5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） （教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数极值的概念与应用，通过过山车轨道高低起伏、气温变化曲线等生活实例导入，引导学生从现实情境中抽象极值的局部性特征，衔接导数与函数单调性的已有知识，搭建从直观感知到理性分析的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，通过数形结合呈现抛物线图像与导数符号关系，培养数学眼光与思维，设置极值图象特征、含参数函数极值等分层题型训练，强化逻辑推理与数学表达能力。小结系统梳理定义、判定方法与应用步骤，既帮助学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率。

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 (第1课时)——函数的极值 ·选择性必修第二册· 学习目标 1.借助几何直观和实际实例，理解函数极值（极大值、极小值）与极值点的定义，能清晰区分极值与最值的局部性和整体性差异。 2.掌握可导函数取得极值的必要条件与充分条件，能准确判断导数值为0的点与极值点的关系。 3.熟练掌握利用导数求可导函数极值的一般步骤，能求解不超过三次的多项式函数及简单复合函数的极值。 4.能解决极值相关的综合问题（图象分析、含参数函数极值判断、由极值求参数范围），体会导数在函数研究中的工具性作用。 目录 CATALOG 01.函数极值的概念抽象 03.题型强化训练 02.函数取得极值的条件辨析 04.小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 01 函数极值的概念抽象 导入新知1：过山车轨道的高低起伏分析 “同学们，大家都坐过过山车吧？过山车从出发开始，会爬上一个又一个的坡，也会冲下一个又一个的低谷。比如在轨道上的A点，过山车到达了一个小高峰，这个高峰虽然不是整个轨道的最高点，但却是它附近一段轨道的最高点；而在B点，过山车降到了一个小低谷，这个低谷也不是整个轨道的最低点，只是附近一段的最低点。” “如果我们把过山车的轨道看作是一个函数的图象，轨道的高度是因变量，轨道上的水平位置是自变量，那这个‘小高峰’和‘小低谷’在函数中应该如何定义呢？它们和函数整体的最高点、最低点又有什么不同？为什么过山车在到达‘小高峰’前是向上冲，到达后就向下滑了？这背后又和我们学过的导数有什么关系呢？’’ 导入新知2：气温变化的局部最值探究 “同学们，这是咱们城市昨天的气温变化曲线，大家仔细看，在早上8点的时候，气温达到了15℃，在它前后各1小时的气温分别是12℃和13℃；而在下午14点，气温达到了32℃，前后各1小时的气温是30℃和29℃；到了凌晨2点，气温降到了5℃，前后各1小时的气温是7℃和6℃。” “那早上8点的15℃、下午14点的32℃、凌晨2点的5℃，在气温变化中分别有什么特点？下午14点的32℃是这一天的最高气温，那凌晨2点的5℃是这一天的最低气温吗？如果不是，它又该如何定义？我们能不能用之前学过的导数知识，来解释气温在这些点前后的变化趋势呢？” 引入新知 横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中. 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部. 引入新知 引入新知 新课探究 图5.3-9 图5.3-10 新课探究 新课探究 新课探究 图5.3-11 新课探究 图5.3-11 极小值点 新课探究 图5.3-11 极大值点 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、求已知函数的极值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点 新课探究 函数的极值点与极值的概念 02 函数取得极值的条件辨析 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 新课探究 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点. 新课探究 新课探究 新课探究 结论：函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系. 应用新知 例题 详解 单调递增 单调递减 单调递增 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 应用新知 方法规律 函数极值的求解方法与步骤： 应用新知 方法规律 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断命题的充分不必要条件、函数极值的辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析 应用新知 变式训练 详解 应用新知 变式训练 详解 应用新知 变式训练 详解 应用新知 变式训练 详解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 随堂演练 详解 随堂演练 详解 随堂演练 详解 随堂演练 详解 随堂演练 详解 03 题型强化训练 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 能力提升 题型一 极值的图象特征 例题 能力提升 题型一 极值的图象特征 能力提升 题型一 极值的图象特征 例题 能力提升 题型一 极值的图象特征 能力提升 方法规律 能力提升 题型一 极值的图象特征 变式训练 能力提升 题型一 极值的图象特征 能力提升 题型一 极值的图象特征 变式训练 能力提升 题型一 极值的图象特征 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 例题 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 例题 能力提升 归纳总结 含有参数的函数极值的解题技巧 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型二 含参数的函数求极值 变式训练 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 例题 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 例题 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 例题 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 例题 能力提升 归纳总结 已知函数的极值求参数的方法 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 变式训练 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 变式训练 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 变式训练 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 变式训练 能力提升 题型三 由极值求参数的值或范围 变式训练 04 小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 课堂小结 函数的极值 作业 教科书第98页习题5.3第4、5题 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第4题） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第4题） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第5题） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第5题） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第5题） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第5题） THANKS 感谢您的聆听 观察函数的图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方. 如果有，尝试用数学语言描述. 从图中可以看出，函数在这三处对应的函数值，都是 其附近的函数值中的最大者;在 这两处对应的函数值，都是其附近的函 数值中的最小者. 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负 可以判断函数的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在 这些点处函数有什么性质呢？ 问题1： 观察图5.3-9，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度 最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有 什么特点？相应地，导数的正负性有什么变换规律？ 当切点沿函数图象从 左侧移动至右侧 时，切线斜率的 符号由正变到0,再由0 变到负. 这就是说，在附近，函数值先增（当时， ）后减（当时，）．这样， 当在附近从小到大经过时，先正后负， 且连续变化，于是有． 结合上述过程，可以直观看到： (1)； (2)在附近，当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递减，． 问题2： 对于一般的函数，是否也有同样的性质呢? 如图5.3-11，函数在等点的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近， 的导数的正负性有什么规律？ 以两点为例，可以发现，函数在点的函数值 比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附 近的左侧，右侧， 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其 他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧， 右侧． 1.已知函数 EMBED Equation.DSMT4 ，则 的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【详解】因为，所以． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 2.已知函数 的极小值点为 ，则 的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点， 是极大值点，故选：A 3.函数 EMBED Equation.DSMT4 的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题， 令， .得在上单调递增， 在上单调递减.则函数的极小值点为. 故选：B 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的 函数值都小，；而且在点附近的左侧,右侧, 就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的 函数值都大,;而且在点附近的左侧,右侧, 就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 问题3： 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 例如，对于函数,我们有.虽然, 但由于无论,还是,恒有,即函数 在上是增函数，所以0不是函数的极值点. 追问1： 导数值为0的点是函数的极值点的什么条件？ 一般地，函数在一点处的导数值为0是 可导函数在这点取极值的必要条件， 而非充分条件. 追问2： 函数取得极值的充分条件是什么? 可导函数在处取极大(小)值的充分条件是： (2)在附近的左侧(), 在右侧(). (1); 追问3： 函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否 有大小关系? 求函数的极值． 因为，所以． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表所示． 因此，当时，有极大值，并且极大值为． 当时，有极小值，并且极小值为． 4.已知定义在R上的函数 的导函数 的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A． 是 的极值点 B． 在区间 上单调递增 C． 是 在区间 上的最小值点 D．曲线 在点 处的切线斜率小于零 【详解】由 的图象可知：当 时， ，当 时， ， 故 在 单调递减，在 单调递增， 故 是函数 的极小值点，也是 上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知： ，因此曲线 在点 处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 5.已知函数 的导函数 的图象如图所示，则 极值点的个数为（    ）   A．1 B．0 C．3 D．2 【详解】由图可知，的图象有三个变号零点， 1个不变号零点，所以极值点的个数为3. 故选：C. 6.已知 是定义域为 的函数 的导函数， 的图象如图所示，且 有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A． 在 单调递增 B． 有3个极大值点 C． D． 可以同时小于0 【详解】由题图知，在和上单调递减， 在和上单调递增，所以有2个极小值点和1个极大值点，故A错误，B错误，又因为有3个零点， 则的极大值必大于等于0， 故C正确，若同时小于0，则， 结合，至多有2个零点，不符合题意，故D错误. 故选：C. (1)求函数的极值时,首先要求函数的定义域,然后求的实数根, 当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然. (2)一般地，可按如下方法求函数的极值： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求解方程的根； 第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分 为若干个区间，并列成表格； 第四步：由在方程的根的左右的符号来判断 在这个根处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么 是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么 是极小值. 7.已知函数 ，则“ ”是“ 有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A 8.函数 在 上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【详解】由题意恒成立， 所以在上单调递增， 既无极大值也无极小值. 故选：A 求下列函数的极值： (1);(2);(3). (1).令，得或. 当变化时，、的变化情况如表所示． x －1 3 ＋ 0 - 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值－6 递增 所以是函数得极大值点，极大值为， 是函数得极小值点，极小值为. 求下列函数的极值： (1);(2);(3). (2) 函数的定义域为,, 令,得. x 1 - 0 ＋ 递减 极小值3 递增 所以是函数的极小值点， 极小值为3,无极大值点和极大值. 求下列函数的极值： (1);(2);(3). (3)函数的定义域为, 令，即，解得或； 当变化时，、的变化情况如表所示． 0 2 － 0 ＋ 0 － 单调递减 0 单调递增 单调递减 求下列函数的极值： (1);(2);(3). 因此当时，取得极小值，且极小值为； 当时，取得极大值,且极大值为 . (3)函数的定义域为, 令，即，解得或； 9.已知函数 在 处取得极大值，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数 ，（ ） 则 ，令 得 或 ， 当 时， 不在函数 的定义域内，不符合条件； 当 时，若 ，在 ， 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递减，此时 为 的极小值，不符合； 若 ，在 上 ， 单调递增，不存在极值，不符合； 若 ，在 ， 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递减，此时 为 的极大值. 故选：B 10.函数 在 上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 所以 为偶函数，故排除B项； 由 ，得 ， 显然，在区间 上， ， 所以，在给定区间端点处函数切斜的斜率为0，排除A、C. 故选：D 函数 的导函数 的图象如图所示，试找出函数 的 极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点． 因为 点的导数都为零， 且这两点左右两侧的导数值异号， 所以 是函数的极值点； 又因为 时， ， 时， ， 所以 是极大值点； 因为 时， ， 时， ， 所以 是极小值点． 2．求下列函数的极值： (1) ;(2) ;(3) ;(4) ． (1) 的定义域为 , . 令 ,解得： ,列表得： x － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以函数 的极小值为 ,无极大值． 2．求下列函数的极值： (1) ;(2) ;(3) ;(4) ． (2) 的定义域为 ， ． 令 ，解得： ，列表得： x 3 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 54 单调递减 单调递增 所以函数 的极小值为 ,极大值为 ． 2．求下列函数的极值： (1) ;(2) ;(3) ;(4) ． (3) 的定义域为 ， ． 令 ，解得： ，列表得： x 2 － 0 ＋ 0 － 单调递减 单调递增 22 单调递减 所以函数 的极小值为 ,极大值为 ． 2．求下列函数的极值： (1) ;(2) ;(3) ;(4) ． (4) 的定义域为 ， ． 令 ，解得： ，列表得： x 1 － 0 ＋ 0 － 单调递减 单调递增 2 单调递减 所以函数 的极小值为 ，极大值为 ． (1)(多选)已知函数的导函数的图象如图所示，则下列 选项中正确的是（    ） A． 函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零 解: 由图可得，当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，即C正确； 可得函数在处取得极大值，即A正确； 因时,,且时,,故在处没有取得极值,B错误； 又,即的图象在处的切线斜率小于零,故D正确.故选：ACD. (2)(多选)设函数在上可导，其导函数为，且函数 的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 解：由题图知，当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以. 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以有三个极值点，为函数的极大值，和为的极小值. 故AD错误，BC正确.故选：BC 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的， 对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为 负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的， 若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为 正值，则在该点处取得极小值．对于函数的图象，重点考查函数 在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大 值点，哪个点是极小值点. 1．(多选)如图所示是的导数的图象， 下列结论中正确的有（    ） A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上是减函数,在区间上是增函数 D．是的极小值点 解：根据图象知当时,,函数在上单调递增； 当时,,函数在上单调递减.故A C正确； 当时,取得极小值,是的极小值点,故B正确； 当时,取得是极大值,不是的极小值点,故D错误. 故选：ABC. 2．设函数在上可导,其导函数且函数 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．函数有极大值 B．函数有极大值 C．函数有极小值 D．函数有极小值 解：由图可知，，，且， 则，在区间单调递增， 当，，且， 则，在区间单调递减， 当，，且， 则，在区间单调递减， 当,,且,则,在区间单调递增， 所以函数的极大值为，函数的极小值为.故选：AD 解：定义域为， ，， 当，即时， 故恒成立，此时在上单调递增，无极值点； 已知函数,讨论函数极值点的个数． 已知函数,讨论函数极值点的个数． 当，即时，有两个变号零点， 故有2个极值点， 故当时，极值点个数为0； 当时，极值点个数为2. (1)研究含参数的函数的极值问题，要依据参数函数单调性的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数的定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点． (3)含参数的二次不等式问题，一般从最高次项的系数、判别式及根的大小关系等方面进行讨论. 3．已知函数，若函数， 求函数极值点的个数； 解：由已知,则， 对于方程，， ①当时，，则， 在上单调递增，此时没有极值点； 3．已知函数，若函数， 求函数极值点的个数； ②当时，设方程的两根为，， 不妨设，则，，即， 所以当或时，， 当时，，即函数在和上单调递增， 在上单调递减，此时，是函数的两个极值点； 3．已知函数，若函数， 求函数极值点的个数； ③当时，设方程的两根为，， 则，，故，， 所以当时，，单调递增，此时没有极值点； 综上所述，当时，函数有两个极值点； 当时，函数没有极值点； 4．已知函数,求的极值点； 解：因为， 则， 当时，，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 所以，函数的极小值点为，无极大值点； 4．已知函数,求的极值点； 当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为； 4．已知函数,求的极值点； 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 此时，函数在上单调递增，无极值点； 4．已知函数,求的极值点； 当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为. 4．已知函数,求的极值点； 综上所述，当时，函数的极大值点为，极小值点为； 当时，函数无极值点； 当时，函数的极大值点为，极小值点为； 当时，函数的极小值点为，无极大值点. (1)已知函数在处取得 极值2，求a，b的值； 解：函数，求导得， 依题意，，解得， 此时， (1)已知函数在处取得 极值2，求a，b的值； 当时，， 当时，， 函数在处取得极大值，符合题意， 所以的值分别为，. (2)已知函数，若既有极大值， 又有极小值，求的取值范围. 解：由，， 则， 由既有极大值，又有极小值，即有两个不等的正根， (2)已知函数，若既有极大值， 又有极小值，求的取值范围. 即有两个不等的正根，分别设为，， 则，解得，故的取值范围为. (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件． (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立． 5．已知函数在处取得极小值， 且极小值为，求，的值； 解：由题意可得， 因为在处取得极小值，且极小值为， 所以，解得， 5．已知函数在处取得极小值， 且极小值为，求，的值； 此时， 当，，当，， 则满足在处取得极小值，故； 6．已知函数，若函数有极小值，且 的极小值小于，求a的取值范围. 解：因为，其中，则， 当时，，，此时，函数在上单调递增， 当时，令，可得，列表如下： 递减 极小值 递增 6．已知函数，若函数有极小值，且 的极小值小于，求a的取值范围. 所以，，由题意可得，即. 令，其中，且. 不等式即为，. ， 6．已知函数，若函数有极小值，且 的极小值小于，求a的取值范围. 当且仅当时，即时，. 所以，函数在单调递增，又，则. 因此，实数的取值范围是. 解：(1)由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点， 即为极大值点； (2)由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点， 即，为极小值点； 4. 导函数的图象如图所示,在标记的点中,在哪一点处 (1)导函数有极大值？(2)导函数有极小值？ (3)函数有极大值？ (4)函数有极小值？ 4. 导函数的图象如图所示,在标记的点中,在哪一点处 (1)导函数有极大值？(2)导函数有极小值？ (3)函数有极大值？ (4)函数有极小值？ 解：(3)由图知，，，函数单增； ，，函数单减； ，，函数单增； 则函数在处取极大值； (4)由(3)知，函数在处取极小值； 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) 解：(1)，则， ∴时,,单调递减;时,,单调递增； ∴有极小值，无极大值. 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) (2)，则有， ∴时,,单调递增;时;,单调递减； 时,,单调递增； ∴极大值，极小值. 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) (3)，则有， ∴时,,单调递增;时,,单调递减； 时,,单调递增； ∴极大值，极小值. 5. 求下列函数的极值： (1) (2)； (3) (4) (4)，则有， ∴时,,单调递减;时,,单调递增； 时,,单调递减； ∴极小值，极大值. $