4.2.2 指数函数的图象和性质（八大题型）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.2.2 指数函数的图像和性质 题型一 判断指数函数的单调性 1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C．y=-x2+1 D． 2．（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是 . 4．已知幂函数在单调递减. (1)求函数的解析式； (2)设； ①判断在上的单调性并单调性的定义证明； ②解关于的不等式：. 题型二 判断指数型复合函数的单调性 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 7．的单调递增区间为 . 8．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 题型三 比较指数幂的大小 9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．设，则按从小到大的排序是 ． 12．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 题型四 求已知指数型函数的最值 13．已知函数在区间上的最大值为，则a的值为（ ） A．1 B． C． D． 14．（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 15．若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求实数的值，并求函数的解析式； (2)设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 题型五 根据指数型函数最值求参数 17．已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 19．已知函数（且）在上的最大值为，则 . 20．已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 题型六 含参指数型函数的最值 21．已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 22．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 23．已知函数（），若对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 . 24．已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 题型七 指数函数最值与不等式的综合问题 25．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 26．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，为正数满足，则 D．若，为正数，则 27．若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 28．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 题型八 由指数（型）的单调性求参数 29．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 30．（多选）已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 31．已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 ． 32．已知函数，且，满足且为增函数. (1)求实数的值； (2)设在上的最小值为，求实数的值； (3)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2 指数函数的图像和性质 题型一 判断指数函数的单调性 1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C．y=-x2+1 D． 【答案】D 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解． 【详解】对于A，函数为偶函数，当时，单调递减，故A不正确； 对于B，指数函数为非奇非偶函数，且在上单调递减，故B不正确； 对于C，函数y=-x2+1是偶函数又在区间上单调递减，故C不正确； 对于D，函数是偶函数又在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 2．（多选）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用函数的奇偶性和单调性定义逐一判断. 【详解】对于A，设，定义域为，，所以为奇函数， 因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，故A正确； 对于B，设，定义域为，，所以为奇函数，因为在上单调递增，故B错误； 对于C，设，定义域为，，所以为偶函数，故C错误； 对于D，设，定义域为，则，所以为奇函数， ，由于在上单调递增，所以在上单调递减，则在上单调递减，故D正确. 故选：AD 3．若在函数（且）的图象上，则函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】求出函数解析式，利用指数函数单调性求解. 【详解】因为在函数（且）的图象上， 所以，解得， 所以， 故的单调递减区间是， 故答案为： 4．已知幂函数在单调递减. (1)求函数的解析式； (2)设； ①判断在上的单调性并单调性的定义证明； ②解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)①单调递减，证明见解析；② 【分析】（1）由幂函数的单调性可得出关于的不等式，结合可得出的值，即可得出函数的解析式； （2）①求出函数的解析式，令，且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义可证得结论成立； ②分析函数的奇偶性与单调性，可知当时，；当时，.然后分、时，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式（组），综合可得出的取值范围. 【详解】（1）因为函数在单调递减，则，解得， 又，所以，，所以. （2）①因为， 所以在上单调递减， 证明如下： 任取、且， ， 因为函数在上单调递增，且，则， 所以，， 则，即，故在上单调递减. ②因为，定义域为，定义域关于原点对称， 因为，因此是奇函数. 又因为在上单调递减，所以在上单调递减. 因为，所以当时，. 由是奇函数，可得当时，. 当即或时，所以不等式成立， 当即时，则由得，解得. 综上不等式的解集为. 题型二 判断指数型复合函数的单调性 5．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定的定义域，根据复合函数单调性的求法可求得结果. 【详解】由得：或，即定义域为； 在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为. 故选：A. 6．（多选）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 7．的单调递增区间为 . 【答案】（或） 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以的单调递增区间为. 故答案为：（或）. 8．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域； (3)求函数在上的单调区间． 【答案】(1) (2)； (3)单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】（1）待定系数法进行求解； （2）换元后，转化为二次函数在上的值域问题，进行求解； （3）在（2）基础上，求出函数单调区间 【详解】（1）因为函数（且）的图象过点， 则，解得，因此． （2），令，因为，则， 令， 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 其中，又因为， ，故， 故函数在上的值域为． （3）由（2）知，当时，函数单调递减，此时， 当时，函数单调递增，此时， 又因为函数单调递增， 所以在上的减区间为，增区间为． 题型三 比较指数幂的大小 9．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，利用指数函数的单调性即可比较与的大小，又，利用不等式的性质即可求解. 【详解】由，又在上单调递增， 又，所以，即，又，所以， 故选：D. 10．（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由指数函数图象可确定大小关系，进而利用的单调性得到，即可得解. 【详解】由指数函数图象可知：， A错误， D正确； 因为在定义域上单调递增，且，所以，B错误，C正确. 故选：CD. 11．设，则按从小到大的排序是 ． 【答案】 【分析】应用指数函数的单调性得出大小关系求解. 【详解】因为单调递减，所以， 因为单调递增，所以， 所以. 故答案为：. 12．（1）已知，比较，的大小； （2）比较与的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先确定函数的单调性，由，利用函数的单调性，即可得到，的大小关系； （2）先利用函数的单调性，得到与1的大小关系，再利用函数的单调性，得到与1的大小关系，即可得解. 【详解】（1），函数在上是减函数， 又，； （2），函数在上是减函数． 又，； 又，函数在上是增函数． 又，． 综上可知，． 题型四 求已知指数型函数的最值 13．已知函数在区间上的最大值为，则a的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数单调性得出最大值. 【详解】因为函数在区间上递增，所以其最大值为，得 故选：B. 14．（多选）已知函数，则以下结论正确的是（   ） A．图象有对称轴 B．是偶函数 C．有最大值3 D．有最小值2 【答案】AC 【分析】首先求出函数的定义域，由判断A，由判断B，再求出函数的值域，即可判断C、D. 【详解】函数的定义域为， 对于A ：因为，， 所以，则关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以不是偶函数，故B错误； 对于C、D：因为，所以，所以，即， 所以有最大值，无最小值，当且仅当时取得最大值，故C正确，D错误. 故选：AC 15．若函数的值域为，且满足，则的解析式可以是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据所学习函数类型，结合函数的性质，即可求解. 【详解】由题意可知，函数的值域为，且函数为偶函数， 满足条件的其中一个函数为. 故答案为：（答案不唯一） 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求实数的值，并求函数的解析式； (2)设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）先根据函数是定义在上的奇函数，则，可求得，再根据奇函数的性质，即可求得其解析式； （2）根据题意，得，通过换元结合二次函数的图像性质，可求得得最大值和最小值，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，则， 又因为，所以. 当时，. 当时，则，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 综上，函数的解析式为. （2）当时，， 设，令，因为，所以， 则， 所以时，函数单调递增，当时，函数单调递减， 所以当时，；当时，， 则的最大值为3，最小值为. 因对任意，都有恒成立， 这等价于对任意恒成立， 故应大于的最大值，即， 即， 所以实数的取值范围为. 题型五 根据指数型函数最值求参数 17．已知函数，对任意，以为边长均可构成三角形，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设，则，进而根据并结合极限思维得，最后解不等式并讨论时成立即可得答案. 【详解】解：因为函数为上的单调递增函数， 所以，当时，， 不妨设，则， 因为对任意，以为边长均可构成三角形， 所以，根据两边之和大于第三边得：， 因为， 所以，考虑到极端情况，无限接近，则，且无限接近2，无限接近, 所以，解得， 当时，对任意，，满足，故恒成立， 又因为， 所以，实数的取值范围是. 故选：B 18．（多选）若函数在上存在最大值，则的取值范围不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据二次函数与指数函数单调性，结合复合函数单调性可得在里必须存在，从而得的取值范围. 【详解】令，由函数图象的对称轴方程为，开口向下， 得在上单调递增，在上单调递减， 又指数函数在上单调递增， 所以在里必须存在，解得． 故选：ABD． 19．已知函数（且）在上的最大值为，则 . 【答案】或 【分析】讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最大值列方程，解方程可得的值. 【详解】， 若，则单调递减，单调递增， 可得为减函数， 当时，，解得：，符合题意； 若，则单调递增，单调递减， 可得为增函数， 当时，，解得：，符合题意， 综上所述：的值为或. 故答案为：或 20．已知函数且，若方程有两个不相等的实根，且. (1)求的值； (2)若，对任意，都存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据指数函数的性质结合题目条件即可求出的值 （2）先求出的值域，再根据值域的关系求出的取值范围. 【详解】（1）由题可知方程且，有两个不相等的实根， ，则， 又，所以； （2）由题意对任意，都存在，使得， 即， ，令，， 令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，故函数在时取到最小值，即 代入端点可得：，故，即， ，在单调递增，， 满足对任意，都存在，使得， 则需 故的范围为. 题型六 含参指数型函数的最值 21．已知函数在定义域上单调递减，，均有，则函数的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【分析】记，由，利用函数单调性知，结合，首先求出的解析式，可得函数，再利用配方法求最值即可求解. 【详解】记， 用y替换 中的x得，且， ， 因为函数在定义域上单调递减，所以， 因为， 所以 ， 或，又函数在定义域上单调递减 所以有满足题设条件. 所以，， 当即时，函数的最小值是 故选：A 22．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD. 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 23．已知函数（），若对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可. 【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立， 只需 ， ①当时，，满足题意； ②当时，在上单调递减，，故需，即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 24．已知函数. (1)若在上为增函数，求实数的取值范围； (2)若在上最小值为4，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合函数的性质得在上是增函数，由此可得的范围； （2）换元后根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论． 【详解】（1）令，由于是增函数，若在为增函数， 则在上是增函数， 则，所以 （2）令 即最小值为4 若则时最小，得. 若则时最小，得无解. 若时则时最小，得舍去. . 题型七 指数函数最值与不等式的综合问题 25．已知函数，若对任意，不等式恒成立，则实数有（    ） A．最大值 B．最小值. C．最小值 D．最大值 【答案】A 【分析】先判断出函数是上的奇函数且单调递增，将原不等式形为恒成立，再令，判断出为R上奇函数，且单调递增，从而可得不等式恒成立，最后令，将问题转化为恒成立，结合及二次函数的性质，求出的最小值，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以函数是上的奇函数， 又因为， 因为在R上单调递增，所以在R上单调递减， 所以在R上单调递增， 又因为 ， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令， 则， 所以为R上奇函数， 又因为在R上均单调递增，所以在R上单调递增， 所以不等式恒成立， 即不等式恒成立， 令，即有恒成立， 即，所以恒成立， 所以恒成立， 因为，所以， 所以，当时，等号成立， 所以，所以实数有最大值. 故选：A. 26．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，为正数满足，则 D．若，为正数，则 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质依次判断即可. 【详解】解：，，则，A错. ，∴，B对. ，则，，，C对. ，，，D对. 故选：BCD. 27．若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 28．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 题型八 由指数（型）的单调性求参数 29．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数法求出函数的减区间，结合已知条件可得出区间的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】令，， 内层函数的减区间为，增区间为，外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数的减区间为，增区间为， 因为函数在区间上单调递减，则， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A. 30．（多选）已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解； 【详解】当时，单调递增，此时，， 所以，解得， 当时，单调递减，此时，， 所以，解得， 所以实数的值可以是或， 故选：AC. 31．已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 故有，解得或（舍去）. 故答案为：. 32．已知函数，且，满足且为增函数. (1)求实数的值； (2)设在上的最小值为，求实数的值； (3)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2)5 (3) 【分析】（1）由结合函数单调性即可求解； （2）首先把变形为分，进行讨论即可求解； （3）不等式转化为，利用二次函数性质求出的最大值即可求解. 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，为增函数，符合题意， 当时，为减函数，不符合题意， 故. （2）由（1）可知，， 则， 因为为增函数，且，所以， 当，即时，时，，解得，不合题意，舍去； 当，即时，时，，解得或（舍去）. 综上所述，. （3）不等式即为，化简得， 令，因为，则，， 由二次函数性质可知当，即时，， 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $