5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）（教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时） ——函数的最大（小）值 教学设计 教学内容 本节课是在函数单调性、极值概念及导数运算基础上，聚焦“函数的最大（小）值”核心内容：① 辨析函数极值与最值的区别与联系；② 归纳利用导数求闭区间上函数最值的一般步骤；③ 运用函数最值证明简单函数不等式；④ 拓展含参数函数的最值求解与“由最值求参数”的逆向问题；⑤ 渗透导数在实际优化问题中的应用思路。 内容解析 本节是导数在函数研究中的核心应用，承接前一课时的函数极值，将“局部性质”（极值）上升到“整体性质”（最值），形成“导数—单调性—极值—最值”的完整逻辑链。导数作为“精确研究函数性质的工具”，突破了传统方法（定义、图象、不等式）解决复杂函数最值的局限，实现了从“定性描述”到“定量计算”的跨越。 从知识关联看，本节连接了函数性质、导数运算、不等式证明、实际优化问题，是数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的综合载体。从应用价值看，最值问题广泛存在于经济决策、工程设计、科学研究等领域，学好本节能帮助学生掌握“问题转化—模型构建—导数求解—结果回归”的解决路径，为后续高等数学学习奠定基础。 教学目标 1. 理解函数极值与最值的区别与联系，明确闭区间上连续函数的最值存在性条件。 2. 能熟练掌握利用导数求闭区间上函数最值的步骤，准确求解不含参数及含参数的函数最值问题。 3. 会将简单函数不等式证明转化为函数最值问题，体会转化与化归思想的应用。 4. 能解决“由函数最值求参数”的逆向问题，提升分类讨论与逻辑推理能力。 5. 感受导数在实际优化问题中的应用，增强数学建模意识与应用能力。 目标解析 1. 能通过图象直观区分极值与最值，准确说出二者的3点核心区别与2点关键联系，能判断给定函数在某区间上是否存在最值。 2. 给定具体函数（含多项式函数、指数对数函数组合），能按“求极值—比端点值—定最值”的步骤求解，正确率达85%以上；面对含参数函数，能按参数范围分类讨论最值。 3. 对于形如“”的不等式，能转化为“”，通过求的最小值证明不等式。 4. 已知函数在某区间的最值，能建立关于参数的方程或不等式，求解参数的值或取值范围，能规范书写分类讨论过程。 5. 能将简单实际问题（如利润最大化、用料最省）转化为函数最值模型，初步尝试用导数求解。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立完成极值与最值的对比表格，准确判断具体函数的最值存在情况。 2. 能顺利求解闭区间上不含参数的函数最值，对含参数问题能明确分类标准并完成讨论。 3. 能独立证明2道以上简单函数不等式，清晰阐述转化思路。 4. 能解决“由最值求参数”的基础题和中档题，分类讨论不重不漏。 5. 能理解实际优化问题的建模过程，写出函数关系式并尝试求最值。 学生已具备的基础：① 掌握函数单调性、最值的定义，会用定义、图象、均值不等式求简单函数最值；② 理解导数的概念、几何意义及运算法则，能利用导数判断函数单调性、求函数极值。 存在的认知难点：① 混淆极值（局部性质）与最值（整体性质），难以理解“极值未必是最值，最值未必是极值”；② 对“闭区间上连续函数必有最值”的结论缺乏直观认知；③ 含参数函数的最值讨论中，难以确定分类标准；④ 不等式证明转化为最值问题时，不会构造目标函数。 学生的学习优势：通过前一课时对极值的学习，已初步建立“导数符号→单调性→极值”的思维链条，对导数作为工具的应用有一定感知，具备合作探究和动手演算的能力，对实际应用问题和参数问题的挑战性有探究兴趣。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：1. 利用导数求闭区间上函数的最值；2. 利用函数最值证明简单不等式；3. 含参数函数的最值讨论。教学难点：1. 函数极值与最值的区别与联系；2. 含参数函数最值的分类讨论标准确立；3. “由函数最值求参数”的逆向思维应用。 知识点一　连续函数的最大值和最小值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． [注意]　(1)给定的区间必须是闭区间，如果y＝f(x)的图象在开区间上连续不断，不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝，x∈(0，2)，y＝f(x)的图象在(0，2)内连续不断，但y＝f(x)没有最大值，也没有最小值． (2)在闭区间上的每一点必须连续，如果y＝f(x)在闭区间上有间断点，也不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝作图可知f(x)无最小值． 知识点二　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [拓展]　(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值不在端点处取得时必定是极值． 课堂引入1：校园超市的利润优化问题 引入过程 同学们，咱们学校的校园超市最近进了一批新款文具礼盒，超市老板想确定礼盒的定价，让利润达到最高。已知礼盒的成本是每个30元，经过市场调研发现，当定价为x元（30<x≤80）时，每天的销售量y（个）与定价x的函数关系为y = -2x + 200，而每天的利润L(x)等于单个利润乘以销售量，也就是L(x)=(x-30)(-2x+200)。 大家先试着算一算，定价多少的时候，利润能达到最大呢？用我们之前学过的配方法、均值不等式能轻松解决吗？如果把这个函数换成更复杂的三次函数，比如L(x)= -0.1x³ + 5x² - 20x - 100（30<x≤80），又该怎么找到利润的最大值呢？这节课我们就来学习用导数这个“利器”，解决函数的最大（小）值问题，帮超市老板找到最优定价。 【设计意图】 从学生熟悉的校园超市定价问题入手，贴近生活实际，让学生感受到数学与日常场景的紧密联系。先给出二次函数形式的利润问题，学生可尝试用旧方法解决，再抛出三次函数的复杂情况，制造认知冲突，让学生意识到旧方法的局限性，从而产生学习用导数求最值的迫切需求，自然引出本节课的核心内容，同时也能让学生初步体会“实际问题→函数模型→导数求解”的解题思路。 课堂引入2：快递打包的材料最省问题 引入过程 双十一刚过，快递站每天要打包大量包裹，快递员叔叔遇到了一个难题：要制作一个容积为64立方分米的长方体快递纸箱，纸箱的底面是正方形，制作纸箱的侧面材料每平方分米成本是1元，底面材料每平方分米成本是2元。怎样设计纸箱的边长和高，才能让制作纸箱的总成本最低呢？ 我们设底面正方形的边长为x分米，纸箱的高为h分米，根据容积公式能得到x²h=64，总成本C(x)=2×x²×2 + 4×xh×1 = 4x² + 4x×(64/x²)=4x² + 256/x（x>0）。这个函数的最小值该怎么求呢？我们之前学过的极值知识能不能派上用场？极值和最值又有什么关系呢？带着这些问题，今天我们就一起来探究利用导数求函数最大（小）值的方法，帮快递员叔叔解决这个材料最省的问题。 【设计意图】 以快递打包这一生活中随处可见的场景为切入点，激发学生的学习兴趣。通过构建总成本的函数模型，让学生发现这是一个求函数最小值的问题，而该函数形式无法用传统方法轻松求解，进而引导学生思考极值与最值的关联，以及导数在求解最值中的作用，顺利开启本节课对函数最值的探究，同时渗透数学建模的核心素养，让学生体会数学在实际生活中的应用价值。 先复习旧知，再结合实际情境导入： 回顾提问：上节课我们学习了函数极值的概念和求解步骤，谁能说说极值的定义和求法？函数的最值又是如何定义的？（学生回答后，教师总结核心要点） 情境设问：某工厂生产一批产品，总成本（为产量，单位：千件），销售收入，如何确定产量，使利润最大？这个问题本质是求函数的最值，复杂函数的最值如何用更高效的方法求解？今天我们就来深入学习“利用导数求函数的最大（小）值”。 【设计意图】通过复习旧知搭建知识桥梁，用实际利润最大化问题激发学习需求，让学生体会“导数工具”的实用性，明确本节课的学习目标。 问题1：上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？ 【师生活动】学生回顾反思，交流，深化对函数极值的求解步骤，教师在学生的基础上板书基本步骤过程. 1.函数极值的概念： 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧右侧,就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系. 2.一般地，可按如下方法求函数的极值： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求解方程的根； 第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间，并列成表格； 第四步：由在方程的根的左右的符号来判断在这个根处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 问题2：函数的最大(小)值是如何定义的? 【师生活动】教师提出问题后，请学生回答问题，然后教师在学生回答的基础上总结： 设函数的定义域为,如果存在实数满足： (1)对于任意,都有(); (2)存在,使得.那么,我们称是函数的最大(小)值. 追问：你学过哪些求函数最大(小)值的方法? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结.要提醒学生注意：最大(小)值是函数的一个整体性质，通俗地讲就是“所有函数值中最大的那一个”,所以需要同时满足两个条件.求函数最大(小)值的方法： (1)利用函数单调性的定义；(2)利用函数图象；(3)利用均值不等式. 【设计意图】复习函数最大(小)值的概念以及最大(小)值的求法、极值的求解方法，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生的直观想象素养和数学抽象素养. 问题3：函数的极大(小)值与函数最大(小)值有何区别与联系? 【师生活动】学生思考、回答，教师在学生回答的基础上总结，并归纳函数的极大(小)值与函数最大(小)值的区别与联系： 极值 最值 区别 函数的极大(小)值是函数的一个局部性质 函数的最大(小)值是函数的一个整体性质 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可以有多个 最大(小)值最多只有一个 极值只能在区间内取得 最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得 联系 有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值； 极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值 追问1：图5.3-13是函数的图象，你能找出它的极大值、极小值吗? 【师生活动】教师提问学生，在学生回答的基础上，总结由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值. 追问2：你能找出图5.3-13中函数在区间上的最小值、最大值吗? 【师生活动】教师提问学生，学生回答：由图5.3-13可以看出，函数在区间上的最小值是,最大值是. 问题4：在图5.3-14与5.3-15中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗?如果有，最大值和最小值分别是什么? 【师生活动】学生结合图象回答问题. 追问1：任意一个函数都有最大(小)值吗? 【师生活动】学生观察、思考、回答，师生一起总结：不是任何函数都有最大(小)值，如既没有最大值，也没有最小值. 追问2：什么样的函数一定有最大值和最小值? 【师生活动】学生思考、回答，师生一起总结，得出结论： 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 追问3：如何利用极值求出函数的最大值与最小值? 【师生活动】由学生回答：只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 【设计意图】通过特例，体现函数极值与最大(小)值之间的联系与区别，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生数形结合、数学抽象的核心素养. 例1.求函数在上的最大值与最小值． 解：因为，所以 ． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表5.3-3所示． 表5.3-3 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 因此，在上的最大值是，最小值是， 上述结论可以从函数在上的图象（图5.3-16）得到直观验证． 【师生活动】教师启发学生思考，并示范解答上述问题，在此基础上，引导学生归纳利用导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤. 方法规律： 导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何利用极值求函数的最大(小)值，再让学生熟悉用导数求函数最大(小)值的步骤，发展数学运算素养. 变式训练： 1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， 【详解】（1），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极大值为，极小值为，而，， 综上，在上最大值为，最小值为. （2），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； ∴在上的极大值为，而，， ∴在上最大值为，最小值为. 例2.设，对于函数，，两个函数的图象如图所示.我们发现，当时，，怎么证明这个结论呢？ 证明：我们将不等式①转化为： 设，那么令解得 当变化时，，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 所以，当时，取得最小值.所以，即. 所以，当时，. 方法规律： 对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用. (1)证明的一般方法是证明(利用单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式对恒成立，即等价于函数为增函数. 变式训练： 2.证明不等式：， 【答案】证明见解析 【详解】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 随堂演练 1．求下列函数的最值： （1）； （2）； 【解析】（1）的定义域为，．令，解得：，列表得： x － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的的最小值为，最大值为； （2）的定义域为，．令，解得：，列表得： x ＋ 0 － 单调递增 单调递减 所以函数的的最大值为22，最小值为． 2．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，， 【解析】等价于，∴可令，则，在上，在上单调递增，即， 在上恒成立，则，得证． 1.（25-26高三上·山东·月考）已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先根据最值求导得出，，即可求参得出解析式进而代入求值即可. 【详解】当时，函数取得最小值1， 则，，，， 所以，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时取到最小值，符合题意， 则，，所以. 故选：D. 2.（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、根据极值点求参数 【分析】求导，，再根据导数的图象逐项判断. 【详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误； 对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 3.（2025高三·全国·专题练习）当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 4.（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数最值求参数、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 5.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 6.（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【知识点】函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 7.（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 8.（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 9.（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果. 【详解】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 10.（24-25高二下·山东泰安·月考）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，，求导，令，然后求，分和两种情况讨论，得到的单调性，即可求解. 【详解】设，， 所以， 令，， 所以， 当，即时，对任意，恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当，即时，存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，， 所以，所以在上单调递减， 所以当时，，与题意矛盾，舍去， 所以实数的取值范围是. 故选：. 1.（2025·陕西榆林·一模）已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性来分析的关系，进而确定的取值范围. 【详解】解法1：由题意可知， 设，则函数在上单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 解法2：由题意可知， 设，则函数在单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 2.（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 3.（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 4.（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点 C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则 【答案】BCD 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】对于A：求导，按极值点的定义验证即可；对于B：代入，因式分解，可求出零点，即得答案；对于C： 值域为 等价于 的值域包含所有正实数，求导，求出的值域即可；对于D：的定义域为，需要求 ，求导，求出即可. 【详解】， 当 时， 且 （因 )，故 ； 当 时， 且 ，故 . 故不是的极值点，故选项 A 错误； 代入 得： ， 的判别式为 ，无实根. 因此，即仅有一个实数零点，故选项 B 正确； 值域为 等价于 的值域包含所有正实数， 得 或 ， 在上恒小于等于0，故在上单调递减； 在上恒大于0，故在上单调递增； 又连续且当时，， 所以的值域为， 依题意只需满足，又， 所以，故选项 C 正确； 的定义域为，需要求对所有实数 有 ，即 ， 由选项 C 的计算， 时，，即 ， 结合 ，得 .故选项 D 正确. 故选：BCD 知识清单： 1. 极值与最值的核心区别（局部vs整体、取值位置、个数）与联系； 2. 利用导数求闭区间上函数最值的“五步流程”（求导→找极值点→算极值→算端点值→比大小）； 3. 函数不等式证明的“构造函数→求最值”转化思路； 4. 含参数函数最值的分类讨论标准与“由最值求参数”的逆向求解方法。 方法归纳： 1. 数形结合思想（借助函数图象理解极值与最值的关系）； 2. 转化与化归思想（不等式证明→最值问题、实际问题→函数模型）； 3. 分类讨论思想（含参数问题中按极值点位置、参数范围划分讨论区间）； 4. 程序化思想（求最值的固定步骤，普适性强）。 常见误区： 1. 混淆极值与最值，误将极大值当作最大值； 2. 求最值时忽略区间端点的函数值； 3. 含参数讨论时分类标准不清晰，出现重漏； 4. 构造函数证明不等式时，未验证最值的取值情况； 5. 实际问题中未考虑函数定义域的实际意义。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数最大(小)值的步骤吗? (2)函数的极值与最大(小)值的区别和联系是什么? (3)证明函数不等式的一般思路与步骤是什么? 【师生活动】教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳. 【设计意图】(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数最大(小)值的步骤，提高解题技能；(2)通过图象的直观，理解函数的极值与最大(小)值的区别和联系，体现数形结合思想的运用；(3)对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用. 巩固作业：教科书第98页习题5.3第6题 教科书第99页习题5.3第12题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 教科书第98页习题5.3第6题 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， （3）， （4）， 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为. 【详解】（1），则， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极小值为，而，， ∴在上最大值为，最小值为. （2），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极大值为，极小值为，而，， 综上，在上最大值为，最小值为. （3），则时有， ∴时，，单调递减； ∴在上最大值为，最小值为. （4），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； ∴在上的极大值为，而，， ∴在上最大值为，最小值为. 教科书第99页习题5.3第12题 12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： （1），； （2），． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意，等价于，令， ∴，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴，得证. （2）由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 令，则，而， ∴时，，单调递增， 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 综上，，上恒成立. 板书设计 ( 5.3.2 函数的 最值 （第2课时） 1．函数最值 与极值的关系 例1. 函数最值 的求解 例 2. 不等式的 证明 ) 本节课以“导数工具”为核心，围绕“极值→最值→应用”的主线展开，通过复习旧知、情境导入、探究讨论、例题示范、变式训练等环节，层层递进落实教学目标。教学中需关注： · 极值与最值的区别与联系是难点，需多借助图象直观演示，让学生从“形”上感知，再结合定义从“数”上理解； · 含参数问题的分类讨论是学生的薄弱点，应引导学生先确定分类的核心依据（如极值点是否在区间内、对称轴位置等），再逐步展开讨论，避免混乱； · 函数不等式证明的关键是“构造函数”，需通过例题示范让学生掌握构造技巧，同时强调“验证最值”的重要性； · 课堂应给学生足够的演算时间，及时反馈纠错，关注学生数学运算和逻辑推理素养的实时提升； · 可适当增加实际优化问题的比重，让学生更深刻体会数学的应用价值，增强建模意识。 后续教学可补充更多与生活、科技相关的实际案例（如容积最大化、行程最短路程等），进一步强化“实际问题→函数模型→导数求解→结果回归”的解题链条，提升学生的综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $