5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）（导学案) 数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦“函数的最大（小）值”，通过校园超市利润优化、快递打包材料最省等实际情境导入，复习函数极值的概念与求法，搭建旧知到新知的学习支架，引导学生理解极值与最值的区别联系及闭区间最值存在条件。 以实际问题驱动学习，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过“求导—找极值点—算极值—比大小”的程序化步骤及分类讨论、转化化归等数学思维，结合变式训练与高考真题，提升逻辑推理与数学建模能力，助力自主学习与教师教学评估。

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时） ——函数的最大（小）值 导学案 1. 理解函数极值与最值的区别与联系，明确闭区间上连续函数的最值存在性条件。 2. 能熟练掌握利用导数求闭区间上函数最值的步骤，准确求解不含参数及含参数的函数最值问题。 3. 会将简单函数不等式证明转化为函数最值问题，体会转化与化归思想的应用。 4. 能解决“由函数最值求参数”的逆向问题，提升分类讨论与逻辑推理能力。 5. 感受导数在实际优化问题中的应用，增强数学建模意识与应用能力。 教学重点： 1. 利用导数求闭区间上函数的最值； 2. 利用函数最值证明简单不等式； 3. 含参数函数的最值讨论。 教学难点： 1. 函数极值与最值的区别与联系； 2. 含参数函数最值的分类讨论标准确立； 3. “由函数最值求参数”的逆向思维应用。 知识点一　连续函数的最大值和最小值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． [注意]　(1)给定的区间必须是闭区间，如果y＝f(x)的图象在开区间上连续不断，不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝，x∈(0，2)，y＝f(x)的图象在(0，2)内连续不断，但y＝f(x)没有最大值，也没有最小值． (2)在闭区间上的每一点必须连续，如果y＝f(x)在闭区间上有间断点，也不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝作图可知f(x)无最小值． 知识点二　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． [拓展]　(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值不在端点处取得时必定是极值． 课堂引入1：校园超市的利润优化问题 同学们，咱们学校的校园超市最近进了一批新款文具礼盒，超市老板想确定礼盒的定价，让利润达到最高。已知礼盒的成本是每个30元，经过市场调研发现，当定价为x元（30<x≤80）时，每天的销售量y（个）与定价x的函数关系为y = -2x + 200，而每天的利润L(x)等于单个利润乘以销售量，也就是L(x)=(x-30)(-2x+200)。 大家先试着算一算，定价多少的时候，利润能达到最大呢？用我们之前学过的配方法、均值不等式能轻松解决吗？如果把这个函数换成更复杂的三次函数，比如L(x)= -0.1x³ + 5x² - 20x - 100（30<x≤80），又该怎么找到利润的最大值呢？这节课我们就来学习用导数这个“利器”，解决函数的最大（小）值问题，帮超市老板找到最优定价。 【设计意图】 从学生熟悉的校园超市定价问题入手，贴近生活实际，让学生感受到数学与日常场景的紧密联系。先给出二次函数形式的利润问题，学生可尝试用旧方法解决，再抛出三次函数的复杂情况，制造认知冲突，让学生意识到旧方法的局限性，从而产生学习用导数求最值的迫切需求，自然引出本节课的核心内容，同时也能让学生初步体会“实际问题→函数模型→导数求解”的解题思路。 课堂引入2：快递打包的材料最省问题 引入过程 双十一刚过，快递站每天要打包大量包裹，快递员叔叔遇到了一个难题：要制作一个容积为64立方分米的长方体快递纸箱，纸箱的底面是正方形，制作纸箱的侧面材料每平方分米成本是1元，底面材料每平方分米成本是2元。怎样设计纸箱的边长和高，才能让制作纸箱的总成本最低呢？ 我们设底面正方形的边长为x分米，纸箱的高为h分米，根据容积公式能得到x²h=64，总成本C(x)=2×x²×2 + 4×xh×1 = 4x² + 4x×(64/x²)=4x² + 256/x（x>0）。这个函数的最小值该怎么求呢？我们之前学过的极值知识能不能派上用场？极值和最值又有什么关系呢？带着这些问题，今天我们就一起来探究利用导数求函数最大（小）值的方法，帮快递员叔叔解决这个材料最省的问题。 【设计意图】 以快递打包这一生活中随处可见的场景为切入点，激发学生的学习兴趣。通过构建总成本的函数模型，让学生发现这是一个求函数最小值的问题，而该函数形式无法用传统方法轻松求解，进而引导学生思考极值与最值的关联，以及导数在求解最值中的作用，顺利开启本节课对函数最值的探究，同时渗透数学建模的核心素养，让学生体会数学在实际生活中的应用价值。 先复习旧知，再结合实际情境导入： · 回顾提问：上节课我们学习了函数极值的概念和求解步骤，谁能说说极值的定义和求法？函数的最值又是如何定义的？（学生回答后，教师总结核心要点） · 情境设问：某工厂生产一批产品，总成本（为产量，单位：千件），销售收入，如何确定产量，使利润最大？这个问题本质是求函数的最值，复杂函数的最值如何用更高效的方法求解？今天我们就来深入学习“利用导数求函数的最大（小）值”。 【设计意图】通过复习旧知搭建知识桥梁，用实际利润最大化问题激发学习需求，让学生体会“导数工具”的实用性，明确本节课的学习目标。 问题1：上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？ 【师生活动】学生回顾反思，交流，深化对函数极值的求解步骤，教师在学生的基础上板书基本步骤过程. 1.函数极值的概念： 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧右侧,就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系. 2.一般地，可按如下方法求函数的极值： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求解方程的根； 第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间，并列成表格； 第四步：由在方程的根的左右的符号来判断在这个根处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 问题2：函数的最大(小)值是如何定义的? 【师生活动】教师提出问题后，请学生回答问题，然后教师在学生回答的基础上总结： 设函数的定义域为,如果存在实数满足： (1)对于任意,都有(); (2)存在,使得.那么,我们称是函数的最大(小)值. 追问：你学过哪些求函数最大(小)值的方法? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结.要提醒学生注意：最大(小)值是函数的一个整体性质，通俗地讲就是“所有函数值中最大的那一个”,所以需要同时满足两个条件.求函数最大(小)值的方法： (1)利用函数单调性的定义；(2)利用函数图象；(3)利用均值不等式. 【设计意图】复习函数最大(小)值的概念以及最大(小)值的求法、极值的求解方法，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生的直观想象素养和数学抽象素养. 问题3：函数的极大(小)值与函数最大(小)值有何区别与联系? 【师生活动】学生思考、回答，教师在学生回答的基础上总结，并归纳函数的极大(小)值与函数最大(小)值的区别与联系： 极值 最值 区别 函数的极大(小)值是函数的一个局部性质 函数的最大(小)值是函数的一个整体性质 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可以有多个 最大(小)值最多只有一个 极值只能在区间内取得 最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得 联系 有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值； 极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值 追问1：图5.3-13是函数的图象，你能找出它的极大值、极小值吗? 【师生活动】教师提问学生，在学生回答的基础上，总结由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值. 追问2：你能找出图5.3-13中函数在区间上的最小值、最大值吗? 【师生活动】教师提问学生，学生回答：由图5.3-13可以看出，函数在区间上的最小值是,最大值是. 问题4：在图5.3-14与5.3-15中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗?如果有，最大值和最小值分别是什么? 【师生活动】学生结合图象回答问题. 追问1：任意一个函数都有最大(小)值吗? 【师生活动】学生观察、思考、回答，师生一起总结：不是任何函数都有最大(小)值，如既没有最大值，也没有最小值. 追问2：什么样的函数一定有最大值和最小值? 【师生活动】学生思考、回答，师生一起总结，得出结论： 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 追问3：如何利用极值求出函数的最大值与最小值? 【师生活动】由学生回答：只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 【设计意图】通过特例，体现函数极值与最大(小)值之间的联系与区别，为后面学习利用极值求函数最大(小)值作铺垫，发展学生数形结合、数学抽象的核心素养. 例1.求函数在上的最大值与最小值． 解：因为，所以 ． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表5.3-3所示． 表5.3-3 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 因此，在上的最大值是，最小值是， 上述结论可以从函数在上的图象（图5.3-16）得到直观验证． 【师生活动】教师启发学生思考，并示范解答上述问题，在此基础上，引导学生归纳利用导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤. 方法规律： 导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【设计意图】教师通过例题解答向学生示范如何利用极值求函数的最大(小)值，再让学生熟悉用导数求函数最大(小)值的步骤，发展数学运算素养. 变式训练： 1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， 【详解】（1），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴在上的极大值为，极小值为，而，， 综上，在上最大值为，最小值为. （2），则时有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减； ∴在上的极大值为，而，， ∴在上最大值为，最小值为. 例2.设，对于函数，，两个函数的图象如图所示.我们发现，当时，，怎么证明这个结论呢？ 证明：我们将不等式①转化为： 设，那么令解得 当变化时，，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 所以，当时，取得最小值.所以，即. 所以，当时，. 方法规律： 对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用. (1)证明的一般方法是证明(利用单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式对恒成立，即等价于函数为增函数. 变式训练： 2.证明不等式：， 【答案】证明见解析 【详解】由题设，要证只需证即可， 令，则，而， ∴当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故，即在上恒成立， ∴，得证. 随堂演练 1．求下列函数的最值： （1）； （2）； 【解析】（1）的定义域为，．令，解得：，列表得： x － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的的最小值为，最大值为； （2）的定义域为，．令，解得：，列表得： x ＋ 0 － 单调递增 单调递减 所以函数的的最大值为22，最小值为． 2．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，， 【解析】等价于，∴可令，则，在上，在上单调递增，即， 在上恒成立，则，得证．    1.（25-26高三上·山东·月考）已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先根据最值求导得出，，即可求参得出解析式进而代入求值即可. 【详解】当时，函数取得最小值1， 则，，，， 所以，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时取到最小值，符合题意， 则，，所以. 故选：D. 2.（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、根据极值点求参数 【分析】求导，，再根据导数的图象逐项判断. 【详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误； 对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 3.（2025高三·全国·专题练习）当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、根据极值点求参数 【分析】根据题意利用导数先求，再验证在处取得最大值，进而求解. 【详解】由题得，故，， 则，故，即， 因此，且， 当时，单调递增；当时，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，满足题设，所以． 故选：D. 4.（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数最值求参数、求已知函数的极值、已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 5.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 【答案】C 【知识点】求函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【分析】利用导数图象，分析函数的单调性，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，由图象可知，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以为函数的一个极小值点，不一定为函数的一个零点，A错； 对于B选项，当时，，则函数在区间上单调递增，B错； 对于C选项，当时，，当时，， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，为函数的一个极大值点，C对； 对于D选项，因为函数在区间上单调递增，故不是函数的最大值，D错. 故选：C. 6.（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【知识点】函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 7.（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 8.（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】先求出导函数，再根据极值点列式计算结合零点存在定理判断A，代入计算判断B，C，结合近似值判断D. 【详解】因为函数，所以单调递增，, 选项A：计算 而在时趋向，故A错. 选项B：因为 得B错. 选项C：计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 9.（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意可知导函数在上有正有负，通过讨论的取值范围结合二阶求导分析计算可得结果. 【详解】∵，∴. ∵，∴. 设，则. 当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 当时，，当时，， ∵函数在上不单调， ∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 10.（24-25高二下·山东泰安·月考）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】设，，求导，令，然后求，分和两种情况讨论，得到的单调性，即可求解. 【详解】设，， 所以， 令，， 所以， 当，即时，对任意，恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当，即时，存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，， 所以，所以在上单调递减， 所以当时，，与题意矛盾，舍去， 所以实数的取值范围是. 故选：. 1.（2025·陕西榆林·一模）已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】通过构造函数，利用函数的单调性来分析的关系，进而确定的取值范围. 【详解】解法1：由题意可知， 设，则函数在上单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 解法2：由题意可知， 设，则函数在单调递增． 又，所以，． 设，则，令得． 当时，；当时，． 因此在单调递减，在单调递增， 故，因此， 故选：B． 2.（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】易得，对任意的恒成立，构造函数，利用导数求出函数的最小值，进而可得出答案. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以， 则已知可化为不等式对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 因为函数在都是增函数， 所以函数在是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在，使得， 即，所以，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 因为对任意的恒成立， 所以恒成立， 因为函数在都是减函数， 所以函数在是减函数， 又当时，， 所以由，得， 令，则， 所以在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B. 3.（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】构造函数和，求导，结合零点存在性定理可得为方程的两个实数根，所以，，．进而建立间的等量关系，化简，构造函数，求导即可求解.或者将不等式变形为，作出函数，，的大致图象，根据图象可得为方程的两个根，即可根据解法一求解. 【详解】由题意得的定义域为．设， 则，令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以在内有两个零点，设为， 则当时，，当时，． 设， 由，得当时，， 当时，，则为方程的两个实数根， 所以，，． 又，，所以，， 所以， 即，则，所以． 易知，，故， 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，故的最小值为． 解法二 由，，， 得． 在同一平面直角坐标系中作出函数，，的大致图象， 数形结合可知，若， 则与，的图象的两个交点重合， 如图，设这两个交点分别为，则为方程的两个实数根， 所以，，． 易知为方程的两个实数根，所以，， 以下同解法一． 故选：C. 4.（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点 C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则 【答案】BCD 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】对于A：求导，按极值点的定义验证即可；对于B：代入，因式分解，可求出零点，即得答案；对于C： 值域为 等价于 的值域包含所有正实数，求导，求出的值域即可；对于D：的定义域为，需要求 ，求导，求出即可. 【详解】， 当 时， 且 （因 )，故 ； 当 时， 且 ，故 . 故不是的极值点，故选项 A 错误； 代入 得： ， 的判别式为 ，无实根. 因此，即仅有一个实数零点，故选项 B 正确； 值域为 等价于 的值域包含所有正实数， 得 或 ， 在上恒小于等于0，故在上单调递减； 在上恒大于0，故在上单调递增； 又连续且当时，， 所以的值域为， 依题意只需满足，又， 所以，故选项 C 正确； 的定义域为，需要求对所有实数 有 ，即 ， 由选项 C 的计算， 时，，即 ， 结合 ，得 .故选项 D 正确. 故选：BCD 知识清单： 1. 极值与最值的核心区别（局部vs整体、取值位置、个数）与联系； 2. 利用导数求闭区间上函数最值的“五步流程”（求导→找极值点→算极值→算端点值→比大小）； 3. 函数不等式证明的“构造函数→求最值”转化思路； 4. 含参数函数最值的分类讨论标准与“由最值求参数”的逆向求解方法。 方法归纳： 1. 数形结合思想（借助函数图象理解极值与最值的关系）； 2. 转化与化归思想（不等式证明→最值问题、实际问题→函数模型）； 3. 分类讨论思想（含参数问题中按极值点位置、参数范围划分讨论区间）； 4. 程序化思想（求最值的固定步骤，普适性强）。 常见误区： 1. 混淆极值与最值，误将极大值当作最大值； 2. 求最值时忽略区间端点的函数值； 3. 含参数讨论时分类标准不清晰，出现重漏； 4. 构造函数证明不等式时，未验证最值的取值情况； 5. 实际问题中未考虑函数定义域的实际意义。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数最大(小)值的步骤吗? (2)函数的极值与最大(小)值的区别和联系是什么? (3)证明函数不等式的一般思路与步骤是什么? 【师生活动】教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳. 【设计意图】(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数最大(小)值的步骤，提高解题技能；(2)通过图象的直观，理解函数的极值与最大(小)值的区别和联系，体现数形结合思想的运用；(3)对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用. 巩固作业：教科书第98页习题5.3第6题 教科书第99页习题5.3第12题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第2课时） ——函数的最大（小）值 导学案 1. 理解函数极值与最值的区别与联系，明确闭区间上连续函数的最值存在性条件。 2. 能熟练掌握利用导数求闭区间上函数最值的步骤，准确求解不含参数及含参数的函数最值问题。 3. 会将简单函数不等式证明转化为函数最值问题，体会转化与化归思想的应用。 4. 能解决“由函数最值求参数”的逆向问题，提升分类讨论与逻辑推理能力。 5. 感受导数在实际优化问题中的应用，增强数学建模意识与应用能力。 教学重点： 1. 利用导数求闭区间上函数的最值； 2. 利用函数最值证明简单不等式； 3. 含参数函数的最值讨论。 教学难点： 1. 函数极值与最值的区别与联系； 2. 含参数函数最值的分类讨论标准确立； 3. “由函数最值求参数”的逆向思维应用。 知识点一　连续函数的最大值和最小值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有 和 ． [注意]　(1)给定的区间必须是闭区间，如果y＝f(x)的图象在开区间上连续不断，不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝，x∈(0，2)，y＝f(x)的图象在(0，2)内连续不断，但y＝f(x)没有最大值，也没有最小值． (2)在闭区间上的每一点必须连续，如果y＝f(x)在闭区间上有间断点，也不能保证y＝f(x)有最大值或最小值． 例如：函数f(x)＝作图可知f(x)无最小值． 知识点二　求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是 ，最小的一个是 ． [拓展]　(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值． (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个． (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值不在端点处取得时必定是极值． 课堂引入1：校园超市的利润优化问题 引入过程 同学们，咱们学校的校园超市最近进了一批新款文具礼盒，超市老板想确定礼盒的定价，让利润达到最高。已知礼盒的成本是每个30元，经过市场调研发现，当定价为x元（30<x≤80）时，每天的销售量y（个）与定价x的函数关系为y = -2x + 200，而每天的利润L(x)等于单个利润乘以销售量，也就是L(x)=(x-30)(-2x+200)。 大家先试着算一算，定价多少的时候，利润能达到最大呢？用我们之前学过的配方法、均值不等式能轻松解决吗？如果把这个函数换成更复杂的三次函数，比如L(x)= -0.1x³ + 5x² - 20x - 100（30<x≤80），又该怎么找到利润的最大值呢？这节课我们就来学习用导数这个“利器”，解决函数的最大（小）值问题，帮超市老板找到最优定价。 课堂引入2：快递打包的材料最省问题 引入过程 双十一刚过，快递站每天要打包大量包裹，快递员叔叔遇到了一个难题：要制作一个容积为64立方分米的长方体快递纸箱，纸箱的底面是正方形，制作纸箱的侧面材料每平方分米成本是1元，底面材料每平方分米成本是2元。怎样设计纸箱的边长和高，才能让制作纸箱的总成本最低呢？ 我们设底面正方形的边长为x分米，纸箱的高为h分米，根据容积公式能得到x²h=64，总成本C(x)=2×x²×2 + 4×xh×1 = 4x² + 4x×(64/x²)=4x² + 256/x（x>0）。这个函数的最小值该怎么求呢？我们之前学过的极值知识能不能派上用场？极值和最值又有什么关系呢？带着这些问题，今天我们就一起来探究利用导数求函数最大（小）值的方法，帮快递员叔叔解决这个材料最省的问题。 先复习旧知，再结合实际情境导入： 回顾提问：上节课我们学习了函数极值的概念和求解步骤，谁能说说极值的定义和求法？函数的最值又是如何定义的？（学生回答后，教师总结核心要点） 情境设问：某工厂生产一批产品，总成本（为产量，单位：千件），销售收入，如何确定产量，使利润最大？这个问题本质是求函数的最值，复杂函数的最值如何用更高效的方法求解？今天我们就来深入学习“利用导数求函数的最大（小）值”。 问题1：上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？ 1.函数极值的概念： 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧右侧,就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系. 2.一般地，可按如下方法求函数的极值： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求解方程的根； 第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间，并列成表格； 第四步：由在方程的根的左右的符号来判断在这个根处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 问题2：函数的最大(小)值是如何定义的? 追问：你学过哪些求函数最大(小)值的方法? 【师生活动】教师提出问题后，让学生思考回答，然后教师在学生回答的基础上总结.要提醒学生注意：最大(小)值是函数的一个整体性质，通俗地讲就是“所有函数值中最大的那一个”,所以需要同时满足两个条件.求函数最大(小)值的方法： (1)利用函数单调性的定义；(2)利用函数图象；(3)利用均值不等式. 问题3：函数的极大(小)值与函数最大(小)值有何区别与联系? 【师生活动】学生思考、回答，教师在学生回答的基础上总结，并归纳函数的极大(小)值与函数最大(小)值的区别与联系： 极值 最值 区别 函数的极大(小)值是函数的一个局部性质 函数的最大(小)值是函数的一个整体性质 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可以有多个 最大(小)值最多只有一个 极值只能在区间内取得 最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得 联系 有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值； 极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值 追问1：图5.3-13是函数的图象，你能找出它的极大值、极小值吗? 【师生活动】教师提问学生，在学生回答的基础上，总结由图象可知，是函数的极小值，是函数的极大值. 追问2：你能找出图5.3-13中函数在区间上的最小值、最大值吗? 【师生活动】教师提问学生，学生回答：由图5.3-13可以看出，函数在区间上的最小值是,最大值是. 问题4：在图5.3-14与5.3-15中，观察上的函数和的图象，它们在上有最大值、最小值吗?如果有，最大值和最小值分别是什么? 【师生活动】学生结合图象回答问题. 追问1：任意一个函数都有最大(小)值吗? 追问2：什么样的函数一定有最大值和最小值? 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 追问3：如何利用极值求出函数的最大值与最小值? 例1.求函数在上的最大值与最小值． 方法规律： 导数求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 变式训练： 1．求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： （1）， （2）， 例2.设，对于函数，，两个函数的图象如图所示.我们发现，当时，，怎么证明这个结论呢？ 变式训练： 2.证明不等式：， 随堂演练 1．求下列函数的最值： （1）； （2）； 2．利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：，，    1.（25-26高三上·山东·月考）已知当时，函数取得最小值1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 2.（24-25高二下·上海·月考）已知函数，其导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数取得最小值 B．若，则 C．函数只有一个极值点 D．当时函数取得极大值 3.（2025高三·全国·专题练习）当时，取得最大值，则（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.（24-25高二下·广东广州·期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A．为函数的一个零点 B．函数在区间上单调递减 C．为函数的一个极大值点 D．是函数的最大值 6.（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 7.（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 8.（24-25高二下·江苏南京·期中）已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 9.（24-25高二下·重庆·期中）若函数在上不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10.（24-25高二下·山东泰安·月考）设函数，若当时恒成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 1.（2025·陕西榆林·一模）已知，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖北·二模）已知，函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，则（    ） A．为的极值点 B．当时，有且仅有一个零点 C．若的值域为，则 D．若的定义域为，则 知识清单： 1. 极值与最值的核心区别（局部vs整体、取值位置、个数）与联系； 2. 利用导数求闭区间上函数最值的“五步流程”（求导→找极值点→算极值→算端点值→比大小）； 3. 函数不等式证明的“构造函数→求最值”转化思路； 4. 含参数函数最值的分类讨论标准与“由最值求参数”的逆向求解方法。 方法归纳： 1. 数形结合思想（借助函数图象理解极值与最值的关系）； 2. 转化与化归思想（不等式证明→最值问题、实际问题→函数模型）； 3. 分类讨论思想（含参数问题中按极值点位置、参数范围划分讨论区间）； 4. 程序化思想（求最值的固定步骤，普适性强）。 常见误区： 1. 混淆极值与最值，误将极大值当作最大值； 2. 求最值时忽略区间端点的函数值； 3. 含参数讨论时分类标准不清晰，出现重漏； 4. 构造函数证明不等式时，未验证最值的取值情况； 5. 实际问题中未考虑函数定义域的实际意义。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)对一个具体函数,你能说出用导数求函数最大(小)值的步骤吗? (2)函数的极值与最大(小)值的区别和联系是什么? (3)证明函数不等式的一般思路与步骤是什么? 【师生活动】教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后让学生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳. 【设计意图】(1)通过回顾，进一步明确利用导数求函数最大(小)值的步骤，提高解题技能；(2)通过图象的直观，理解函数的极值与最大(小)值的区别和联系，体现数形结合思想的运用；(3)对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现转化与化归思想的运用. 巩固作业：教科书第98页习题5.3第6题 教科书第99页习题5.3第12题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $