5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时)（题型专练） 数学人教A版2019选择性必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时） 题型一：由导数求函数 的最值（不含参） 基础达标题 题型二：已知函数最值 求参数 题型三：函数最值与极 值的关系辨析 5.3.2函数的 题型一：极值与最值的 综合应用 极值与最大( 题型二：函数极值的辨 小)值（第2 能力提升题 析、函数最值与极值的 课时) 关系辨析 题型三：由导数求函数 的最值（含参） 拓展培优题 A 基础达标题 题型一：由导数求函数的最值（不含参） 1.(24-25高二下天津期中)设函数f(x=2x-ar2+1(a),有下列命题：① 31 当a>0时，f(x)有三个零点；②当a<0时，x=0是f(x的极小值点；③存在实 数a,b,使得f(x)在区间b,a上存在最大值1.其中是真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高三上湖南长沙月考)已知函数f川=e2g(-2+n,若 f(a)=gb),则b-a的最小值为() A.e2-1 B.1+In2 C.e2-1 D.1+In2 2 2 3.(25-26高三上·四川成都期中)已知实数x,y满足 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n2x+y)-e*-x+y+2≥0，则的值为() A.2 B.1 C.-2 D.-1 4.(25-26高三上·安徽六安·月考)已知f(x)=2x3-3x2-12x,b>0,若“f(x)≤a的 充要条件是“x≤b”,则实数b的最小值是() A B.2 C.1 D. 题型二：已知函数最值求参数 1.(2025高三·全国.专题练习)已知函数f(x=e-ln(x+m)的最小值为e+1,则 m=() A.-2 B.-e C.e D.l-e e+1 e 2.(2025·全国·模拟预测)已知p:-2<t<2,9:函数f(x)=x3+3x2-2在区间 (t-4,)上存在最大值，则p是9的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.（24-25高二下·福建厦门·期末)已知函数f(x)=-x3+3x2在区间(a,b)上存在最 大值与最小值，则b-a的取值范围为() A.(0,2 B.(2,4 C.【-1,3] D.(0,4] 4.(24-25高二下.安徽宿州·期末)已知函数f(x=xlnx-emr对定义域内任意x<x2 ，都有)-儿<1，则正实数m的取值范围() B.(0,e e D.(e,+oj】 题型三：函数最值与极值的关系辨析 1.(24-25高二下.北京·期中)已知定义在R上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象 如图所示，下列命题中正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 2 .10 1 -2 A.-1是fx)的极值点 B.f(x)在区间(-o,-3)上单调递增 C.-3是f(x在区间-4，上的最小值点 D.曲线y=f(x在点(0，f(0)处的切线斜率小于零 2.(24-25高二下·广东广州·期中)函数f(x)的导函数∫'(x的图象如图所示，则 下列说法正确的有() A.x=-2为函数f(x)的一个零点 B.函数纠在区间- 上单调递减 C.x=乏为函数f()的一个极大值点 D.f-1是函数f(x)的最大值 3.(22-23高三·全国中职高考)已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2，-1]上的最大值就 是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是() A.[2,+0) B.[4,+oo) C.[-4,-2] D.[2,4] 4.(23-24高二下·广东湛江·月考)已知函数y=f(x)定义域为-1,2)，且在该区间 上连续，在(-1,2)上函数y=∫(x)有唯一的极大值f),则下列说法正确的是() 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 A.函数f(x)有最大值f() B.函数f(x有最大值，但不一定是f(1) C.函数f(x)的最小值也可能是f() D.函数f(x)不一定有最大值 B 能力提升题 题型一：极值与最值的综合应用 1.(25-26高三上安徽六安月考)若不等式a+nx≥3动，(a>0)对x>0恒成立，则 会的最大值为() A.1 B. c D. 2.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨月考)已知函数f(到=e2“+(a-训e+a>0)的 值域与函数ff(x]的值域相同，则实数a的取值范围是() A.(0,1 B.[1,+o C.(0,2 D.[2,+0) 3.（25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+2)(x-1)2, ()的图象如下图所示，则下列结论中正确的是() -2-1( A.函数f(x)有2个极值点 B.函数f(x)在区间(-1，)上单调递增 C.3MeR,对于x∈R,f(x)>M 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.HM∈R,3x∈R,f(x)<M 4.(25-26高三上河北沧州·月考)已知函数f(x)= x2-x-lnx-l,>0则y=f的 -2,x≤0， 图象上关于原点对称的点有() A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 题型二：函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 1.(22-23高二下·全国·课后作业)下列结论中，正确的是() A.若f(x在a,b]上有极大值，则极大值一定是[a,b]上的最大值. B.若f(x在[a,b]上有极小值，则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x在[a,b]上有极大值，则极大值一定是在x=a和x=b处取得. D.若f(x)在a,b上连续，则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值. 2.(2025高二下贵州遵义·期末)函数f(x)的导函数为f'(x)的图象如图所示， 关于函数∫(x),下列说法不正确的是() f'(x) A.函数(-1,1)，(3，+o)上单调递增 B.函数在(-0，-1)，1,3)上单调递减 C.函数存在两个极值点 D.函数有最小值，但是无最大值 3.(2025高二下·江苏徐州期中)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所示，以下命题错误的是() -2 A.f-)是函数的最小值 B.f(-3)是函数的极值 C.y=f(x)在区间(-3，)上单调递增 D.y=∫(x)在x=0处的切线的斜率大于0 4.（多选题)(24-25高二上·浙江杭州·期末)下列说法错误的是() A.一个函数的极大值一定大于极小值 B.曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C.函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D.若函数∫(x)在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 f'(x>0 题型三：由导数求函数的最值（含参） 1.(24-25高二下·广东深圳期末)已知函数g(x)=e-n(x+m),当m≤2时，则() A.g(x)有两个极值点 B.g(x)有极大值 C.g(x)可以是负数 D.g(x)一定是正数 2.(25-26高三上·北京·月考)己知函数f(x)=x-1,gx)=l0g2x,则x>2”是 f(x)>gx)”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 e-ax-1,x≥0 3.(2025·河北秦皇岛·模拟预测)已知函数f(x)= 的值域为[-1，+)， sinx-x,x<0 则a的值为() A.e B.0 C.1 D.-1 4.(24-25高二下北京丰台期末)已知函数f)=nx+1-1-ax-1(aeR),则下 列四个结论不正确的是() A.a<0,f(x)有极小值 B.a<0,f(x)恰有2个零点 C.3a>0,使得不等式f(x)≥0恒成立 D.3a>0,使得关于x的方程f(x)=0有3个不同的实数解 拓展培优题 1.(2425高二下北京期末)函数/八-和8到-有相同的最大值，直线 ax y=m与两曲线y=f(x)和y=gx)恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依 次为x,x2,,则下列说法正确的是() ①x2>2;②x2<2;③x1+x3=2x2;④xx3=x A.②④ B.①③ C.②③ D.①④ 2.(23-24高二上·安徽六安，期末)已知函数y=f(x)为连续可导函数， y=(x+1)f'(x)的图象如图所示，以下命题正确的是() 23-2 -10 A.f(-1)是函数的最小值 B.f(-3)是函数的极小值 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增 D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0 3.(2025辽宁.模拟预测)已知函数f(x)=-x3+x+1(0≤x≤1)，函数g(x)=-2x-5, Aa,f(a),B(b,g(b),则(a-b)+f(a-g(b)的最小值为() A IS B.9 C.4 D.0 4.(25-26高三上河北保定·月考)若函数f(x)=(sinx-a)的最小值为1，则f(x)的 最大值为() A.2 B.4 C.8 D.27 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 题型一：由导数求函数的最值（不含参） 1.（24-25高二下·天津·期中）设函数，有下列命题：①当时，有三个零点；②当时，是的极小值点；③存在实数，使得在区间上存在最大值1.其中是真命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数和函数单调性和极值点的关系即可判断命题①②，利用即可找出实数，，使得函数在区间上存在最大值1，从而判断命题③. 【详解】因为定义域为， 又， 对于①：当时，则当时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减，且，， 若，则，此时函数只有一个零点，故①错误； 对于②：当时，则当时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 故是函数的极小值点，故②正确； 对于③：当时，由①知，函数在区间上单调递减， 故， 故存在实数，，使得函数在区间上存在最大值1，故③正确； 故选：C 2.（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设，由题设易得，则，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，可得，即， 同理由，可得， 设，易知， 代入上述式子可得，则， 令，则， 易知在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即的最小值为. 故选：D 3．（25-26高三上·四川成都·期中）已知实数，满足，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】通过不等式构造两个函数，分别分析两个函数的最值情况即可得答案. 【详解】由，变形为. 令，，.则不等式变为. 因，当，；当，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数. 又，当时，，；当，，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数. 又因为成立，且，. 所以只能是，所以，解得，所以. 故选：C. 4.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知，，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】充要条件的证明、由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数分析函数的单调性，得到其极值，再对分类讨论即可. 【详解】由题意，. 由，解得或；由解得. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 所以函数的极大值，极小值.    当，解得或， 当时， 若，由，则恒成立； 若，就可以成立， 不满足“”的充要条件是“”. 当时，有， 若，则有恒成立， 若恒成立，则有， 满足“”的充要条件是“”. 所以的最小值为. 故选：A 题型二：已知函数最值求参数 1.（2025高三·全国·专题练习）已知函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数研究函数的单调性，极值与最值结合隐零点计算即可. 【详解】的定义域为，求导得， 因为在单调递减，则在单调递增， 所以在单调递增， 又当时，，当时，， 所以存在唯一使得，即①， 则，在单调递减，在单调递增， 所以，则， 代入①得，解得． 故选：D. 2.（2025·全国·模拟预测）已知，：函数在区间上存在最大值，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】已知函数最值求参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用导数分析得的单调性，则得到不等式组，解出的范围，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且. 若在区间上存在最大值，则该区间须包含极大值点， 且极大值不小于区间右端点的函数值（否则函数在该区间没有最大值），即， 由得，即，分解因式得，解得， 联立，解得， 又因为是的真子集， 是的必要不充分条件. 故选：C. 3.（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用函数单调性求最值或值域 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 4.（24-25高二下·安徽宿州·期末）已知函数对定义域内任意，都有，则正实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，由题设可得的单调性，从而得到，利用同构可得，参变分离后可求参数的取值范围. 【详解】 因为，所以 令函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，所以， 即.令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，，当时，， 且由题干可知，，即， 若，则恒成立， 当时，恒成立等价于当时，， 故时，恒成立，故. 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值，所以； 综上所述，正实数的取值范围为.故A正确. 故选：A. 题型三：函数最值与极值的关系辨析 1.（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、函数最值与极值的关系辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 2.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、求函数的零点 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 3.（22-23高三·全国·中职高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】由函数的极大值与最大值的关系即可求解. 【详解】，令，得， 因为在区间上的最大值就是函数的极大值， 则必有，所以. 故选：C. 4.（23-24高二下·广东湛江·月考）已知函数定义域为，且在该区间上连续，在上函数有唯一的极大值，则下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值 B．函数有最大值，但不一定是 C．函数的最小值也可能是 D．函数不一定有最大值 【答案】D 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据函数的极值与最值的定义即可求解. 【详解】函数定义域为，是开区间， 则当趋近于或时，若趋于正无穷大， 此时函数没有最大值，故AB错误，D正确； 因为函数有唯一的极大值， 所以在附近，函数值小于， 所以函数的最小值不可能是，故C错误. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：区分函数的极值和最值是解决本题的关键. 题型一：极值与最值的综合应用 1.（25-26高三上·安徽六安·月考）若不等式对恒成立，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，利用导数求得，根据题意可得，设，利用导数求得的最大值，分析即可得. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 由题意，，则， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以的最大值为. 故选：B 2.（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的值域与函数的值域相同，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】先利用导数求出函数的值域，再根据条件列不等式，解得结果. 【详解】因为，，定义域为. 所以. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以当时，取得最大值为. 当，所以函数的值域为. 要使函数的值域为, 则，解得， 故选：D. 3.（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 4.（25-26高三上·河北沧州·月考）已知函数则的图象上关于原点对称的点有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【知识点】函数图象的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】设，，利用导数求得函数的单调性与最小值，再由关于原点对称的曲线为，画出与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设，， 则， 令，可得；令，可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值， 又当时，，当时，， 又由关于原点对称的曲线为， 画出函数与的图象，可得两函数的图象有4个交点. 所以的图象上关于原点对称的点有4对. 故选：D 题型二：函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 1.（22-23高二下·全国·课后作业）下列结论中，正确的是（    ） A．若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值． B．若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值． C．若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得． D．若在上连续，则在上存在最大值和最小值． 【答案】D 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据极值和最值的定义逐一分析判断即可. 【详解】函数在上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，故AB错误； 函数在上的极值一定不会在端点处取得，故C错误； 若在上连续，则在上存在最大值和最小值，故D正确. 故选：D. 2.（2025高二下·贵州遵义·期末）函数的导函数为的图象如图所示，关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．函数，上单调递增 B．函数在，上单调递减 C．函数存在两个极值点 D．函数有最小值，但是无最大值 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】利用导函数图象，得到原函数单调性即可判断AB，利用极值点的定义判断C，利用函数的单调性及最值的概念判断D. 【详解】根据的图象可知， 函数在和上，单调递增，A选项正确； 函数在和上，单调递减，B选项正确； 所以的极小值点为，3，极大值点为1，C选项错误； 由上述分析可知，函数的最小值是和两者中较小的一个，没有最大值，D选项正确. 故选：C 3.（2025高二下·江苏徐州·期中）函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 4.（多选题）（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列说法错误的是（   ） A．一个函数的极大值一定大于极小值 B．曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C．函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D．若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】ACD 【知识点】函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误； 对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确； 对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 故选：ACD 题型三：由导数求函数的最值（含参） 1.（24-25高二下·广东深圳·期末）已知函数，当时，则（   ） A．有两个极值点 B．有极大值 C．可以是负数 D．一定是正数 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出导函数，再利用导数确定的单调性，从而确定的零点存在，得出其为极小值点判断选项AB，由得，间的关系，代入变形，然后由基本不等式结合条件得判断CD． 【详解】的定义域为，， 设，则，故是增函数， 当时，，时，， 所以存在，使得，且时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以有一个极小值点，无极大值点即无极大值，所以选项AB错误， 从而当时，取得最小值， 结合，则 ， 当且仅当时取等号，此时， 故恒成立，故选项C错误，选项D正确. 故选：D 2.（25-26高三上·北京·月考）已知函数，则“”是“”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、判断命题的充分不必要条件 【分析】令，求得，得到在单调递增，得到，即，证得充分性成立，又由，得到必要性不成立，即可求解. 【详解】由函数， 令，可得， 当时，由，可得恒成立， 所以在单调递增，所以， 即，所以充分性成立； 反之：取，可得，即， 即存在，使得成立，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【知识点】根据分段函数的值域（最值）求参数、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数求得时，函数的值域为，再分和，求出在上的最小值.根据函数的值域为，即可求得的值. 【详解】当时，是单调减函数. ∴的值域为； 当时， 若，则，是单调增函数， 的值域为，不符合题意， 当时，令，得，令，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， , 由题意知，即，解得， 所以. 故选：A. 4.（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数，则下列四个结论不正确的是（    ） A．有极小值 B．恰有2个零点 C．，使得不等式恒成立 D．，使得关于的方程有3个不同的实数解 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】当，求导，分析得出函数在单调递减，在单调递增即可判断AB，当时，分和进行讨论，根据极值点确定函数零点情况，据此可判断CD. 【详解】函数的定义域为，， 时，令，即， ，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 所以在单调递减，在单调递增， 在时取得极小值，无极大值，故A正确； 又， ， 所以时，恰有2个零点，故B正确； 时，， 时，，恒成立，在单调递减， 又，所以时，，则此时不恒成立， 当，，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 此时在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又，所以 所以此时不恒成立，故C不正确； 由上知时，函数方程有3个不同的实数解，故D正确； 故选：ABD. 1.（24-25高二下·北京·期末）函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） ①；②；③；④. A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】A 【知识点】函数图象的应用、对数的运算性质的应用、函数与方程的综合应用、由导数求函数的最值（含参） 【分析】根据题意，先对函数分别求导，通过对的取值进行讨论，得出函数的最大值，即可求出，由数形结合思想可知，当直线经过点时，与两曲线和恰好有三个交点，不妨设，通过比较和的大小，即可判断①错误，②正确；再利用指数和对数恒等式证明④正确，再利用反证法可判断③错误. 【详解】根据题意，由，得，令，解得， 同理，由，得，令，解得， 当时，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 此时，函数有最小值，无最大值，不符合题意； 当时，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为； 又函数和有相同的最大值，得，即，解得. 则两个函数图像如图所示，由数形结合思想可知，当直线经过点时，此时直线与两曲线和恰好有三个交点，不妨设， 则，，可知，所以，故①错误，②正确； 又，则，即， 又，，又当时，函数单调递增，所以， 又，即， 又，，又当时，函数单调递减，所以， 所以，，所以，即，故④正确； 如果成立，则，所以，即，所以，与矛盾，所以不成立，故③错误. 故选：A. 2.（23-24高二上·安徽六安·期末）已知函数为连续可导函数，的图象如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极小值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角）、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据图象得到的单调性，并结合极值的定义和导数的几何意义求出答案. 【详解】C选项，由图象可看出当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，C错误； A选项，是函数的极小值，但无法确定是不是最小值，A错误； B选项，是函数的极大值，B错误； D选项，由于，故在处的切线的斜率大于0，D正确. 故选：D 3.（2025·辽宁·模拟预测）已知函数，函数，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求平面两点间的距离、求点到直线的距离 【分析】求点到直线的距离，结合两点间距离公式分析可知所求的最小值即为的最小值，构造，利用导数求最值即可. 【详解】由题意可知：点到直线的距离， 因为，则的最小值即为的最小值， 构造，则， 可知在内单调递减，且，， 则，可得，， 即，可知的最小值为， 所以的最小值为. 故选：B. 4.（25-26高三上·河北保定·月考）若函数的最小值为1，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．27 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用换元法转化为，结合导数判断单调性可得答案. 【详解】令，因为，所以； ，，仅当时取等号，此时为增函数， 当时，有最小值，由可得， 则函数最大值为，且时取到最大值； 故选：D。 学科网（北京）股份有限公司 $