由（2）知，函数在上为增函数， 由，可得， 所以，则有或，可得或， 可得或， 解不等式，即，解得或， 解不等式，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 题型三 对数的运算 9．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 10．（多选）以下运算中不正确的有（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BD 【分析】由对数，指数幂运算可判断各选项正误． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：BD 11．已知，其中，则 ． 【答案】 【分析】将指数关系式写成对数关系式，代入题干条件即可解出. 【详解】由可得，. 由可得，即， 解得. 故答案为：. 12．计算： (1)已知，求的值； (2)； (3)已知，，求的值. 【答案】(1)23； (2)； (3)8. 【分析】（1）应用指数幂的运算性质得到，即可得； （2）由指、对数的运算化简求值； （3）由指对数的关系及换底公式求值即可. 【详解】（1）由，则，即； （2）因为 所以 ； （3）因为，，所以，， 所以. 题型四 对数的运算性质的应用 13．已知，，则实数，，中可以用，表示的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质计算可得. 【详解】因为，， 所以， ， 无法用，表示. 故能用，表示有，共个. 故选：C 14．（多选）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据指数运算性质可判断AB，根据对数的运算性质可判断CD. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A错误； 对于B，由指数运算性质可得：，故B正确； 对于C，由题意，故C正确； 对于D，，， 则.故D正确. 故选：BCD 15．计算： . 【答案】 【分析】利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】由题可得：， 故答案为： 16．化简下列各式，并求值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数和对数的运算即可得到答案； （2）利用对数的运算即可得到答案. 【详解】（1） . （2）. 题型五 运用换底公式化简计算 17．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式结合对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】原式. 故选：A. 18．（多选）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：原式，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ACD. 19．已知，则可用表示为 ． 【答案】 【分析】利用换底公式表示出结果即可. 【详解】因为， 故答案为：. 20．化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2)47 【分析】(1)直接利用对数和指数的运算规则逐步化简计算； (2)通过对已知条件平方构造出所求式子的形式，再逐步计算. 【详解】（1） （2）因为，又，所以， 因为所以. 题型六 运用换底公式证明恒等式 21．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（    ） A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcb C．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac 【答案】B 【分析】根据换底公式可判断A、B的正误，根据对数的运算性质可判断C、D的正误． 【详解】由logab·logcb＝·≠logca，故A错； 由logab·logca＝·＝＝logcb，故B正确； 对选项C，D，由对数的运算法则，容易知，其显然不成立. 故选：B. 22．（多选）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．若,则 【答案】ACD 【分析】关于A,B将根式转化为分数指数幂的形式,再根据分数指数幂计算法则进行化简,即可得选项正误,关于C用对数的运算法则将幂转化为分式,化简即可,关于D,先判断出,然后两边取对数,再展开即可判断正误. 【详解】解:由题知关于选项A: , 故选项A正确; 关于选项B: , 故选项B错误; 关于选项C: , 故选项C正确; 关于选项D: ,, 对等式两边取对数有, , 即 故选项D正确. 故选:ACD 23．已知. (1)求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将两边取对数化简即可得解； （2）由(1)解得，代入计算即可得解. 【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以. （2）由，得，. 所以，， 则，故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $