4.2.2 指数函数的图象和性质（九大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图像和性质 题型一 判断指数型函数的图像形状 1．函数（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 2．（多选）当时，函数和的图象不可能是（   ） A．B．C．D． 3．已知是定义在上的奇函数，当时，+1 （1）求的值，并画出函数在上的图象； （2）求函数的解析式； 题型二 根据指数型函数图像判断参数的范围 4．已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 5．（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 6．若函数且的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为 7．已知函数(且). （1）若函数的图象不经过第二象限，求，的取值范围； （2）当时，在区间上的最大值与最小值之比为，求的值. 题型三 指数型函数图像过定点问题 8．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A． B． C．0 D．2 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．“是增函数”的充要条件是“” B．“”的充分不必要条件是“” C．命题“指数函数过定点”是真命题 D．命题“方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解” 10．已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 . 11．已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式 题型四 指数函数图像应用 12．若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 13．（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数与的图像关于轴对称 B．函数的单调增区间是 C．函数的图像必过定点 D．函数的图像与的图像有两个交点 14．若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 15．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 题型五 求指数（型）函数的定义域 16．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 17．（多选）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 18．函数的定义域为 . 19．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 题型六 求指数型复合函数的定义域 20．函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 21．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．若函数是奇函数，则 C．函数在定义域上是减函数 D．若，则 22．函数（且）的图象关于点对称，则 ． 23．已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 题型七 求指数函数在区间内的值域 24．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 25．（多选）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 26．已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 27．已知定义在上的奇函数和偶函数满足. (1)求和的解析式. (2)求证. (3)求函数，的最小值. 题型八 求指数型复合函数的值域 28．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 29．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 30．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 . 31．已知函数． (1)当时，判断并证明的奇偶性； (2)若，求时，的值域． 题型九 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 32．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 33．（多选）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 34．已知函数的值域为，且，则 . 35．设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图像和性质 题型一 判断指数型函数的图像形状 1．函数（且）的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，由函数单调性和图象平移知识作出判断，得到答案. 【详解】若，，单调递增， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，BD均不合要求； 若，，故单调递减， 其图象在的图象基础上，向下平移个单位，A满足要求，C不满足要求. 故选：A 2．（多选）当时，函数和的图象不可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】BCD 【分析】根据一次函数的图象确定、的取值范围，再结合指数函数的单调性进行检验即可. 【详解】对于A选项，由一次函数的图象知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，满足题意； 对于B选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾； 对于C选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为增函数，则， 若，则，矛盾； 对于D选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾. 故选：BCD. 3．已知是定义在上的奇函数，当时，+1 （1）求的值，并画出函数在上的图象； （2）求函数的解析式； 【答案】（1）0；答案见解析；（2） 【分析】（1）由奇函数可直接得，先根据时的解析式画出图象，再根据奇函数关于原点对称画出在上的图象； （2）根据当时，，计算，再根据奇函数可求出时解析式，进而写出函数的解析式》 【详解】（1）是定义在上的奇函数，， 函数图象如下： （2）是定义在上的奇函数，当时，， 当时，， ，， . 题型二 根据指数型函数图像判断参数的范围 4．已知函数（，且）的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得，结合其渐近线及指数函数的性质确定参数范围或参数值. 【详解】因为的图象过原点，所以， 因为的图象无限接近直线，但又不与该直线相交， 所以，，. 故选：C 5．（多选）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】画出函数图象，分析该函数的单调性与的符号，可得出的取值范围. 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 6．若函数且的图像不经过第四象限，则实数a的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可知在上时恒成立.讨论当时，因为指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集；当时，由指数函数的性质得到不等式，解不等式得到解集，即可求得数a的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，恒成立. 当时，函数在上单调递减，且当时，， ∴，即，∴或， 由∵，即此情况无解； 当时，函数在上单调递增，当时，， ∴，即，，∴或， ∵，∴； 综上所述，. 故答案为： 7．已知函数(且). （1）若函数的图象不经过第二象限，求，的取值范围； （2）当时，在区间上的最大值与最小值之比为，求的值. 【答案】（1），；（2）. 【分析】（1）分，两种情况，结合函数的单调性和图象，由递图象不经过第二象限求解. （2）由，得到，分，，利用函数的单调性，求得最值，由最大值与最小值之比为求解. 【详解】（1）①当时，单调递减，根据指数函数的图象可知，函数图象必然经过第二象限，故不成立. ②当时，单调递增，的图象与轴的交点为，根据指数函数的图象可知，要使的图象不经过第二象限，则，. 所以，. 综上：，的取值范围是，； （2）当时，. ①当时，单调递减，在上的最大值为，最小值为， 由题意可得，无解. ②当时，单调递增，在上的最大值为，最小值为， 由题意可得，解得， 所以. 综上：的值是 题型三 指数型函数图像过定点问题 8．已知函数的图象恒过定点，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】令，即可求解与的值，再将代入解析式即可得的值，进而求解答案即可. 【详解】令，解得：，即； 当时，，所以， 综上可得：. 故选：C 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．“是增函数”的充要条件是“” B．“”的充分不必要条件是“” C．命题“指数函数过定点”是真命题 D．命题“方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解” 【答案】ACD 【分析】利用充分条件和必要条件的判断以及命题真假的判断和命题的否定，对每个选项进行分析即可. 【详解】对于一次函数，当时，函数是增函数；反过来，若函数是增函数，一定有，“是增函数”的充要条件是“”，A正确； 当时，，是的充分条件；同时若，则，也是必要条件，因此这是充要条件，B错误； 指数函数，当时，，过定点，这个命题是真命题，C正确； 恰有一个解的否定为无解或不止一个解，方程恰有一个解”的否定是“方程无解或不止一个解，D正确. 故选：ACD. 10．已知常数，，假设无论为何值，函数的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为 . 【答案】 【分析】令，得到定点的横坐标，代入求出纵坐标即可. 【详解】令，得到；当时，， 所以函数的图像恒经过定点. 故答案为： 11．已知函数且的图象恒过定点，且点在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出定点，将代入，即可求解； （2）令，通过换元即可求解. 【详解】（1）令，得，此时， 所以函数图象恒过定点， 又点在函数的图象上， 所以，所以，所以； （2）由（1）知， 令，则， 所以， 所以. 题型四 指数函数图像应用 12．若函数（，且，均为常数）的图象经过第一、二、四象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】抓住与1大小，正负讨论，结合指数函数的图象求解. 【详解】若，，函数经过第三象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则不可能同时经过第一、二、四象限，不合题意； 若，，函数经过第一，二象限，不合题意； 若，，则经过第一、二、四象限，合题意； 若，，函数经过第二，四象限，不合题意； 若，，函数经过第二，三，四象限，不合题意； 综上，当，时，经过第一、二、四象限. 故选：D. 13．（多选）下列结论中，正确的是（   ） A．函数与的图像关于轴对称 B．函数的单调增区间是 C．函数的图像必过定点 D．函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 14．若，且与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 15．已知函数（其中）过点，且的图象无限接近于直线，但没有交点． (1)求的解析式； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入得到，且，求出，得到解析式； （2），变形得到，换元，解不等式，求出解集. 【详解】（1）由题意得，即， 的图象无限接近于直线，但没有交点， 由于的图象无限接近于，故的图象无限接近于， 故，则，所以； （2），故， 即，令， 则，解得， 故，解得，不等式解集为. 题型五 求指数（型）函数的定义域 16．若函数是奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质，结合指数运算即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 则，即，故，解得， 故选：C 17．（多选）已知函数则（   ） A．的定义域为R B．的值域为R C．是增函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定函数，利用指数函数的性质，结合基本不等式逐项判断得解. 【详解】对于A，函数的定义域为R，A正确； 对于B，函数的值域是，B错误； 对于C，函数是R上的增函数，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 18．函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x的取值范围. 【详解】由题意可得，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为：. 19．已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求函数的定义域和值域. 【答案】(1)1 (2)的定义域为；值域为 【分析】（1）由代入计算可得； （2）由（1）可得，即可求出函数的定义域，再将函数解析式变形为，结合指数函数与反比例函数的性质计算可得. 【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得， 解得； （2）由（1）知函数， ∵，，即的定义域为， 因为， 又∵，，∴，所以的值域为. 题型六 求指数型复合函数的定义域 20．函数的最大值和最小值之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用定义判断其为奇函数，再由奇函数的对称性可得. 【详解】由题意，令， 可知函数的定义域为，且， 故函数为奇函数， 根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为， 即， 故． 故选：B． 21．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为 B．若函数是奇函数，则 C．函数在定义域上是减函数 D．若，则 【答案】AB 【分析】根据指数函数的性质、奇函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：由，所以本选项正确； B：因为是奇函数， 所以， 所以本选项正确； C：，显然，所以本选项不正确； D：，因此本选项不正确， 故选：AB 22．函数（且）的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的函数，探讨其对称中心，进而求出. 【详解】函数的定义域为，且， 函数在上有相同的单调性， ， 即，函数的图象关于点对称， 又函数的图象关于点对称，则，所以. 故答案为：. 23．已知. (1)当时，根据定义证明函数在区间上单调递增； (2)若，设，判断函数的奇偶性. 【答案】(1)证明见解析； (2)为奇函数. 【分析】（1）根据函数解析式，直接利用定义法证明单调性. （2）由求出，并求得和，再利用函数奇偶性定义判断的奇偶性. 【详解】（1）当时，函数 ，设， 则 ， 由，则，，，所以，即， 所以函数在区间上单调递增. （2）由及，得，解得， 因此，则，函数的定义域为R， ，所以为奇函数. 题型七 求指数函数在区间内的值域 24．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的值域为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为， 故选：C. 25．（多选）已知函数，则函数可能取到的函数值是（  ） A．3 B．5 C．21 D．22 【答案】AB 【分析】根据题意，得出函数y的解析式并根据函数的性质求出函数y的定义域，再利用换元法，令，得到关于t的二次函数，再根据二次函数的性质即可得出函数的取值范围，即函数的取值范围，即可求解． 【详解】由题意，得函数，即 因为的定义域为， 所以， 所以函数的定义域为， 令，则， 则， 又因为在上单调递增， 所以，即， 故选：AB. 26．已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【答案】5 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 27．已知定义在上的奇函数和偶函数满足. (1)求和的解析式. (2)求证. (3)求函数，的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由奇偶性求解即可； （2）代入运算即可证明； （3），令，则，令，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）定义在上的奇函数和偶函数， 则，， ∵①， ∴，即②， 联立①②解得：，． （2） ， 再计算：由，可得， 所以． （3）， 令，可知时单调递增，则，， 令， 当，即时，在时单调递增，则； 当，即时， 在时单调递减，在时单调递增， 则； 当，即时，在时单调递减， 则； 综上，当时，的最小值为0； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为. 题型八 求指数型复合函数的值域 28．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数单调性得到值域. 【详解】，又在R上单调递减， 故，又，故值域为. 故选：A 29．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【分析】，然后结合指数函数的性质和指数运算对选项依次分析即可. 【详解】， 对于A：恒成立，函数的定义域为，故A正确； 对于B：， 所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：当x越大，越大，越大，所以越大，故为增函数，故D错误； 故选：ABC. 30．已知函数，若的图象关于直线对称，则的值域为 . 【答案】 【分析】根据函数的对称性可求出，然后利用基本不等式即可求出函数值域. 【详解】的图象关于直线对称，则，即，解得， ，当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 31．已知函数． (1)当时，判断并证明的奇偶性； (2)若，求时，的值域． 【答案】(1)为偶函数 (2) 【分析】（1）结合函数奇偶性的定义即可证明； （2）结合指数函数及反比例函数单调性判断单调性，即可得函数值域． 【详解】（1）当时，则， 所以，函数的定义域为， 则， 所以为偶函数； （2）， 当时，因为函数为增函数，则函数在为减函数， 又时，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 题型九 根据指数函数的值域或最值求参数（定义域） 32．若函数且在区间上的值域为，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用指数函数性质计算即可得. 【详解】由指数函数的性质知必是单调函数， 又， 因为值域为，所以函数在上单调递增，故， 即，解得，又，故. 故选：B. 33．（多选）函数且，当时，值域为，则的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可. 【详解】当时，函数单调递减，，解得 当时，函数单调递增，，解得． 故选：BC． 34．已知函数的值域为，且，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 35．设常数，函数，. (1)当时，求函数的值域. (2)若函数的最小值为0，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出的值域； （2）通过讨论的范围，结合二次函数的性质求出的最小值，求出的值即可． 【详解】（1）若，则， 因为，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在内单调递增，且，， 可得，所以函数的值域为. （2）因为函数，， 且，则，可得，， 又因为的图象开口向上，对称轴为， 当时，在内单调递增， 则的最小值是，解得，符合题意； 当时，在内单调递减，在内单调递增， 则的最小值是，解得，不合题意； 当时，在内单调递减， 则的最小值是，解得，不合题意； 综上所述：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $