5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） （题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第1课时） 函数的极值 题型一： 求已知函数的 极值点 题型二：函数极值点的 基础达标题 辨析 题型三：函数（导函 数)图像与极值点的关 系 5.3.2函数的 题型一：根据极值求参 极值与最大( 数 小)值（第1 题型二：函数极值的辨 能力提升题 析、函数与导函数图象 课时) 之间的关系 题型三：根据极值求参 数 拓展培优题 基础达标题 题型一：求已知函数的极值点 1.(24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考)函数f(x)=(x-1)(x+2)3的极小值点是() A.x=-2 B.x=-1 C.x=-} D.x=1 5 2.(24-25高二下河北期中)函数fx=-3x+2x-1的极大值点是() 3 2 A.1 B.2 c.( D.(2 3.(24-25高二下·天津·期中)函数fx)=e-2r-x的极值点的个数为（） 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 4.(24-25高二下山东·期中)函数f(x)=(x-2)e-x2+2x的极小值点为() A.1-e B.1 C.In2 D.2 题型二：函数极值点的辨析 1.(25-26高三上·福建宁德·月考)已知函数f(x)=(x-1)nx,则下列说法不正确() A.f(x在(O,1)上单调递减 B.x=1是f(x的零点 C.(x)的极小值为0 D.fx)的极大值点为x=1 3.(25-26高三上新绍月考)已知函数到=nx+m(m∈R,则函数() A.既有极大值也有极小值 B.有极大值无极小值 C.有极小值无极大值 D.有2个零点 2.(多选题)(24-25高二下·河北邢台·月考)已知定义在区间(a,b)上的函数f(x)的 导函数为f'(x),'(x)的图象如图所示，则() y bx A.f(x)在(a,x,上单调递增 B.f(x在(x,b)上单调递增 C.曲线y=∫(x在点(x3,f(x)处的切线的斜率为0 D.f(x)有1个极大值点 3.(多选题)(2025海南海口·模拟预测)f(x)是定义在区间a,b]上的函数，其导 函数f'(x)的图象如图所示，则在区间a,b]内() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x) 网O内4 X's A.函数(x)有三个极值点 B.函数f(x的单调增区间为x,x) C.函数f(x的最大值可能为f(x)D.函数f(x)的最小值可能为f( 4.(多选题)(24-25高二下山东潍坊·期中)已知定义在[-2,3]上的函数f(x),部 分对应的函数值如表，其导函数'(x)的图象如图所示，则() x -2 -1 2 3 f (x) 1 -1 2 0 A.f(x)在几，3]是减函数 B.f(x)在定义域上有两个极值点 C.若-1<a<0,则函数y=f(x)-a有两个零点 D.若f(x)在[-2，]上的最大值为2，则2≤t≤3 题型三：函数（导函数）图像与极值点的关系 1.(24-25高二下.甘肃白银·期中)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示， 则f(x)的极大值点为() 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=f(x) XA A.x B.x C.X D.xs 2.(24-25高二下·福建泉州·期末)已知函数f(x)=x(x2+bx+c)的图象如图所示， 则xx2=（). A.0 B.1 C.2 D.} 3.(24-25高二上·安徽·月考)已知函数f(x的导函数的图象如图所示，则下列 关于函数f(x)的说法正确的是() 12 A.单调减区间是[-2,2} B.-2是极大值点 C.没有最大值 D.最多能有四个零点 4.(多选题)(25-26高二上·福建莆田·期中)深度神经网络是人工智能领域中的 重要模型之一，其中函数八+。是神经网络的一种微活函数，则(） A.f(x)有且仅有一个零点 B.y=∫(x)图象关于原点对称 C.f(x)在(0，+o)上单调递增 D.f(x)有极小值点 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一：根据极值求参数 1.(2025高三·全国专题练习)当x=1时，fx)=anx+取得最大值-2，则 f(2)=() A. B.月 C.2In2 D.-2ln2-1 2.(23-24高三上·陕西·月考)已知函数f(x)=-x2+ax+1在[1,2]上的最大值也是其 在[1,2]上的极大值，则a的取值范围是() A.「2，+0） B.[4,+o) C.[2,4 D.（2,4 3.(25-26高三上海南海口月考)函数fx)=x-1-k1nx有三个零点a,b,c (a<b<c),有两个极值点x,（x<x,),则() A.x1+x2=2B.ac=2 C.abe =xx2 D.a+c=x+x2 4.(多选题)（2025·四川资阳一模)己知x=1是函数f(x)=(x2+a)e1的极小值点， 则() A.a=-3 B.若0<a<晋，则fina)<f(coxa) C.若0<m<令，则y=f)-m有3个相异的零点 6 D.方程[f(x)]=-1有3个不同的实数根 题型二：函数极值的辨析、函数与导函数图象之间的关系 1.（25-26高三上·北京顺义·月考)已知函数f(x)的导函数f'(x)=a(x+2)(x-1)2, '(x)的图象如下图所示，则下列结论中正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2-107 3 A.函数f(x)有2个极值点 B.函数f(x)在区间(-1，)上单调递增 C.MeR,对于x∈R,f(x)>M D.HM∈R,3x∈R,f(x)<M 2.(25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试)已知函数f(x)的导函数∫'(x)的图象 如图所示，则下列选项正确的是() A.f(x)有2个极值点 B.f(x)在x=2处取得极大值 C.f(x)在(-o,2)上单调递增 D.f(x)有极小值，没有极大值 3.(24-25高二下.安徽铜陵·月考)已知函数f(x的定义域为R,且f(x的图象 是一条连续不断的曲线，f(x的导函数为∫'(x,若函数g(x)=(x+2)f'(x的图象 如图所示，则() 2 1 3-21 123龙 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.当x=-2时，f(x)有极值 B.f(x在(-1,1)内单调递减 C.f(x)在(2，+o)内单调递增 D.当x=-3时，f'x)>0 4.(多选题)(24-25高二下·江苏常州期中)已知函数f(x)的定义域为R,其导 函数为f'(x,∫'(x)的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（) A.f(x)在(3，+o)上单调递增 B.f(x)的最大值为f① C.∫(x)的一个极大值点为-1 D.f(x)的一个减区间为L,3) 题型三：根据极值求参数 1.(25-26高三上·河北月考)若函数f(x)=(x-a)(x-1)的极大值为4d,则a=() A. B.2 C.1 D.2 2.(25-26高三上河北月考)若函数f(x)=(x-a)(x-1)的极大值为4a,则a=() A.4 B. C.1 D.2 3.(2025高三·全国专题练习)已知函数)=e+在x=x,处取得极小值， f(x)是f(x)的导函数，则() A.(B.oseC. D.f'(eo)<2 4.(多选题)(24-25高二下.重庆沙坪坝期末)已知fx)=x3+x2+2,则() A.当a=1时，f(x既有极大值，又有极小值 B.若f(x)在x=0处取到极大值，则实数a的取值范围为(-o,0 C.a=3时，f(x在区间m,m+2)内取到最大值，则实数m的取值范围为 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 (-3,-1 D.不存在实数a,使得f(x)在区间(-1，内既有最大值又有最小值 拓展培优题 1.(24-25高二下·北京·期末)已知函数f(x)与f'(x的图象如下图所示，设函数 g)=八四.则函数gx)在(-2,4上的极大值点个数为（) er A.0 B.1 C.2 D.3 2.(25-26高三上·湖北荆州·月考)已知函数f(x)的定义域为0，+0)，导函数为 f'(x),满足xf'(x)-fx)=(x-1)e(e为自然对数的底数)，且f)=0,则下列说 法错误的是() A.3f2)<2f(3) B.f(1<f (2)<f(e) C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)在x=e处取得极大值 3. 4.(2025·陕西西安模拟预测)已知函数f(x=e-ax+e2,若fx)≥0对任意的 xeR恒成立，则实数a的最大值为() A. B.1+In2 C. e2 2 D.e2 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第1课时） ——函数的极值 题型一：求已知函数的极值点 1.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）函数的极小值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】对函数求导，确定导函数零点，分析函数单调性确定极值点即可. 【详解】由， 则 令，解得或或， 所以时，，函数单调递增， 时，，函数单调递增， 时，，函数单调递减， 时，，函数单调递增， 故函数的极小值点是. 故选：D. 2.（24-25高二下·河北·期中）函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可. 【详解】， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故的极大值点是. 故选：A. 3.（24-25高二下·天津·期中）函数的极值点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求出函数的导函数，再构造函数利用导数证明恒成立，即可得解. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 即恒成立，所以在上单调递增，则不存在极值点. 故选：A 4.（24-25高二下·山东·期中）函数的极小值点为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】直接求导，根据极小值点定义即可判断. 【详解】. 令，得；令，得. 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以极小值点为1. 故选：B. 题型二：函数极值点的辨析 1.（25-26高三上·福建宁德·月考）已知函数，则下列说法不正确（   ） A．在上单调递减 B．是的零点 C．的极小值为0 D．的极大值点为 【答案】D 【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、函数极值点的辨析 【分析】由导数确定单调性，从而可得极值点，计算函数值后可判断各选项． 【详解】, 当时，，所以在上单调递减，时，，在上单调递增，是极小值，，因此ABC正确，D错误， 故选：D． 3．（25-26高三上·新疆·月考）已知函数，则函数（    ） A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值 C．有极小值无极大值 D．有2个零点 【答案】B 【知识点】函数极值的辨析、求函数零点或方程根的个数 【分析】对函数求导判断其单调性，进而判断是否有极值，最后通过比较函数最值与0的大小，结合函数的单调性，判断零点个数. 【详解】函数，定义域为， 则. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 当时，，故此时有极大值，无极小值. 故选项和错误，选项正确. 结合函数的单调性，是函数的最大值， 若，即时，函数有2个零点； 若，即时，函数有1个零点； 若，即时，函数没有零点. 故选项错误. 故选： 2.（多选题）（24-25高二下·河北邢台·月考）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．曲线在点处的切线的斜率为0 D．有1个极大值点 【答案】BC 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】利用导函数图象得出的正负，求出函数的单调性，可判断AB；利用导数的几何意义可知C正确，根据极值点定义可得D正确. 【详解】根据图象可知在上满足，所以可知在上单调递减，即A错误； 在上满足，且不恒为0，即在上单调递增，B正确； 易知曲线在点处的切线是水平的，其斜率为0，C正确； 根据已有分析，在处取得极小值，其仅有1个极小值点，没有极大值点，D错误． 故选：BC 3.（多选题）（2025·海南海口·模拟预测）是定义在区间上的函数，其导函数的图象如图所示，则在区间内（   ） A．函数有三个极值点 B．函数的单调增区间为 C．函数的最大值可能为 D．函数的最小值可能为 【答案】BC 【知识点】函数极值点的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析 【分析】利用导数图象分析函数的单调性，结合极值与最值与导数的关系逐项判断即可. 【详解】对于AB选项，由图象可知，当或时，，当时，. 所以，函数的减区间为、，增区间为， 所以，函数只有两个极值点，A错， 函数的单调增区间为，B对； 对于CD选项，函数的最大值可能为，C对， 因为函数在上单调递减，则，故函数的最小值不可能为，D错. 故选：BC. 4.（多选题）（24-25高二下·山东潍坊·期中）已知定义在上的函数，部分对应的函数值如表，其导函数的图象如图所示，则（   ） x 2 3 1 2 0 A．在是减函数 B．在定义域上有两个极值点 C．若，则函数有两个零点 D．若在上的最大值为2，则 【答案】BCD 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、已知函数最值求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据所给的条件，分析函数的单调性和极值，作出函数的草图，数形结合，逐项判断即可. 【详解】根据的图象可知：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 结合给定的函数值，可作出函数的草图，如下： 对A：由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故A错误； 对B：由图可知，函数在上有两个极值点，分别为和，故B正确； 对C：当时，方程有两个不同的解，故C正确； 对D：由图可知，函数在上要想取到最大值2，须有，故D正确. 故选：BCD 题型三：函数（导函数）图像与极值点的关系 1.（24-25高二下·甘肃白银·期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则的极大值点为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据导函数的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，从而得到函数的极大值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为. 故选：B 2.（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数的图象如图所示，则（   ）． A．0 B．l C．2 D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】根据给定函数及图象，求出解析式，利用导数求出其极值点即可. 【详解】由图象知，是函数的3个零点，则， 求导得，是函数的两个极值点，即为函数的两个变号零点， 而，所以. 故选：D 3.（24-25高二上·安徽·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（    ）    A．单调减区间是 B．是极大值点 C．没有最大值 D．最多能有四个零点 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数研究函数的零点、函数最值与极值的关系辨析、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】利用给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐一分析各个选项即可. 【详解】由图可知：当或时，，当或时，， 因此函数在和上单调递减，在和上单调递增， ∴函数在上不单调，A错误；不是极值点，B错误； 函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误； 当，，，且函数在，上的图象都与轴相交时， 函数在，，，上各有1个零点，共有4个零点， 因此最多能有四个零点，D正确. 故选：D. 4.（多选题）（25-26高二上·福建莆田·期中）深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，其中函数是神经网络的一种激活函数，则（    ） A．有且仅有一个零点 B．图象关于原点对称 C．在上单调递增 D．有极小值点 【答案】ACD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、求函数的零点、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】对于A，令解方程即可得到答案；对于B，利用奇函数的判定方法进行判断；对于C，对进行求导，判断在上的正负得到的单调性；对于D，利用极小值点的概念进行判断. 【详解】对于A，令，解得，所以有且仅有一个零点，故A正确； 对于B，的定义域为R，，所以不是奇函数， 所以图象不关于原点对称，故B错误； 对于C，， 当时，，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，令，， 当时，，故在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 又当时，，当时，， 则，使得当时，，即， 当 时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故有极小值点，故D正确. 故选：ACD. 题型一：根据极值求参数 1.（2025高三·全国·专题练习）当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 2.（23-24高三上·陕西·月考）已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数、函数最值与极值的关系辨析 【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）． 【详解】，令，得， 时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得，所以. 故选：D. 3.（25-26高三上·海南海口·月考）函数有三个零点，，（），有两个极值点，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】求出导函数，利用两个极值点和韦达定理得即可判断A，根据函数有3个零点及性质得即可判断BC，举反例判断D. 【详解】由得， 由题意，即的两根为且， 则，所以或（舍去）， 由韦达定理可知，故不成立，A选项错误； 当和时，，当时，， 所以在和上单调递增；在上单调递减； 若， 则， 故当为的零点时，则也为的零点， 易知，则，所以极大值，极小值. 所以，且，所以， 所以选项B错误，C正确； 因为及，所以， 若，则有，当时，矛盾， 故不一定成立，D错误. 故选：C 4.（多选题）（2025·四川资阳·一模）已知是函数的极小值点，则（   ） A． B．若，则 C．若，则有3个相异的零点 D．方程有3个不同的实数根 【答案】ACD 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用极值点的性质判断A，利用三角函数的性质结合导数判断B，先讨论的零点个数，转化为交点问题判断C，利用换元法结合零点存在性定理判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 因为是函数的极小值点，所以， 可得，解得，故A正确， 对于B，因为，所以，则，即， 由正弦函数性质得，由余弦函数性质得， 由已知得，则， 令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到，故B错误， 对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，得到，， 当时，，当时，， 若讨论的零点个数，则讨论的解的个数， 故讨论与的交点个数即可， 如图，作出符合题意的图象， 由图象可得，当时，与有3个相异的交点， 即有3个相异的零点，故C正确， 对于D，令，若求方程的实数根， 则先求的解的个数，即求的解的个数， 令，则求的零点个数， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，，，， 可得，， 由零点存在性定理得存在，作为的零点， 则是的两个解，后续求解与即可， 由已知得在上单调递减，在上单调递增， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时有一个解， 当时，，此时有一个解， 若，当时，，此时无解，排除， 当时，，此时无解， 当时，，此时有一个解， 综上，方程有3个不同的实数根，故D正确. 故选：ACD 题型二：函数极值的辨析、函数与导函数图象之间的关系 1.（25-26高三上·北京顺义·月考）已知函数的导函数，的图象如下图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数有2个极值点 B．函数在区间上单调递增 C．，对于 D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据给定图象，求出函数的单调区间及极值、最值情况，再逐项判断得解. 【详解】观察图象知，当时，；当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得最大值， 对于A，是函数的唯一极值点，且为极大值点，A错误； 对于B，，函数在区间上单调递减，B错误； 对于C，，函数值域为，因此不存在， 使得对于，C错误； 对于D，由选项C知，函数值域为，，D正确. 故选：D 2.（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（   ）    A．有2个极值点 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用导函数图象确定函数的单调性，再逐项判断即可. 【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确. 故选：D 3.（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知函数的定义域为，且的图象是一条连续不断的曲线，的导函数为，若函数的图象如图所示，则（   ） A．当时，有极值 B．在内单调递减 C．在内单调递增 D．当时， 【答案】C 【知识点】函数极值的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图象，可得的正负情况，得的单调性，依次判断各个选项. 【详解】根据的图象，当时，，则， 当时，，则， 当时，，则，仅， 所以在上单调递减，在上单调递增， 对A，左右两侧导函数符号不变，故A错误； 对B，在内有增有减，故B错误； 对C，因为当时，，仅，故C正确； 当当时，，故D错误. 故选：C. 4.（多选题）（24-25高二下·江苏常州·期中）已知函数的定义域为，其导函数为的部分图象如图所示，则以下说法不正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的最大值为 C．的一个极大值点为 D．的一个减区间为 【答案】ABC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析 【分析】从图象可以看出导函数值的正负，从而确定函数单调性，结合极值点和最值概念得到答案. 【详解】A选项，从图象上不能确定在上恒大于0， 故无法确定在上单调递增，A说法错误； BD选项，从图象上可以得到在上大于0，在上小于0， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，不能确定为最大值，B说法错误，D说法正确； C选项，从图象上可以得到， 在左侧小于0，在上大于0，故的一个极小值点为，C说法错误. 故选：ABC 题型三：根据极值求参数 1.（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求导，对分类讨论，即可根据极值点的定义求解. 【详解】， 若，，此时单调递增，故无极大值，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 故1为的极大值点，，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 则为的极大值点， 所以， 所以，所以，解得. 故选：A. 2.（25-26高三上·河北·月考）若函数的极大值为，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】根据极值求参数、求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】求导，对分类讨论，即可根据极值点的定义求解. 【详解】， 若，，此时单调递增，故无极大值，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 故1为的极大值点，，不符合题意； 若，当或时，，当时，， 则为的极大值点， 所以， 所以，所以，解得. 故选：A. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】根据给定条件，利用导数确定的范围，再逐项分析判断. 【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增， 由，，得，，，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，C正确： 对于D，由，得，则，D错误. 故选：C 4.（多选题）（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【知识点】根据极值求参数、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 1.（24-25高二下·北京·期末）已知函数与的图象如下图所示，设函数.则函数在上的极大值点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【分析】分析可知虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，求得，结合图象以及极大值点的定义可得出结论. 【详解】由图象可知，若虚线表示的为函数的图象， 当时，，则在上单调递增，与题意不符， 故虚线表示的为函数的图象，实线表示的为函数的图象，如下图所示： 因为，则， 由图可知，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以，函数在、上单调递增，在、上单调递减， 故函数在区间上有两个极大值点， 故选：C. 2.．（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．在处取得极小值 D．在处取得极大值 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，对其求导可得，因此设，根据题意可得的解析式，对A：利用导数判断的单调性分析判断，对B、C、D：利用导数判断的单调性分析判断. 【详解】设，则， 可设，则，解得， 故，即， 令，则，故在上单调递增， ∴，即，则，A正确； ∵，令，解得， 则在上单调递减，在上单调递增， ∴，在处取得极小值，无极大值， B、C均正确，D错误． 故选： D. 3. 4.（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】当时，分离参数可得，构造函数，，利用导数求出函数的最小值，从而可得出当时，恒成立，实数的最大值，再验证对任意的恒成立即可. 【详解】当时，， 令，，则， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又， 所以当时，，当时，， 即当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 所以当时，恒成立，则实数的最大值为， 下面证明当时，对任意的恒成立， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，对任意的恒成立， 所以的最大值为． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $