5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦导数综合应用，涵盖函数性质研究、实际优化问题及综合题型。通过饮料瓶利润、快递盒容积等生活实例导入，衔接导数研究函数单调性、极值的旧知，搭建从现实问题到数学模型的学习支架。 特色在于融合数学建模与逻辑推理核心素养，如用导数解决饮料瓶利润最大化等实际问题，通过分参数讨论恒成立问题、分析函数极值研究零点个数。分层练习与表格分析助力学生掌握方法，教师可借此提升教学效率，落实核心素养培养。

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 (第3课时)导数的综合应用 ·选择性必修第二册· 学习目标 1.能熟练运用导数工具研究复杂函数的单调性、极值、最值、零点等性质，掌握函数大致图象的绘制步骤，深化数形结合思想。 2.能将实际优化问题转化为函数模型，通过导数求最值并回归实际，理解导数在解决实际问题中的普适性与可操作性。 3.能突破导数综合题型（恒成立、零点个数问题），掌握分类讨论、参数分离等核心方法，提升逻辑推理与综合解题能力。 4.体会导数“精准刻画变化规律”的内在力量，感受数学与生活、生产的紧密联系，增强用数学解决实际问题的意识。 目录 CATALOG 01.利用导数研究函数的综合性质（单调性、极值、图象、零点） 03.题型强化训练 02.导数在实际问题中的优化应用 04.小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 01 利用导数研究函数的综合性质（单调性、极值、图象、零点） 导入新知1：饮料瓶的“大小奥秘” 同学们，在超市购物时，大家肯定发现过一个有趣的现象：同样是500毫升的饮料，小瓶装的单价往往比大瓶装贵不少；而商家生产的饮料瓶，也不是越大越好。比如某品牌球形饮料瓶，制作成本和半径的平方成正比，每毫升饮料的利润却是固定的。 如果你是饮料公司的产品设计师，要设计半径多大的瓶子，才能让每瓶饮料的利润最高？要是瓶子半径过大或过小，利润又会发生怎样的变化？这背后藏着导数的奥秘，今天我们就通过导数的综合应用，来解开饮料瓶大小与利润的“数学密码”。 导入新知2：快递包装盒的“最优设计” 某快递公司要制作一款长方体快递盒，用总长为14.8米的钢条做框架，要求底面一边比另一边长0.5米。如果想让盒子的容积最大，能装下更多物品，这个盒子的高应该设计成多少呢？要是容积太小，装不下东西；要是设计不合理，又会浪费钢条材料。 我们可以用导数来精准解决。今天，我们就一起学习如何用导数的综合应用，解决生活中这类“最优设计”的问题，还会探索导数在函数性质研究、综合题型中的更多用法。 引入新知 我们在“导数在研究函数中的应用”中，利用导数研究了函数的哪些性质?回顾以往通过代数运算所研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质可以利用导数进行研究? 函数最大(小)值 函数极值 函数单调性 函数零点 函数图象 实际应用 导数 新课探究 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题 例1： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、根据极值点求参数 新课探究 例： 解： 新课探究 例： 思考： 函数图象 函数极值点 函数最值点 函数零点等 新课探究 思考： 例： 变化趋势 函数与方程 函数与不等式 极限思维 函数零点 函数值的正负 x趋近正负无穷时函数值的情况 新课探究 例： 新课探究 例： 新课探究 利用导数研究函数性质的步骤 1 2 3 4 新课探究 画出函数 的大致图象步骤 1 2 3 4 5 新课探究 变式训练 详解 新课探究 变式训练 详解 新课探究 变式训练 详解 新课探究 变式训练 详解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、利用函数单调性求最值或值域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数极值的辨析、利用函数单调性求最值或值域 新课探究 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用． 问题： 02 导数在实际问题中的优化应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 新课探究 例2： 新课探究 解： 新课探究 换个角度 思考 新课探究 思考 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数研究函数图象及性质、求已知函数的极值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 利用导数研究函数图象及性质、求已知函数的极值 新课探究 方法规律 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤： 新课探究 方法规律 几何中最值问题的求解思路 新课探究 方法规律 经济生活中优化问题的解法 新课探究 变式训练 详解 新课探究 变式训练 详解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据极值点求参数 随堂演练 详解 随堂演练 详解 03 题型强化训练 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 例题 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 例题 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 例题 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 例题 解： (2)方法一： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 例题 解： (2)方法二： 能力提升 方法规律 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 与函数有关的恒成立问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例题 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例题 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例题 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例题 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 例题 解： 能力提升 方法规律 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 利用导数解决函数的零点或方程的根问题 变式训练 解： 04 小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 课堂小结 导数的综合运用 作业 巩固作业：教科书第98页习题5.3第7、8、9题 教科书第99页习题5.3第10、11题 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第7题） 解： 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第8题） 解： 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第9题） 解： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第10题） 解： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第11题） 解： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第11题） 解： THANKS 感谢您的聆听 问题1： 给出函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图象； (3)求出方程的解的个数． 1.已知函数 在 处有极小值，则 的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 【详解】 ， ，因为函数 在 处有极小值， ，即 ，解得 或 ， 当 时,由 知，当 时， ，故函数 单调递增； 当 时， ，故函数 单调递减；当 时， ，故函数 单调递增；所以 在 处取得极小值,符合题意.当 时,由 知, 当 时， ，故函数 单调递增；当 时， ，故函数 单调递减；当 时， ，故函数 单调递增；所以 在 处取得极大值，不符合题意.综上， 的值为3.故选： . 2.函数 在 处取得极大值 ，则 的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， ， 因为在处取得极大值，所以，解得， 故，定义域为，， 当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的单调增区间为.故选：B. 3.设函数 ， 为给定开区间，则“ ”是“ 在 上存在两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】由函数，可得， 令，解得或，在上单调递增； 令，解得，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 要使得函数在上存在两个极值点，则是区间的真子集， 此时满足，即必要性成立；反之，例如时，满足，此时函数在没有极值点，所以充分性不成立，所以“”是“在上存在两个极值点”的必要不充分条件.故选：B. 给出函数,判断函数的单调性,并求出的极值； (1)函数的定义域为． ． 令,解得.,的变化情况如表所示． － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减,在区间上单调递增， 所以，当时,有极小值,无极大值. 给出函数，画出函数的大致图象； 为了画出函数的大致图象,我们应该哪些方面入手？ 1） 函数的图象经过哪些特殊点? 给出函数，画出函数的大致图象； 为了画出函数的大致图象,我们应该哪些方面入手？ 2） 结合函数与方程、不等式的知识，你能发现的图象有哪些变化趋势? 给出函数，画出函数的大致图象； (2)令,解得.当时,;当时,． 所以，的图象经过特殊点，，． 当时，与一次函数相比， 当时，，． 根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示． 指数函数呈爆炸性增长， 从而； 给出函数,求出方程的解的个数． (3)方程的解的个数为函数的图象与直线 的交点个数． 由(1)及图5.3-17可知,当时,有最小值． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个； 当或时，解为1个； 当时，解为2个． 求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围； 用导数研究函数的单调性、极值； 利用函数的单调性、极值等性质画出的大致图象； 利用函数的图象进一步研究函数的最大(小)值,值域,零点等性质. 求出函数的定义域； 求导数及函数的零点； 在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； 用的零点将的定义域划分为若干个区间,列表给出 确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； 画出的大致图象． 1．画出函数的草图． ， 由，得或，由，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 故在时取得极小值， 在时取得极大值， 1．画出函数的草图． 又时，， 时，， 时，， 故的草图为： 2．已知，画出函数的大致图象. 定义域为,,令得,， 列表如下: 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为， 单调递减区间为，； 2．已知，画出函数的大致图象. 当时，，，故； 当时，取极小值为. 当时，，，故； 据此信息及(1)可得的图象，如图所示； 4.已知函数 的极小值点为 ，则 的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【详解】，因为函数的极小值点为，所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减，因此是函数的极大值点，不符合题意；当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 5.已知函数 的定义域为 ，集合 存在 ，使得 ．若 使得 ，则（   ） A． 可能为奇函数 B． 可能在 处取最小值 C． 可能是增函数 D． 可能在 处取极小值 【详解】对于A：若函数为奇函数，由题意存在，使得， 则，所以，所以，而，不合题意，A选项错误；对于B：令满足题意，此时在处取最小值，B选项正确；对于C： 函数，如果是增函数，则当时，存在，使得得出，不合题意，C选项错误； 对于D：由题意，若在处取极小值，则在附近左侧，若存在使得，则至少存在一个，但是，不合题意，若不存在使得，即，与题意不符，所以D选项错误.故选：B. 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的 要贵一些？你想从数学上知道它的道理吗？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售 1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径是6cm． (1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 由题意可知，每瓶饮料的利润是 ． 所以． 令，解得． 当时，；当时，． 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低． 所以，半径为6cm时，利润最大；半径为2cm时，利润最小． 这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本， 此时利润是负值． 如果我们不用导数工具，直接从函数的图象(图5.3-18) 上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出,当时,,即瓶子 的半径是3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本 恰好相等;当时,利润才为正值． 1)当时,是减函数,时,是增函数,你能解释 它的实际意义吗？ 当时,半径越大,利润越低,时,饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 2)通过此问题的解决,请回答开始时的问题． (1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大 包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其 销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些 (2)由例题的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 通过此问题的解决,本例一开始时的问题可以解释为: 6.设函数 ，则 满足（   ） A．在区间 内均有零点 B．在区间 内有零点，在区间 内无零点 C．在区间 内无零点，在区间 内有零点 D．在区间 内均无零点 【详解】 的定义域为 ，求导得 ， 当 时， ；当 时， ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 时，函数 取得极大值为 ， 又 ， ， ， 即在区间 上恒有 ，又由零点存在定理 ，使得 ， 即函数在区间 内无零点，在区间 内有零点.故选：C. 7.若函数 的零点有两个，则实数 的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】函数 有两个零点，即函数 的图像与 的图像有两个交点， 函数 的定义域为 ， ，令 ，解得： ，当 时， ，得 在区间 上单调递减；当 时， ，得 在区间 上单调递增；故当 时， 取得极小值，极小值为 ， 令 ，解得 ，当 时， ；当 时， ，当 无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于 ；当 无限趋向于正无穷大时， 无限趋向于正无穷大，由此作出函数 的大致图像：由图像可得当 时，交点为 个；当 或 时，交点为1个；当 时，交点为2个.若函数 的图像与 的图像有两个交点， 则由图可知：实数 的取值范围为 .故选：B (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系式； (2)求函数的导数，解方程； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题， 求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数， 再按函数求最值的方法求解，最后检验. 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量 或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研 究、指导生产活动. 关于利润问题常用的两个定量关系： (1)利润=收入−成本； (2)利润=每件产品的利润×销售件数. 用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所 制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容 器的容积最大？并求出它的最大容积. 设容器底面短边长为x m，则另一边长为， 容器的高为. 由，得. ∴容器的体积为： . 用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架,如果所 制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容 器的容积最大？并求出它的最大容积. ∵，令，得. ∴ (不合题意，舍去). ∴当时，取得极大值，也是最大值， 此时, 高为 ∴容器高为m时,容器的体积最大，最大容积为. 8．已知函数 ，若曲线 与 有两条公切线，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为，而，依题意，，则，因，则，消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是.故选：C 9.已知函数 在区间 上的最小值小于 ，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为， 不符题意；当时，在上单调递减， 在上单调递增，的最小值为， 解得.故选：A. 10.若函数 有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】，定义域为， ，因为函数 有且只有一个极值点，所以方程有一个根大于0， 一个根小于等于0，所以.故选：C 1．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 设圆的半径为r,则半圆的面积为 ,所以矩形的宽为2r, 所以 ,即 ,该图形的周长为 , 令 ,所以 ,令 , 设矩形的长为 ，则矩形的面积为 ， 1．如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 ．为使所用材料最省，圆的直径应为多少？ 解得: (舍负),所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增 所以当 时,函数 取得最小值. 即圆的半径 时,所需材料最省. 1.若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 设,则恒成立,,, 所以,当时,;当时,, 在上单调递减,在上单调递增， ,解得,即实数的取值范围为. 故选：B. 2.已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. (1)因为,,所以. 若，则恒成立，此时的单调递增区间为， 无单调递减区间. 若,则当时,,当时,， 此时的单调递增区间为,单调递减区间为. 2.已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. 综上所述， 当时,的单调递增区间为,无单调递减区间； 当时,的单调递增区间为,单调递减区间为. 2.已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. 当时,,不符合恒成立. 当时，由(1)可知，. 因为恒成立，所以，解得， 故a的取值范围为. 2.已知函数. (1)讨论的单调性；(2)若恒成立，求a的取值范围. 恒成立等价于恒成立.令,则. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 则，故a的取值范围为. (1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采用 分离参数法进行转化.恒成立；恒 成立.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函 数的最值即可. (2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”. 1.已知函数,若,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 等价于,令,则, 当时，单调递减； 当时，单调递增． 所以,所以只需,即.故选:B. 2.已知函数,若恒成立,求实数的取值范围； 因为恒成立，得，， 令，，则， 当，，当时，， 即函数在上递减，在上递增， 因此，则，所以的取值范围为. 3．已知，函数． (1)讨论的单调性：(2)若恒成立．求的取值范围． (1)的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得； 令，解得； 3．已知，函数． (1)讨论的单调性：(2)若恒成立．求的取值范围． 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在上单调递增． 3．已知，函数． (1)讨论的单调性：(2)若恒成立．求的取值范围． (2)由在上恒成立, 可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为在上均单调递增， 则在上单调递增； 3．已知，函数． (1)讨论的单调性：(2)若恒成立．求的取值范围． 由在上恒成立, 可得恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 3．已知，函数． (1)讨论的单调性：(2)若恒成立．求的取值范围． 所以当时，当时， 故，则，解得， 故的取值范围为． 则在上单调递减，在上单调递增； 1.已知函数存在两个零点,则实数t的取值范围为( ) A． B． C． D． 由,,可得:,令， 依题意，函数存在两个零点， 等价于函数与函数的图象有两个交点. 又,当时,,单调递增； 当时,,单调递减， 1.已知函数存在两个零点,则实数t的取值范围为( ) A． B． C． D． 故时,取得极大值,且当时,,当时,， 故要使函数与函数的图象有两个交点， 即实数t的取值范围为.故选：C. 故的大致图象如图所示. 需使，解得. 2.已知函数. (1)求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围. (1)函数的定义域为, 且 令，解得或， 则函数在上单调递增； 2.已知函数. (1)求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围. 令，解得， 则函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为， 单调递减区间为. 2.已知函数. (1)求的单调区间；(2)若有三个零点，求的取值范围. (2)由(1)知函数在和上单调递增， 在上单调递减， 且当时,,当时,， 则，， 要使得函数有三个零点， 则需满足,解得， 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研 究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数 的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点 的个数求参数范围. 4.已知函数有两个零点,求实数的取值范围. 由有两个零点， 故有两个实数根， 记，则， 故当和时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故在单调递减，在单调递增， 4.已知函数有两个零点,求实数的取值范围. ，作出函数的图象如下： 由图象可知：当或时， 故实数的取值范围 直线与的图象有两个交点， 5.已知函数，若函数有 且仅有三个零点，求的取值范围． 由,得,令,得或． 0 2 0 0 单调递减 1 单调递增 单调递减 当变化时，，的变化情况如下表所示： 5.已知函数，若函数有 且仅有三个零点，求的取值范围． 由函数有且仅有三个零点， 得方程有且仅有三个不等的实数根， 所以由上表可知,的极小值为,的极大值为， 显然，当时，；当时，． 故． 所以函数的图象与直线有且仅有三个交点． 6.已知函数,求出方程的解的个数． 函数的定义域为．． 令解得或．则、、的关系列表如下： 0 0 0 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 极小值 单调递增 6.已知函数,求出方程的解的个数． 在区间上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，在处取得极小值， 令，得．当时，的图像过点． 当时，，但始终在轴上方； 6.已知函数,求出方程的解的个数． 当从的左侧无限近于时，； 当从的右侧无限近于时，； 当时，；当时，． 根据以上性质，作出函数的大致图象如图所示， 方程的解的个数为 函数的图象与直线的交点个数． 6.已知函数,求出方程的解的个数． 当时，与没有交点， 则方程的解为个； 当或或时，与有个交点， 则方程的解为个； 当或时，与有个交点， 则方程的解为个． 7.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 设一个正方形的边长为,则另一个正方形的边长为, ∴两个正方形的面积和,则， ∴时， 故当时,,单调递减；当时,,单调递增； ∴当时,的极小值也是最小值为,此时另一个正方形的边长也为. 综上,当两段铁丝的长度都为时,它们的面积和最小. 8. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形， 做成一个无盖方盒． (1) 试把方盒的容积V表示为x的函数；(2) x多大时,方盒的容积V最大？ (1)由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； (2),解得：， 当时函数递减,当时函数递增, 所以当时,盒的容积V最大. 9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因， 测得n个数据，，，…，． 证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个 数据的方差最小． ,则当时,， ,,函数单减;,,函数单增； 方差在时,取得最小值. 10.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p 与产量q的函数关系式为.求产量q为何值时,利润L最大？ 先求出利润L关于q的函数关系式. , 显然当q=84时，利润最大 11.已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是b元/件时， 可卖出c件.市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40%．现决定 一次性降价,销售价为多少时,可获得最大利润？ 设销售价为x，可获得的利润为y， 则， 求导得，令， 解得，由知，， 11.已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是b元/件时， 可卖出c件.市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40%．现决定 一次性降价,销售价为多少时,可获得最大利润？ 当时，，函数单增； 当时，，函数单减； 因此是函数的极大值点，也是最大值点； 故当销售价为元/件时，可获得最大利润. $