5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第1课时） （教学设计) 数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦函数极值的概念、判定条件及求解步骤，通过过山车轨道、气温变化曲线等生活实例导入，衔接导数与单调性知识，搭建“实例感知—概念抽象—法则探究—应用拓展”的学习支架。 亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过极值与最值辨析、导数零点条件探究发展逻辑推理，结合导函数图象强化直观想象，例题与变式训练提升运算能力，助力教师高效教学，促进学生数学核心素养全面发展。

第五章一元函数的导数及其应用 5.3导数在研究函数中的应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第1课时） ——函数的极值 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019选择性必修第二册第五章“一元函数的导数及其应用”中的5.3.2节第1课时，核心内容包括：函数极值的概念（极大值、极小值、极值点）；函数取得极值的必要条件与充分条件；利用导数求可导函数极值的一般步骤；极值相关的综合应用（图象特征分析、含参数函数极值、由极值求参数）。 内容解析 本节是导数在函数研究中的核心应用之一，承接前期导数的概念、几何意义及运算法则，是对函数单调性研究的延伸与深化。其核心价值在于通过导数“精准刻画”函数的局部变化趋势，将函数极值问题转化为导数符号变化的判断问题，体现“数与形结合” “特殊与一般” “转化与化归”的数学思想。 从知识关联看，函数极值是连接单调性与最值的关键桥梁，不仅是高中数学中解决复杂函数性质、不等式证明、实际优化问题的基础，也是后续高等数学微积分学习的重要铺垫。从素养培养看，本节通过“实例感知—概念抽象—法则探究—应用拓展”的流程，能有效提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养。 教学目标 1. 借助几何直观和实际实例，理解函数极值（极大值、极小值）与极值点的定义，能清晰区分极值与最值的局部性和整体性差异。 2. 掌握可导函数取得极值的必要条件与充分条件，能准确判断导数值为0的点与极值点的关系。 3. 熟练掌握利用导数求可导函数极值的一般步骤，能求解不超过三次的多项式函数及简单复合函数的极值。 4. 能解决极值相关的综合问题（图象分析、含参数函数极值判断、由极值求参数范围），体会导数在函数研究中的工具性作用。 目标解析 1. 能通过函数图象和高台跳水实例，用自己的语言描述极值的本质特征，能举例说明极大值与极小值无必然大小关系。 2. 明确“导数为0是可导函数取极值的必要不充分条件”，能准确表述可导函数取极值的充分条件（导数为0且两侧符号异号）。 3. 给定函数（含多项式、简单分式函数），能按“定定义域—求导—找导数零点—判符号变化—求极值”的步骤规范求解，结果准确。 4. 能根据导函数图象判断原函数的极值点类型，能对含参数函数的极值点个数进行分类讨论，能根据极值条件求参数的值或范围。 达成上述目标的标志是： 能独立完成基础函数的极值求解，能解决含参数的简单极值问题，能准确辨析极值相关的易混概念（如极值点与导数零点、极大值与最大值）。 学生已具备的基础：前期已学习函数的单调性、最值定义，掌握了导数的概念、几何意义及基本运算法则，能利用导数判断函数的单调性，为本节学习奠定了知识基础。 学生面临的难点：1. 极值是函数的局部性质，与最值的整体性易混淆，理解“极大值不一定大于极小值”存在困难；2. 对“导数为0不是极值点的充分条件” “极值的必要条件与充分条件”的逻辑关系辨析不清；3. 含参数函数的极值讨论中，分类标准的确定（如二次导数的判别式、根的大小关系）容易出错；4. 导数符号变化的表格分析方法使用不规范。 基于以上分析，确定本节课的：教学重点：函数极值的概念，可导函数取得极值的充分条件与必要条件，利用导数求极值的步骤。教学难点：极值与最值的区别，极值必要条件与充分条件的逻辑辨析，含参数函数极值的分类讨论。 知识点一　函数极大值、极小值的定义 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [注意]　极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下四点： (1)极值是一个局部概念．由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域上最大或最小． (2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域上的极大值或极小值可以不止一个． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1)． (4)连续函数f(x)在某区间上有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地，当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间上的极大值点与极小值点是交替出现的． 知识点二　求函数极值的方法 一般地，可按如下方法求函数y＝f(x)的极值： 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． [拓展]　(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)＝0”的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同． (3)如果f′(x0)＝0，但在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点． 课堂引入1：过山车轨道的高低起伏分析 引入过程 教师展示过山车轨道的实景图片或短视频，引导学生观察：“同学们，大家都坐过过山车吧？过山车从出发开始，会爬上一个又一个的坡，也会冲下一个又一个的低谷。比如在轨道上的A点，过山车到达了一个小高峰，这个高峰虽然不是整个轨道的最高点，但却是它附近一段轨道的最高点；而在B点，过山车降到了一个小低谷，这个低谷也不是整个轨道的最低点，只是附近一段的最低点。” 接着提问：“如果我们把过山车的轨道看作是一个函数的图象，轨道的高度是因变量，轨道上的水平位置是自变量，那这个‘小高峰’和‘小低谷’在函数中应该如何定义呢？它们和函数整体的最高点、最低点又有什么不同？为什么过山车在到达‘小高峰’前是向上冲，到达后就向下滑了？这背后又和我们学过的导数有什么关系呢？’’ 【设计意图】 1. 贴近生活，激发兴趣：过山车是学生熟悉且感兴趣的娱乐项目，以其轨道起伏为切入点，能迅速吸引学生的注意力，让抽象的函数极值概念与生活场景建立联系，降低学生对新知识的陌生感。 1. 铺垫核心概念：通过“小高峰” “小低谷”与“整个轨道最高/最低点”的对比，提前渗透极值的局部性特征，为后续理解极值与最值的区别埋下伏笔；同时通过过山车速度变化（向上冲、向下滑）的提问，自然关联到导数的符号与函数单调性的关系，为探究极值的导数判定条件做好铺垫。 1. 引发认知冲突：通过一系列层层递进的问题，让学生产生“想知道如何用数学语言描述这些现象”的求知欲，顺利引出本节课关于函数极值的定义、判定与求解的核心内容。 课堂引入2：气温变化的局部最值探究 引入过程 教师展示某城市一天24小时的气温变化曲线图（横坐标为时间，纵坐标为气温），向学生提问：“同学们，这是咱们城市昨天的气温变化曲线，大家仔细看，在早上8点的时候，气温达到了15℃，在它前后各1小时的气温分别是12℃和13℃；而在下午14点，气温达到了32℃，前后各1小时的气温是30℃和29℃；到了凌晨2点，气温降到了5℃，前后各1小时的气温是7℃和6℃。” 随后继续追问：“那早上8点的15℃、下午14点的32℃、凌晨2点的5℃，在气温变化中分别有什么特点？下午14点的32℃是这一天的最高气温，那凌晨2点的5℃是这一天的最低气温吗？如果不是，它又该如何定义？我们能不能用之前学过的导数知识，来解释气温在这些点前后的变化趋势呢？” 【设计意图】 1. 生活实用性强：气温变化是学生日常生活中能直观感知的现象，以气温曲线为载体引入极值概念，让学生感受到数学知识在分析生活现象中的实际作用，体现数学的应用性。 1. 循序渐进引导思考：从具体的气温数值对比入手，让学生先从直观上认识到“局部范围内的最高/最低”与“整体范围内的最高/最低”的差异，逐步过渡到对极值概念的抽象理解；同时结合导数与函数单调性的关系提问，引导学生用已学知识探究新问题，符合“温故知新”的认知规律。 1. 紧扣教学目标：通过对气温变化点的分析，直接指向本节课的核心内容——函数极值的定义、极值与最值的区别以及利用导数研究极值的方法，让学生明确本节课的学习方向，激发其探索如何用导数工具解决这类问题的欲望。 探究点1：函数极值的概念抽象 横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中. 在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.群山中的最高处是所有山峰的最高者的顶部，山谷中的最低处是所有谷底的最低者的底部. 观察函数的图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方.如果有，尝试用数学语言描述. 师生活动：直观感知群山的连绵起伏过程中的山峰与山谷,引导学生类比群山的起伏，尝试用数学语言描述函数中的“起起伏伏”. 从图中可以看出，函数在这三处对应的函数值，都是其附近的函数值中的最大者；在这两处对应的函数值，都是其附近的函数值中的最小者. 【设计意图】：通过群山山峰与山谷的图片，激发学生学习的兴趣，引入新知。 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减．如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ 问题1：观察图5.3-9，我们发现，当时，高台跳水运动员距水面的高度最大．那么，函数在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变换规律？ 师生活动：教师提出问题后，学生交流、讨论并回答问题，教师归纳描述. 当时，运动员距水面的高度最大.为了让学生从图象上直观地看到附近导数值的符号变化，教学时采用信息技术工具，放大函数在这点附近的图象(如图5.3-10):作出函数图象在左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从左侧移动至右侧时，切线斜率的符号由正变到,再由变到负. 结合上述过程，可以直观看到： 1）； 2）在附近，当时，函数单调递增，； 当时，函数单调递减，． 这就是说，在附近，函数值先增（当时，）后减（当时，）．这样，当在附近从小到大经过时，先正后负，且连续变化，于是有． 【设计意图】：通过学生熟悉的高台跳水问题的具体函数图象，让学生直观感受函数最高点及两侧导数的正负，为归纳函数的极值的定义作铺垫. 问题2：对于一般的函数，是否也有同样的性质呢? 如图5.3-11，函数在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？在这些点的导数值是多少？在这些点附近，的导数的正负性有什么规律？ 师生活动：学生独立思考后进行小组交流并回答问题，教师在学生回答的基础上归纳出极值的定义： 以两点为例，可以发现，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧， 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧． 函数极值的概念： 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧右侧,就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【设计意图】：温故知新，提出问题，通过特例，引导学生体会导数与函数极值之间的关系，探究如何运用导数研究函数的极值，让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生数学抽象、直观想象等核心素养. 探究点2：函数取得极值的条件辨析 问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 师生活动：教师启发学生思考、交流，在此基础上归纳：导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数,我们有.虽然,但由于无论,还是,恒有,即函数在上是增函数，所以0不是函数的极值点. 追问1：导数值为0的点是函数的极值点的什么条件？ 师生活动：学生思考后回答，教师归纳： 一般地，函数在一点处的导数值为0是可导函数在这点取极值的必要条件，而非充分条件. 追问2：函数取得极值的充分条件是什么? 师生活动：教师启发学生思考，引导学生归纳： 可导函数在处取极大(小)值的充分条件是： (1); (2)在附近的左侧(),在右侧(). 【设计意图】：对函数取得极值的充分条件和必要条件深入研究，厘清逻辑关系，发展学生的逻辑推理素养. 追问3：函数的极大值一定大于极小值吗?函数的极大值与极小值是否有大小关系? 师生活动：教师启发学生思考，并结合教材P92页图5.3-13说明； 进一步举具体函数的实例加以印证. 例如函数：，借助信息技术画出函数的图象，发现函数在点处的极大值小于处的极小值(如图所示). 结论：函数的极值是函数的局部性质，函数的极大值与极小值没有大小关系. 【设计意图】：从特殊实例出发，得到一般结论——函数的极大值与极小值之间没有大小关系，体现特殊到一般的思想、数形结合思想，发展学生的直观想象素养. 例1.求函数的极值． 解：因为，所以 ． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表5.3-2所示． 表5.3-2 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 因此，当时，有极大值，并且极大值为． 当时，有极小值，并且极小值为． 函数的图象如图5.3-12所示． 师生活动：先由学生独立思考、作答，再进行展示，教师强调规范的解答过程，在此基础上，引导学生归纳利用导数求函数极值的步骤. 方法规律： 1）求函数的极值时，首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然。 2）一般地，可按如下方法求函数的极值： 第一步：确定函数的定义域； 第二步：求解方程的根； 第三步：用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间，并列成表格； 第四步：由在方程的根的左右的符号来判断在这个根处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 【设计意图】：教师通过例题解答给学生示范如何用导数求函数的单调区间，再让学生熟悉用导数求函数极值的步骤，发展数学运算素养. 变式训练： 求下列函数的极值： (1)；(2)；(3). 【详解】（1）.令，得或. 当x变化时，，的变化情况如表所示： x －1 3 ＋ 0 - 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值－6 递增 所以是函数得极大值点，极大值为，是函数得极小值点，极小值为. （2）函数的定义域为，，令，得. 当x变化时，，的变化情况如表所示： x 1 - 0 ＋ 递减 极小值3 递增 所以是函数的极小值点，极小值为3，无极大值点和极大值. （3）函数的定义域为, 令，即，解得或； 当变化时，和的变化情况如下表： 0 2 － 0 ＋ 0 － 单调递减 0 单调递增 单调递减 因此当时，取得极小值，且极小值为； 当时，取得极大值，且极大值为. 1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数，则的极值点为（    ） A． B．1 C．－1 D． 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值点、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性，进而得出极值点. 【详解】因为，所以． 令，得；令，得．所以在上单调递减，在上单调递增． 可知在处取得唯一极小值，所以的极值点为1． 故选：B. 2.（24-25高二下·海南·月考）已知函数的极小值点为，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【分析】根据极值的定义，结合导数的运算法则进行求解即可. 【详解】， 因为函数的极小值点为， 所以，或， 当时，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是函数的极大值点，不符合题意； 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以是极小值点，是极大值点， 故选：A 3.（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）函数的极小值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值点 【分析】由导数知识可判断单调性，据此可得极小值点. 【详解】由题，令， .得在上单调递增，在上单调递减. 则函数的极小值点为. 故选：B 4.（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 5.（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】C 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【分析】的变号零点个数即为所求. 【详解】由图可知，的图象有三个变号零点，1个不变号零点，所以极值点的个数为3. 故选：C. 6.（24-25高二下·四川成都·月考）已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C． D．可以同时小于0 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、利用导数研究函数的零点 【分析】根据的图象，得到的单调性，再逐一分析即可. 【详解】由题图知，在和上单调递减，在和上单调递增， 所以有2个极小值点和1个极大值点，故A错误，B错误， 又因为有3个零点，则的极大值必大于等于0，故C正确， 若同时小于0，则，结合， 至多有2个零点，不符合题意，故D错误. 故选：C. 7.（25-26高三上·山东·月考）已知函数，则“”是“有极值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数极值的辨析 【分析】若函数有极值，则有变号零点，进而求的取值范围可得结果. 【详解】， 函数的图象关于直线对称， 则有极值的充要条件是，解得. 于是“”是“有极值”的充分不必要条件. 故选：A 8.（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【知识点】函数极值的辨析 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 9.（24-25高三上·广东潮州·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】利用导数，结合分类讨论研究函数的极值，即可求参数范围. 【详解】因为函数，（） 则，令得或， 当时，不在函数的定义域内，不符合条件； 当时， 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极小值，不符合； 若，在上，单调递增，不存在极值，不符合； 若，在，上，单调递增，在上，单调递减，此时为的极大值. 故选：B 10.（2024·江西新余·模拟预测）函数在上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数极值的辨析、函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【分析】利用排除法，先判断奇偶性，然后再利用导数判断其极值点即可得答案； 【详解】因为， 所以为偶函数，故排除B项； 由，得， 显然，在区间上，， 所以，在给定区间端点处函数切斜的斜率为0，排除A、C. 故选：D 1.（多选题）（25-26高二上·全国·期末）已知函数，则（    ） A．当时，函数单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，若，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图像与极值点的关系 【分析】因为，所以.当时，，即可判断选项A；当时，，此时单调递增，函数无极值，即可判断选项B；设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，代入并整理得.令，求导研究函数的单调性及极值，进一步判断函数的零点个数，即方程解的个数，即可判断选项C；当时，，因为，所以直线即为直线，过定点，且此点在曲线上，画出的大致图象与直线，求出函数图象的对称中心，根据对称性即可判断选项D. 【详解】因为，所以. 当时，，所以当时，单调递增.故选项A正确； 当时，令，则，所以当时，，所以单调递增，此时函数无极值. 故选项B不正确； 设过点的直线与曲线相切于点，则切线方程为，代入得，整理得.令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增.又，所以只有一个零点，即方程只有一个解，所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条. 故选项C正确； 当时，，因为，所以直线即为直线，即，所以直线过定点，且此点在曲线上，画出的大致图象（对求导，可得的单调区间和极值，进而可作出的大致图象）与直线，如图.    设函数图象的对称中心为（提示：任一三次函数的图象都有对称中心），则有，即，整理得，所以，解得，所以函数的图象关于点对称.设，则有，所以.故选项D正确. 故选：ACD. 2.（2025高三·全国·专题练习）已知函数在处取得极小值，是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】根据给定条件，利用导数确定的范围，再逐项分析判断. 【详解】对于A，函数，求导得，函数在R上单调递增， 由，，得，，，A错误； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，，，C正确： 对于D，由，得，则，D错误. 故选：C 3.（2025·重庆·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数极值的辨析、根据极值求参数 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，根据绝对值的性质， 当时，，此时； 当时，，此时. 所以. 对分段函数求导， 当时，，对其求导，可得； 当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近. 当时，，令，即，解得； 当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得. 所以实数的取值范围是. 故选：A. 4.（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】结合题意可设，，进而结合二次函数的性质以及极值点的定义求解即可. 【详解】由，则，，要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，则 因为，函数开口向上，且， 对于A，要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 对于B，要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 对于C，要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 对于D，要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 1. 知识清单 (1) 函数极值的概念：极大值、极小值、极值点的定义，极值的局部性特征； (2) 极值的条件：必要条件（可导函数极值点→导数为0）、充分条件（导数为0且两侧符号异号）； (3) 求极值的步骤：定定义域→求导→找零点→判符号→求极值； (4) 综合应用：图象特征分析、含参数极值讨论、由极值求参数。 2. 方法归纳 (1) 数形结合：借助函数图象与导函数图象理解极值特征； (2) 分类讨论：含参数问题按导函数零点分布分类； (3) 逻辑辨析：明确必要条件与充分条件的区别，避免概念混淆。 3. 常见误区 (1) 误将导数为0的点当作极值点； (2) 混淆极值与最值的局部性与整体性； (3) 含参数讨论时遗漏定义域限制或分类标准不清晰； (4) 求解后未验证导数符号变化，导致极值类型判断错误。 回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)我们是如何得到函数的极值定义的?如何理解函数的极值? (2)利用导数求函数的极值的一般步骤是什么? (3)函数取得极值的充分条件和必要条件分别是什么? 师生活动 教师用课件呈现上述问题，给学生思考的时间，然后由学生自主小结，再全班交流，让学 生给出答案、发表看法，教师在学生回答的基础上进行适当的归纳和完善. 【设计意图】 (1)是通过高台跳水的实例，得到一般函数极值的定义，极值是函数的局部性质；(2)是先 求导函数的零点，再检验零点两侧导数值的正负；(3)是从逻辑角度厘清函数取得极值的充分条件和必要 条件，提升学生的逻辑推理素养. 巩固作业：教科书第98页习题5.3第4、5题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 巩固作业答案： 教科书第98页习题5.3第4题 4. 导函数的图象如图所示，在标记的点中，在哪一点处 （1）导函数有极大值？ （2）导函数有极小值？ （3）函数有极大值？ （4）函数有极小值？ 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）； 【详解】（1）由图知，极大值点左右两侧的单调性是先增后减的点，即为极大值点； （2）由图知，极小值点左右两侧的单调性是先减后增的点，即，为极小值点； （3）由图知，，，函数单增；，，函数单减；，，函数单增； 则函数在处取极大值； （4）由（3）知，函数在处取极小值； 教科书第98页习题5.3第5题 5. 求下列函数的极值： （1） （2）； （3） （4） 【答案】（1）极小值，无极大值；（2）极大值，极小值；（3）极大值，极小值；（4）极小值，极大值. 【详解】（1），则， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴有极小值，无极大值. （2），则有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴极大值，极小值. （3），则有， ∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增； ∴极大值，极小值. （4），则有， ∴时，，单调递减；时，，单调递增； 时，，单调递减； ∴极小值，极大值. 本节教学的核心是突破“概念抽象”和“逻辑辨析”两大难点。通过生活实例和图象直观，学生能较好地理解极值的局部性特征，但在“必要条件与充分条件”的辨析上仍存在困难，需在后续练习中通过反例强化。含参数函数的极值讨论是学生的易错点，教学中应强调“分类标准的合理性”和“定义域的限制”，可通过小组合作探究的方式让学生自主梳理分类逻辑。 此外，教学中应注重信息技术的辅助作用，如利用几何画板动态展示函数图象与导数符号的关系，帮助学生直观感知极值形成的过程。后续教学可结合函数最值、不等式证明等内容，进一步强化极值的应用，形成知识体系。 板书设计 ( 5.3.2 函数的 极值与最大（ 小 ） 值 1．函数极值 的概念 例1. 函数极值 的求解 例 2. 函数 极值的 图象 问题 例3.含参数的 极值问题 ) 学科网（北京）股份有限公司 $