5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时）（教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时） ——导数的综合应用 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中5.3节的第3课时，核心内容为导数的综合应用。具体包括：利用导数系统研究函数的单调性、极值、最值、值域、零点等性质并绘制大致图象；借助导数解决实际生活中的优化问题（如利润最大化、容积最大化等）；突破导数相关的综合题型（恒成立问题、函数零点/方程根的个数问题），归纳各类问题的解题步骤与思想方法。 内容解析 本节是导数知识的核心应用环节，承接导数的概念、几何意义及运算法则，是对函数性质研究的“精准化升级”——此前通过基本初等函数图象与性质只能解决简单函数问题，而导数为复杂函数（初等函数四则运算或复合形式）的性质研究提供了通用工具。 从知识关联看，本节串联了函数与方程、不等式、数形结合等核心数学模块，是高中数学中“工具性知识”的典型代表，同时为后续高等数学的微积分学习奠定基础。从素养导向看，通过“实际问题→数学建模→导数求解→回归实际”的完整流程，以及函数性质研究中的逻辑推理，能有效提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模核心素养。 其核心思想是转化与化归：将函数性质问题转化为导数正负判断问题，将实际优化问题转化为函数最值问题，将恒成立/零点问题转化为函数极值与最值的比较问题。 教学目标 1. 能熟练运用导数工具研究复杂函数的单调性、极值、最值、零点等性质，掌握函数大致图象的绘制步骤，深化数形结合思想。 2. 能将实际优化问题转化为函数模型，通过导数求最值并回归实际，理解导数在解决实际问题中的普适性与可操作性。 3. 能突破导数综合题型（恒成立、零点个数问题），掌握分类讨论、参数分离等核心方法，提升逻辑推理与综合解题能力。 4. 体会导数“精准刻画变化规律”的内在力量，感受数学与生活、生产的紧密联系，增强用数学解决实际问题的意识。 目标解析 1. 能熟练运用导数工具研究复杂函数的单调性、极值、最值、零点等性质，掌握函数大致图象的绘制步骤，深化数形结合思想。 2. 能将实际优化问题转化为函数模型，通过导数求最值并回归实际，理解导数在解决实际问题中的普适性与可操作性。 3. 能突破导数综合题型（恒成立、零点个数问题），掌握分类讨论、参数分离等核心方法，提升逻辑推理与综合解题能力。 4. 体会导数“精准刻画变化规律”的内在力量，感受数学与生活、生产的紧密联系，增强用数学解决实际问题的意识。 达成上述目标的标志是： 1.给定复杂函数（如含指数、对数的函数），能独立完成“求定义域→求导找零点→判断单调区间→求极值→绘图象→分析零点/值域”的完整流程。 2.面对实际问题（如饮料瓶利润、长方体容积），能建立正确的函数关系式，明确自变量取值范围，通过导数求出最值并给出符合实际的结论。 3.能解决含参数的恒成立问题（分离参数或直接求含参函数最值），能根据函数极值与趋势判断零点个数，准确分类讨论参数范围。 4.能举例说明导数在生活中的应用，在解题中主动运用数形结合、转化与化归思想，清晰阐述解题思路。 学生已具备的基础：①掌握导数的概念、几何意义及基本运算法则；②理解函数的单调性、最值定义，能通过定义或图象解决简单函数的性质问题；③具备初步的数学建模意识，能将简单实际问题转化为数学问题。 学生面临的难点：①对“导数正负与函数单调性的关系” “极值与最值的区别（局部与整体）”的深层理解不足，易混淆概念；②复杂函数的导数运算及零点求解容易出错，图象绘制缺乏系统性；③实际问题建模时，难以准确提炼变量关系或忽略自变量的实际约束；④含参数的综合题型（恒成立、零点个数）中，分类讨论的逻辑不清晰，参数范围界定不准确。 基于以上分析，本节课的教学重点：利用导数研究函数的综合性质（单调性、极值、零点）及实际优化问题的求解；教学难点：导数综合题型（恒成立、零点个数）的突破与实际问题的数学建模。 知识点一　画函数f(x)大致图象的步骤 (1)求出函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出f(x)的大致图象． 知识点二　利用导数解决实际问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)； (2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，进而确定函数的极值点； (3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值； (4)根据实际问题的意义给出答案． 课堂引入1：饮料瓶的“大小奥秘” 引入过程 同学们，在超市购物时，大家肯定发现过一个有趣的现象：同样是500毫升的饮料，小瓶装的单价往往比大瓶装贵不少；而商家生产的饮料瓶，也不是越大越好。比如某品牌球形饮料瓶，制作成本和半径的平方成正比，每毫升饮料的利润却是固定的。如果你是饮料公司的产品设计师，要设计半径多大的瓶子，才能让每瓶饮料的利润最高？要是瓶子半径过大或过小，利润又会发生怎样的变化？这背后藏着导数的奥秘，今天我们就通过导数的综合应用，来解开饮料瓶大小与利润的“数学密码”。 【设计意图】 1. 贴近生活实际：以学生熟悉的超市饮料瓶定价、生产利润问题为切入点，将抽象的导数知识与日常生活中的经济现象结合，降低学生对“导数综合应用”的陌生感。 1. 统领整节课内容：该问题既涉及利用导数研究函数的单调性、极值与最值（求利润最大时的瓶子半径），又关联实际优化问题的建模与求解，还能延伸到函数零点（利润为零时的半径值）、恒成立（利润不低于某一值时半径的范围）等本节课核心内容，起到提纲挈领的作用。 1. 激发求知欲：通过“设计师视角”的角色代入，让学生产生解决实际问题的兴趣，同时“瓶子半径为何影响利润”的悬念，能促使学生主动探索导数在其中的工具性作用。 课堂引入2：快递包装盒的“最优设计” 引入过程 双十一刚过，大家都收到了不少快递吧？快递盒的设计可是个大学问！某快递公司要制作一款长方体快递盒，用总长为14.8米的钢条做框架，要求底面一边比另一边长0.5米。如果想让盒子的容积最大，能装下更多物品，这个盒子的高应该设计成多少呢？要是容积太小，装不下东西；要是设计不合理，又会浪费钢条材料。其实这个问题，我们可以用导数来精准解决。今天，我们就一起学习如何用导数的综合应用，解决生活中这类“最优设计”的问题，还会探索导数在函数性质研究、综合题型中的更多用法。 【设计意图】 1. 贴近生活实际：选取学生熟知的快递盒设计问题，结合网购的生活场景，让学生感受到数学知识在实际生产中的应用价值，体现导数的实用性。 1. 统领整节课内容：快递盒容积最大化问题，需要经历“建立函数模型→求导找极值→比较端点值求最值”的完整流程，这是本节课实际优化问题的核心解题步骤；同时，还可进一步拓展到函数单调性（容积随高的变化趋势）、零点（容积为零时的高）、恒成立（容积不小于某一值时高的范围）等内容，覆盖本节课的主要知识点。 1. 激发求知欲：以“快递盒设计”这一生活化的实际问题引发学生思考，让学生好奇“如何用数学方法找到最优设计”，进而主动参与到导数工具的学习与应用中，同时培养学生的数学建模意识。 问题1：我们在本单元“导数在研究函数中的应用”中，利用导数研究了函数的哪些性质?回顾以往通过代数运算所研究的函数性质，你觉得还有哪些函数性质可以利用导数进行研究? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结： 利用导数研究了函数的单调性、函数的极值与函数的最大(小)值，还可以研究函数的零点等，在得出函数性质后，可以进一步研究函数的图象，还可以利用导数研究函数的实际应用问题等. 【设计意图】复习前面学习的用导数研究函数的单调性、极值、最大(小)值等基本内容，为研究导数的综合应用作铺垫. 下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题 例3.给出函数． （1）判断函数的单调性，并求出的极值； （2）画出函数的大致图象； （3）求出方程的解的个数． 解：（1）函数的定义域为． ． 令，解得． 、的变化情况如表5.3-4所示． 表5.3-4 － 0 ＋ 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值. 思考：为了画出函数的大致图象，我们应该哪些方面入手？ 1）函数的图象经过哪些特殊点? 【师生活动】学生独立思考、交流后，教师启发学生：函数图象经过的特殊点，就是我们已经研究过的极值点(包括最大(小)值点)、函数的零点等. 2）结合函数与方程、不等式的知识，你能发现的图象有哪些变化趋势? 【师生活动】结合函数与方程，得出函数的零点；结合不等式，得出函数值的正负；再研究当时和当时，函数值的趋势. （2）令，解得． 当时，；当时，． 所以，的图象经过特殊点，，． 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而； 当时，，． 根据以上信息，我们画出的大致图象如图5.3-17所示． （3）方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数． 由（1）及图5.3-17可知，当时，有最小值． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，解为0个；当或时，解为1个；当时，解为2个． 规律方法： 1）利用导数研究函数性质的步骤： (1)求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围； (2)用导数研究函数的单调性、极值； (3)利用函数的单调性、极值等性质画出的大致图象； (4)利用函数的图象进一步研究函数的最大(小)值、值域、零点等性质. 2）函数的性质决定了函数的图象，函数的图象直观地反映了函数的性质.通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象． （1）求出函数的定义域； （2）求导数及函数的零点； （3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； （4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出的大致图象． 变式训练： 1．画出函数的草图． 【详解】解：， 由，得或，由，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 故在时取得极小值，在时取得极大值， 又时，，时，，时，， 故的草图为：    2．已知,画出函数的大致图象； 【详解】解：定义域为，，令得，， 列表如下； 0 ↘ ↘ ↗ 由上表知，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，取极小值为，无极大值； 当时，，，故； 当时，，，故； 据此信息及（1）可得的图象，如图所示； （3）令得， 则函数的零点的个数即为函数的图象与直线的交点个数， 结合图象及（2）可知，当或，即或时， 函数有1个零点； 当，即时，函数有2个零点 当，即时，函数有0个零点. 下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用． 问题2：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 例4：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm． （1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 ． 所以 ． 令，解得． 当时，；当时，． 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低． （1）半径为6cm时，利润最大． （2）半径为2cm时，利润最小．这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值． 思考：1）当时，是减函数，时，是增函数，你能解释它的实际意义吗？ 当时，半径越大，利润越低.，时，饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 2）通过此问题的解决，请回答开始时的问题． 通过此问题的解决，本例一开始时的问题可以解释为： (1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 (2)由例题的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大. 方法规律： 1. 利用导数解决实际问题中最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式； (2)求函数的导数，解方程； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情况并下结论. 2. 几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验. 3. 经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 关于利润问题常用的两个定量关系：(1)利润=收入−成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数. 变式训练： 1.用总长为14.8 m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面短边长为x m，则另一边长为， 容器的高为. 由，得. ∴容器的体积为. ∵，令，得. ∴ (不合题意，舍去). ∴当时，取得极大值，也是最大值， 此时,高为 ∴容器高为m时容器的体积最大，最大容积为. 1.（25-26高三上·重庆南岸·月考）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】根据函数在处有极小值，得，解出关于的方程，再验证是否为极小值即可． 【详解】， ， 因为函数在处有极小值， ， 即， 解得或， 当时,由知， 当时，，故函数单调递增； 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增； 所以在处取得极小值,符合题意. 当时,由知, 当时，，故函数单调递增； 当时，，故函数单调递减； 当时，，故函数单调递增； 所以在处取得极大值，不符合题意. 综上，的值为3. 故选：. 2.（24-25高二下·湖北荆州·期末）函数在处取得极大值，则的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先根据题意先求出，再对函数进行求导求其单调增区间. 【详解】因为， ， 因为在处取得极大值， 所以，解得， 故，定义域为， ， 当时，，单调递增 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故的单调增区间为. 故选：B. 3.（25-26高三上·江苏宿迁·月考）设函数，为给定开区间，则“”是“在上存在两个极值点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断命题的必要不充分条件 【分析】求得，得出函数的单调性和极值点，根据函数有两个极值点的条件，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或，在上单调递增； 令，解得，在上单调递减， 所以当时，取得极大值，当时，取得极小值， 要使得函数在上存在两个极值点，则是区间的真子集， 此时满足，即必要性成立； 反之，例如时，满足，此时函数在没有极值点，所以充分性不成立， 所以“”是“在上存在两个极值点”的必要不充分条件. 故选：B. 4.（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 5.（24-25高三下·上海·月考）已知函数的定义域为，集合存在，使得．若使得，则（   ） A．可能为奇函数 B．可能在处取最小值 C．可能是增函数 D．可能在处取极小值 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、函数极值的辨析、利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据函数新定义结合函数奇偶性及单调性判断A，C，应用最值及极小值的定义判断B，D. 【详解】对于A：若函数为奇函数，由题意存在，使得， 则，所以，所以，而，不合题意，A选项错误； 对于B：令满足题意，此时在处取最小值，B选项正确； 对于C： 函数，如果是增函数，则当时，存在，使得得出，不合题意，C选项错误； 对于D：由题意，若在处取极小值，则在附近左侧， 若存在使得，则至少存在一个，但是，不合题意， 若不存在使得，即，与题意不符，所以D选项错误. 故选：B. 6.（25-26高三上·北京·月考）设函数，则满足（   ） A．在区间内均有零点 B．在区间内有零点，在区间内无零点 C．在区间内无零点，在区间内有零点 D．在区间内均无零点 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、零点存在性定理的应用、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】利用求导判断函数的单调性，求得函数的极大值，计算得到，，，利用函数的单调性和零点存在定理即可判断函数的零点情况. 【详解】的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得极大值为， 又，，， 即在区间上恒有， 又由零点存在定理，使得， 即函数在区间内无零点，在区间内有零点. 故选：C. 7.（25-26高三上·山东德州·期中）若函数的零点有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质、求已知函数的极值 【分析】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值、由函数图像的交点个数得的取值范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图像与的图像有两个交点， 函数的定义域为， ， 令，解得：， 当时，，得在区间上单调递减； 当时，，得在区间上单调递增； 故当时，取得极小值，极小值为， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于； 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图像： 由图像可得当时，交点为个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图像与的图像有两个交点， 则由图可知：实数的取值范围为. 故选：B 8．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点、简单复合函数的导数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 9.（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在区间上的最小值小于，则正数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】由题可得，然后分类讨论利用导函数与函数单调性的关系结合条件即得. 【详解】由得， 当时，在上单调递增，的最小值为，不符题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，解得. 故选：A. 10.（25-26高三上·辽宁大连·期中）若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数 【分析】首先求导得到，根据题意得到方程有一个根大于0，一个根小于等于0，即可得到答案. 【详解】，定义域为，， 因为函数有且只有一个极值点， 所以方程有一个根大于0，一个根小于等于0， 所以. 故选：C 1.（25-26高三上·江西南昌·开学考试），已知，若“”的充要条件是“”，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】利用导数分析函数的单调性，得到其极值，再对分类讨论即可. 【详解】由题意，. 由或；由. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 由函数的极大值，极小值. 当，解得或， 当时，，而，没有最小值，不成立， 当时，，则， 所以的最小值为. 故选：B 2.（25-26高三上·江苏常州·期中）若实数，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较对数式的大小、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先利用对数函数的单调性，比较与的大小，再构造函数，，分析其单调性和最值，比较与的大小. 【详解】因为，， 由，所以，即. 设函数，，则，. 由；由. 即在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 所以，即. 综上，. 故选：A 3.（25-26高三上·广东·月考）已知函数，，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出的取值范围 【详解】当时 此时，，因为恒成立，所以恒成立，符合题意； 当时 令，要使恒成立，即恒成立， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要使恒成立，则，即，因为，两边同时除以得，即，解得； 当时 因为恒成立，所以在上单调递增， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 但是当足够小时，趋近于，为负数且绝对值较大，此时可能小于，不满足恒成立，所以不符合题意. 综合以上三种情况，的取值范围是. 故选：B. 4.（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，则（   ） A．在处取得极小值 B．有三个零点 C．在区间上的值域为 D．函数图象的对称中心为点 【答案】ABD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值 【分析】求得，得出函数的单调性，结合极值点的定义，可得判定A正确；根据，以及函数值的变化，可判定B正确；利用函数的单调性求得函数的值域，可判定C错误；令，得到为奇函数，进而可判定D正确. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以在处，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，由A中，函数极小值为，极大值为， 且当时，，当时，， 所以函数在区间各有一个零点， 所以函数有三个零点，所以B正确； 对于C，由A知，函数在单调递增，在单调递减，在单调递增， 且，，且，， 所以函数在区间上的值域为，所以C错误； 对于D，令，可得， 由，所以为奇函数， 所以的对称中心为，则函数的对称中心为，所以D正确. 故选：ABD. 1. 知识清单 (1) 导数的综合应用：①函数性质研究（单调性、极值、最值、图象、零点/方程根）；②实际优化问题（利润、容积、成本等）；③综合题型（恒成立、零点个数）。 (2) 核心公式：导数运算法则、函数极值与导数的关系、最值求解步骤。 2. 方法归纳 (1) 思想方法：数形结合（函数图象辅助解题）、转化与化归（实际问题→函数模型，恒成立→最值问题）、分类讨论（含参数题型）、程序化思想（函数性质研究步骤）。 (2) 解题模板：①函数性质研究：定域→求导→判单调→求极值→绘图象→解问题；②实际优化问题：建模→求导→找极值→比端点→回归实际；③恒成立问题：分离参数→求最值；④零点问题：析极值→看趋势→定个数。 3. 常见误区 (1) 混淆极值与最值（极值是局部性质，最值是整体性质，需结合区间端点判断）； (2) 实际问题建模忽略定义域（如瓶子半径、钢条长度的实际约束）； (3) 恒成立问题漏判“等号是否可取”（如需确认能否等于）； (4) 零点个数判断遗漏函数趋势（如时的函数值变化）。 巩固作业：教科书第98页习题5.3第7、8、9题 教科书第99页习题5.3第10、11题 【【设计意图】】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 教科书第98页习题5.3第7题 7.将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 【答案】两段铁丝的长度均为. 【详解】设一个正方形的边长为，则另一个正方形的边长为， ∴两个正方形的面积和，则， ∴时， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； ∴当时，的极小值也是最小值为，此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 教科书第98页习题5.3第8题 8.将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 【答案】（1）（2） 【小问1详解】 由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； 【小问2详解】 ，解得：， 当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 教科书第98页习题5.3第9题 9.用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，…，．证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小． 【答案】证明见解析； 【详解】 解：，则当时，， ，，函数单减；，，函数单增； 方差在时，取得最小值. 教科书第99页习题5.3第10题 10.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 【答案】当q=84时，利润最大 【解析】 【详解】解：先求出利润L关于q的函数关系式. ,显然当q=84时，利润最大 教科书第99页习题5.3第11题 11.已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？ 【答案】 【详解】解：设销售价为x，可获得的利润为y， 则， 求导得，令， 解得，由知，， 当时，，函数单增； 当时，，函数单减； 因此是函数的极大值点，也是最大值点； 故当销售价为元/件时，可获得最大利润. 本节课聚焦导数的综合应用，通过“函数性质→实际问题→综合题型”的梯度设计，落实“知识应用—能力提升—素养培育”的目标。教学中需关注：①学生对程序化步骤的掌握（如函数图象绘制、实际问题建模），可通过分步板书、变式训练强化；②含参数题型的分类讨论逻辑，需引导学生明确分类标准（如导数零点的大小关系、参数的取值范围）；③核心素养的落地，通过实际问题让学生感受数学的实用性，通过逻辑推理培养严谨思维。 后续教学可补充更多高考真题变式，强化学生的解题熟练度；针对学生易错点（如极值与最值混淆、定义域遗漏），设计专项纠错练习；鼓励学生自主探究生活中的导数应用问题，提升数学建模能力。 学科网（北京）股份有限公司 $