5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ）（题型专练）数学人教A版2019选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时 ） 题型一：极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 1.（25-26高二上·全国·单元测试）已知函数在处有极小值，则的值为（    ） A．1或3 B．2 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证可求得的值. 【详解】因为，所以． 因为函数在处有极小值， 所以，解得或． 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 所以在处取到极大值，不符合题意． 综上，的值为1． 故选：D 2.（25-26高二上·全国·单元测试）已知是函数的极值点，则（    ） A．－4 B．－2 C．4 D．2 【答案】C 【知识点】根据极值点求参数 【分析】由是函数的极值点可得，求得的值再检验即可. 【详解】由函数，可得， 由是函数的极值点可得， 解得，经检验符合题意，所以． 故选：C. 3.（2025高三·全国·专题练习）已知函数有三个极值点，，，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】对函数求导后，分离参数得，构造函数，对求导研究的单调性与极值，画出函数的图象与直线有三个交点，其横坐标由小到大分别为，，，然后根据题意结合图象即可求解. 【详解】因为，所以，且. 令，得.令，则，. 当或时，，在和上单调递减； 当时，，在上单调递增. 如图所示，函数的图象与直线有三个交点，其横坐标由小到大分别为，，，由，得. 不妨先假想极端情况，此时，解得，此时，. 当a减小时，与间的距离增大，故当且仅当时，，此时. 又，所以，将代入得，解得. 综上，的取值范围是. 故选：B. 4.（2025·四川巴中·模拟预测）已知有两个极值点，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【分析】根据题意，先求，则有两个不同的根，再将分离参数得到，可以找到相应的两个函数和，则这两个函数的图象有两个不同的交点，这两个交点的横坐标，再利用的增减性求出的最大值，利用图象得到的取值范围及的范围，再将代入中，得到的双变量的等式，通过换元，设，由得到，得到，从而得到，构造函数，利用的单调性求出的最大值，即得到的取值范围，再利用在上是增函数，得到的最大值，从而得到的取值范围. 【详解】，，有两个极值点，有两个不同的根，变形为， 设，，则两个函数和有两个不同的交点，，，解得，在上是增函数；解得，在上是减函数；在处取得最大值，的最大值为.当时，；当时，；当时，恒成立；当时，.两个函数和有两个不同的交点，；在直角坐标系中画出和的图象，    结合图象可知，这两个函数图象的交点的横坐标就是，又，则 ，，，，设，，，，，，，设，，设，，，，在上是减函数，， ，在上是减函数，，，在上是增函数； ，时取最大值，且的最大值为，综上可知. 故选：D 题型二：用导数判断或证明已知函数的单调性 1.（2025·湖北武汉·模拟预测）已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值点求参数 【分析】求导，并得到恒成立，再令，求出，分，和三种情况进行分析，得到时，满足0是的极小值点，求出的取值范围. 【详解】， 因为是函数的极小值点，所以恒成立， 令，则， ， 当时，，即在附近单调递增， 又，所以当时，在附近， 当时，在附近，满足0是的极小值点； 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减，又， 所以当时，在附近， 当时，在附近， 此时0是的极大值点，不符合题意． 综上所述：的取值范围为． 故选：D 2.（2025·浙江丽水·一模）若关于的方程恰有四个不同的实根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究方程的根、函数单调性、极值与最值的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，可得或，构造函数，则，结合导数可得函数性质，从而得到与的根的关系，即可得间关系，从而可得与间关系；再借助作差法，结合导数计算可得与关系，即可得解. 【详解】由，则或， 则或，令，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 又当时，，， 故当或时，仅有一根，当时，有两根， 又，则最多有两根， 由题意可得与共有四个不同根， 故，设两根分别为、，且， 则两根分别为、，则， 则有或， 若，则、、、， 若，则、、、， 故，， 由，则，即有，故D正确，C错误； ，， 则， 令，则， 则当时，，则在上单调递增， 由，则，即， 即，即有，故A、B错误. 故选：D. 3.（多选题）（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知函数的定义域为，导函数为，满足（为自然对数的底数），且0，则（    ） A． B．在处取得极小值 C．存在唯一的实数使得 D． 【答案】BCD 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，结合单调性可得，从而判断A；根据导数运算可设，由，从而可得的值，于是得函数的解析式，求导确定单调性得的极值点即可判断B；根据单调性结合函数确定的根是否唯一即可判断C；根据单调性确定函数值大小即可判断D. 【详解】设，则， 可得在区间上单调递减，在上单调递增， 故，即，得，故选项A不正确； 可设，可得，所以，所以， 所以，由可得，由可得， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故选项B正确； 又因为，可得函数大致图象如下： 结合图象知，存在唯一的实数使得，故C正确； 由于，而， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 4.（24-25高三上·江苏宿迁·月考）已知函数是奇函数，过点作函数的图象的切线，若，则直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值的辨析、求过一点的切线方程 【分析】首先根据函数为奇函数得到，的关系：，进一步得到在处的切线方程为，点一定不在上，一定为过的一条切线，再设切点坐标为，，得到切线方程，将代入，化简得到，，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除外，过点作的切线还有一条，得到答案. 【详解】因为函数为奇函数，且定义域为，所以对任意，恒有. 即， 所以， 所以. 因为，所以. 设，则. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为. 即恒成立，所以在上单调递增. 又，，所以在处的切线方程为. 点在直线上， 故上只有点满足. 又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线. 设切点为，，，则切线的斜率为， 故切线方程为：， 因为点在切线上，所以， 整理得：. 由，且，可得恒成立. 故，， 令，， 则， 令，则在上恒成立， 故在，上单调递增， 又，所以当时，；当时，. 又当时，；当时，， 故恒成立，所以，在，上单调递增. 再设，则， 当时，，所以在上单调递增，；所以当时，； 当时，，所以在上单调递增，所以； 所以当时，. 故，只有1个根. 即除外，过点作的切线有且只有1条. 所以点作的切线共有2条. 故选：C 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： （1）已知切点求斜率,即求该点处的导数； （2）已知斜率求切点，即解方程； （3）已知切线过某点(不是切点)求切点，设出切点利用求解. 题型三：利用导数研究函数的零点 1.（24-25高二下·河北石家庄·期中）已知函数的导函数的部分图象如图，则下列说法正确的为（   ） A． B． C．有三个零点 D．有三个极值点 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、利用导数研究函数的零点、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据导函数图象得到单调性和极值，进而推出极值点个数，比较函数值大小即可. 【详解】根据导函数图象知道： 正 0 非正 0 正 增 极大值 减 极小值 增 对于A，函数在上单调递减，所以，A正确； 对于B，函数在上单调递减，所以，B错误； 对于C，函数只知单调性、函数值情况不明确，不能确定零点个数，C错误； 对于D，函数有两个极值点，D错误. 故选：A． 2.（25-26高三上·河北保定·期中）已知，函数存在零点，则实数的最小整数值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】令，则可得方程有解，即有解，构造函数，结合导数讨论其单调性后运用零点存在性定理虚设零点即可解决问题. 【详解】由题意知，函数定义域为， 因为时，函数存在零点， 则有解， 令，则， 则上式转化为有解， 又因为，所以，令， 求导得，令， 所以在上单调递减， 又， ， 所以存在正实数，使得，即， 则函数在单调递增，单调递减， 所以. 所以，的最小整数值为5. 故选：C. 3.（25-26高三上·山东聊城·月考）已知函数，当时，函数极值点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数研究函数的零点 【分析】求出函数的导数，由，得，利用导数确定方程根的个数，进而求出极值点个数. 【详解】函数，求导得 ，由，得，令函数，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， ，函数的大致图象如图， 由，得，方程必有两个根，即函数必有两个零点， 当或时，，；当时，，， 因此函数恰有2个极值点，B正确. 故选：B 4.（24-25高二下·吉林延边·月考）已知函数，则下列错误的个数是（    ） ①只有1个极小值点 ②曲线在点处的切线斜率为9 ③当有3个零点时，m的取值范围为 ④当只有1个零点时，m的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数极值点的辨析、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】分类讨论去绝对值，得到的分段解析式，分段求导，可判断命题①②；把的零点问题转化成与的交点问题，令，画出图象可判断命题③④. 【详解】由得： 当 （即 或 )，； 当 （即 )，. 求导分析极值点： 当 ，设 ，则 ， 由，可得；由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当 时，， 则 ， 由，可得，由，可得； 所以在单调递减，在上单调递增； 所以在上有一个极小值； 因此极小值点有 和 .命题①错误； 当时，，，代入 得， 命题②正确. 令=0得，令， 画出的图象，如下图， 的零点问题等价于与的交点问题， 由图可知：有三个零点时，，命题③正确 只有1个零点时，命题④正确 故选：A 题型一：求已知函数的极值点 1.（24-25高二下·四川绵阳·期中）在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【知识点】求已知函数的极值点、等比中项的应用 【分析】根据函数的极值可得，是方程的两根，结合一元二次方程根与系数的关系得，结合等比数列的性质求解即可. 【详解】由题得， 因为，是函数的极值点，则，是方程的两根， 所以，从而可得， 又因为等比数列，可得，且，所以. 故选：B. 2.（25-26高三上·湖北·期中）已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值点、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】结合题意可设，，进而结合二次函数的性质以及极值点的定义求解即可. 【详解】由，则，，要使存在极值点，则一定有两个变号零点， 可设，则 因为，函数开口向上，且， 对于A，要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 对于B，要使在上存在极值点， 则，即， 而的取值不确定，则在上不一定存在极值点； 对于C，要使在上存在极值点， 则或， 即或，则， 所以在上一定存在极值点； 对于D，要使在上存在极值点， 则或， 即或，而的取值不确定， 所以在上不一定存在极值点. 综上所述，函数在一定存在极值点. 故选：C. 3.(多选题）（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，则（   ） A．函数有两个极值点 B．是函数的极小值点 C．函数的单调递减区间为 D．曲线的对称中心为 【答案】AD 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数求函数的单调区间（不含参）、判断或证明函数的对称性 【分析】利用导数研究的单调性、极值点可判断ABC；利用函数的对称性可判断D． 【详解】，则， 令，得或；令，得或；令，得， 所以的增区间为，减区间为，所以C错误； 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，故A正确，B错误； 因为 ，所以曲线的对称中心为，故D正确. 故选：AD 4.（多选题）（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知函数，则下列正确的选项有（    ） A．是函数的极小值点 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D．关于的不等式的解集为 【答案】BC 【知识点】求已知函数的极值点、已知函数最值求参数、判断或证明函数的对称性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数与函数极值点的关系判断A；求出可判断B；结合函数的极值以及单调性判断C；利用换元法结合函数单调性判断D. 【详解】由，得， 当或时，，当时，， 故在上均单调递增，在上单调递减， 故是函数的极大值点，A错误； ， 即函数的图象关于点中心对称，B正确； 结合A的分析可知，在时取极大值，在时取极小值， ， 令，即，解得或； 故要使得函数在区间上既有最大值也有最小值，需满足，C正确； 对于，令，则，即得 由以上分析可知，当时，单调递增，故， 即， 即的解集为，D错误， 故选：BC 题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.（25-26高三上·山西太原·月考）已知是函数的一个极值点，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】求导函数，根据极值点求得，解不等式即可求解单调递减区间，注意定义域的限制. 【详解】由得， 由得，当时，，令，且，得或， 令，且，所以，解得或， 令，且，所以，解得， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间为和， 且是函数的一个极值点. 故选：B. 2.（24-25高二下·陕西·月考）已知，，那么（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递减 C．是的极小值点 D．是的极大值点 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】首先求函数的解析式，再利用导数判断函数的单调区间和极值点. 【详解】， ， ，解得：，或，的增区间是和， ，解得：，或，的减区间是和， 故A正确；B错误；是的极大值点，故C错误；是的极小值点，故D错误. 故选：A 3.（24-25高二下·天津武清·月考）如图所示是的导数的图象，下列结论中不正确的有（    ） A．的单调递增区间是， B．是的极小值点 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．是的极小值点 【答案】D 【知识点】函数极值点的辨析、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】A.利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；B.利用极小值点的定义判断；C. 利用函数的单调性与导数的正负的关系判断；D.利用极小值点的定义判断； 【详解】根据图象知当时，，函数在上单调递增，A选项正确； 当时，，函数在上单调递减，故C正确； 函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极小值，是的极小值点，故B正确； 函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，不是的极小值点，故D错误. 故选：D. 4.（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知函数且，关于函数，有下列四个命题： 甲： 是的极值点;                乙：3是的零点; 丙： 在区间单调递减;            丁： 在单调递增． 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】由题知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题，根据条件可求得，再利用导数确定单调性及极值即可. 【详解】根据题意可知，甲丙互相矛盾，所以乙丁一定为真命题， ，又， 所以，， 则，又乙为真命题，， 即，， 令或， 所以或时，，单调递增， 时，，单调递减， 故甲为假命题，乙、丙、丁为真命题. 故选：A. 题型三：根据极值点求参数 1.（25-26高三上·广东深圳·月考）已知函数有两个极值点，若，则（   ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数、导数的运算法则 【分析】利用和即可求解出极值点和参数k. 【详解】依题意，则， 因为，所以， 显然，两式相除得，则， 将代入中，解得， 故选：C. 2.（24-25高二下·天津西青·月考）函数在时有极值10，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】由取得极值的必要条件得或，再由取极值的充分条件检验即可. 【详解】由题意， 因为函数在时有极值10， 所以，消去可得，解得或， 当时，，，此时在上单调递增，不存在极值，不符合题意； 当时，，， 或，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意. 故选：B. 3.（24-25高二下·贵州贵阳·月考）函数在处取得极值10，则（    ） A． B． C．0 D．或 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】求出函数的导数，根据极值点和极值可求参数的值，代入检验后可得，故可得它们的差. 【详解】函数，求导得， 由在处取得极值10，得， 解得或， 当，时，， 函数在R上递增，无极值，不符合题意； 当，时，得， 当或时，； 当时，，因此是函数的极小值点，符合题意， 所以， 故选：B． 4.（24-25高二下·山东济南·期中）已知函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数极值的辨析、根据极值点求参数 【分析】对于函数，先对其求导，因为函数有两个不同的极值点，那么其导数等于零的方程有两个不同的正根，由此可通过二次函数的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，其定义域为. 对求导可得：. 因为函数有两个不同的极值点，所以在上有两个不同的实根， 即方程在上有两个不同的实根. 设，此方程为二次方程，要使其在上有两个不同正实根， 需满足以下条件：二次项系数不为零：， 因为若，则，为一次函数，最多有一个零点，不符合题意. 判别式：所以，解不等式得到. 两根均大于零：根据韦达定理，在中， 两根满足，，解得； 综合以上三个条件，的取值范围是.   故选：B. 1.（2025·海南三亚·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的图象与轴相切 B．存在，使得有极小值 C．若，则函数有且仅有零点 D．若，则 【答案】C 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式 【分析】取，利用导数的几何意义可判断A选项；对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断B选项；参变分离得出，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；证明出，结合不等式的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，则，，则， 所以，曲线在处的切线方程为，A错； 对于B选项，，该函数的定义域为，， 当时，对任意的恒成立，此时函数在上为增函数，无极值； 当时，由可得，由可得， 此时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，函数有极大值点，无极小值点，B错； 对于C选项，由可得， 令，所以，直线与函数的图象有两个交点. ，由得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 函数的极大值为，当时，；当时，. 如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时函数有且仅有个零点，C对； 对于D选项，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，，即， 当时，，可得， 即，D错. 故选：C 2.（25-26高三上·福建龙岩·期中）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极小值为 B．当时，方程有两个不同的实根 C． D．若点在的图象上运动，则点到直线距离的最小值为 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】求得，得到的单调性，结合极值的定义，可判定A错误；画出函数的图象，结合图象，可判定B错误；构造函数，求得，得到的单调性，可判定C正确；设点，得到曲线在处的切线与平行时，点到直线的距离最小，令，求得函数的单调性和，得到，结合点到直线的距离公式，可判定D错误. 【详解】对于A，因为，可得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，所以是的极小值， 且，所以A错误； 对于B，由在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且当时，，当时，， 所以函数的图象，如图所示， 令，当时，与的图象有两个交点， 当时，与的图象只有一个交点，所以B错误； 对于C，由， 构造函数，可得， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数， 由，可得， 又由在上为增函数，可得，所以C正确； 对于D，设点，当曲线在处的切线与平行时， 点到直线的距离最小， 因为，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且时，，又因为，所以，且，可得， 所以到直线的距离，所以D错误. 故选：C. 3.（25-26高三上·安徽六安·月考）已知函数的导函数，的图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A．函数在上单调递减 B．函数有两个极值点 C．存在，使得成立 D．在上没有零点 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值 【分析】结合函数的图象，根据导函数与函数的单调性、极值的关系确定函数的单调性和极值，由此可判断A、B、C， 再结合零点存在性定理判断D. 【详解】观察图象可得当时，，所以函数在上单调递减， 当时，，且仅在时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，极小值为， 对于A，函数在上单调递增，故A错误； 对于B，函数有一个极值点，故B错误， 对于C，因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以取为小于等于的常数，则有恒成立，故C正确 ； 对于D，函数在区间上单调递增，但由于无法确定和的正负， 所以无法判断零点情况，故D错误； 故选：C. 4.(多选题）（24-25高二下·湖北恩施·期末）已知三次函数，则（   ） A． B．若有三个不同的实数根，则 C．若，则 D．若有三个不同的正实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】化简函数为，可判断A正确；转化为方程有两个实数根，结合，可判定B错误；根据，可判定C正确；根据二次函数的性质，列出不等式组，求得，令，求得，得到单调递减，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，由函数 可，所以A正确. 对于B中，由，可得是的一个解， 要使得有三个不同的实数根， 则有两个实数根，则， 即，即，解得或，所以B错误； 对于C中，由， 则，所以C正确； 对于D中，要使得有三个不同的正实数根，其中是的一个解， 则满足，解得， 令，其中，可得， 所以在上单调递减，且时，， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时） 题型一：极值与最值的 综合应用、根据极值点 求参数 基础达标题 题型二：用导数判断或 证明已知函数的单调性 题型三：利用导数研究 函数的零点 5.3.2函数的 题型一： 求已知函数的 极值点 极值与最大( 小)值（第3 题型二：利用导数求函 能力提升题 数的单调区间（不含 课时) 参) 题型三：根据极值点求 参数 拓展培优题 基础达标题 题型一：极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 1.（25-26高二上·全国·单元测试)已知函数f(x)=x3-2ax2+a2x+1在x=1处有极 小值，则a的值为() A.1或3 B.2 C.3 D.1 2.(25-26高二上全国·单元测试)己知x=1是函数f)=alnx+1-3x+7的极值点， 则a=() A.-4 B.-2 C.4 D.2 3.(2025高三全国.专题练习)己知函数f(x=2+r3有三个极值点x,x2,x3, 若x<x,<三，f(x)>0,则x的取值范围是() .2品 B. c.（3 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 4.(2025·四川巴中·模拟预测)己知f(x=ae-。x2有两个极值点x,x2,且x,≥3x ,则实数a的取值范围为() 0, /3 3 -In 3 B 0. In 6 5n3 题型二：用导数判断或证明已知函数的单调性 1.(2025·湖北武汉·模拟预测)已知f(x)=(ax-a-1e+x+1,若0是f(x)的极小 值点，则a的取值范围为() A.（-0,1 B.(-0,0j C.[0,+o D.(1,+o） 2.(2025·浙江丽水.一模)若关于x的方程(e-x(x-nx)=0(teR)恰有四个不同 的实根a,b,c,da<b<c<d),则() A.a+d<b+c B.a+d=b+c C.ad<bc D.ad=be 3.(多选题)(25-26高三上·湖南长沙月考)己知函数f(x的定义域为0，+∞)， 导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)e(e为自然对数的底数)，且∫1)=0， 则() A.3f2)>2f3 B.f(x)在x=1处取得极小值 C.存在唯一的实数x使得f(x)=2 D.<f2 4.(24-25高三上江苏宿迁·月考)已知函数f(x)=1ogV9x2+1-3x+sinx-m+n-1 是奇函数，过点(m,)作函数gx=e_二的图象的切线1，若n1,则直线1的条 数为() A.0 B.1 C.2 D.3 题型三：利用导数研究函数的零点 1.(24-25高二下·河北石家庄·期中)已知函数f(x)的导函数f'(x)的部分图象如 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图，则下列说法正确的为() -10 A.f1>f(3) B.f(2)<f(3) C.f(x)有三个零点 D.f(x)有三个极值点 (-0,0) 0 (0,3) 3 (3,+0) f'(x) 正 0 非正 0 正 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 2.(25-26高三上河北保定.期中)己知a>0,函数f(x)=xe-a(x+lnx)+2存在零 点，则实数a的最小整数值是() A.2 B.4 C.5 D.6 3.（25-26高三上山东聊城·月考)已知函数f(x)=-k2x2-2k(x-2)e+e2(k>0),当 e<k时，函数f(x)极值点的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.(24-25高二下·吉林延边月考)已知函数f(x)=x-3x2-3-m,则下列错误的 个数是() ①f(x)只有1个极小值点 ②曲线y=f(x)在点(3，f(3)处的切线斜率为9 ③当f(x有3个零点时，m的取值范围为-3，) ④当f(x只有1个零点时，m的取值范围为(-o,-3)U(1,+∞) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 能力提升题 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 题型一：求已知函数的极值点 1.(24-25高二下.四川绵阳·期中)在等比数列{an}中，a,a,是函数 f)=x+4r+9x-1的极值点，则a,=( A.3 B.-3 C.±3 D.9 2.(25-26高三上湖北期中)已知函数fx)=m2+bx2+cr+d(a>0), ∫(2=-名，则（在下列哪个区间上一定存在极值点(） A.2 B.2 c. D.3 3.多选题)(25-26高三上·陕西渭南·期中)已知函数f(x)=(x-2)2(x-5),则() A.函数f(x)有两个极值点 B.x=2是函数f(x)的极小值点 C.函数)的单调递减区间为2，) D.曲线y=f(x)的对称中心为3，-2) 4.(多选题)（25-26高三上·江苏镇江·开学考试)已知函数f(x)=x3-6x2+9x-2, 则下列正确的选项有() A.x=1是函数∫x)的极小值点 B.函数f(x的图象关于点(2,0)中心对称 C.函数f(x在区间m,n)上既有最大值也有最小值，则的范围是(3,4 D.关于x的不等式f(-x2+1)>f(-3)的解集为(-0，-2U(2,+∞) 题型二：利用导数求函数的单调区间（不含参） 1.（25-26高三上山西太原·月考)己知x=-2是函数f(x)=ax2+ln(x+3)的一个极 值点，则函数f(x的单调递减区间是() A.（-2,1 B.(-2,-1 C.（-3,2 D.-3,-2 2.(24-25高二下·陕西·月考)已知f(x)=x2-2x-3,g(x)=f5-x2),那么() A.g(x)在区间(-0，-2)上单调递减B.g(x)在区间(-2,0)上单调递减 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.x=0是g(x)的极小值点 D.x=2是g(x)的极大值点 3.(24-25高二下·天津武清·月考)如图所示是y=f(x的导数y=f'(x的图象， 下列结论中不正确的有() A.f(x)的单调递增区间是(-1,2)，4，+0) B.x=-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间(2,4)上是减函数，在区间(-1,2)上是增函数 D.x=2是f(x)的极小值点 4.(25-26高三上·湖北荆州·月考)已知函数f(x)=x3+ar2+bx+c(a≠0)且 f(0)=∫'(0)=0，关于函数f(x),有下列四个命题： 甲：x=1是∫(x)的极值点： 乙：3是f(x)的零点； 丙：f(x)在区间(0,2单调递减： 丁：f(x)在(4，+o单调递增， 如果只有一个假命题，则该命题是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 题型三：根据极值点求参数 1.(25-26高三上·广东深圳·月考)已知函数f(x=e-kx2+2)有两个极值点a,b, 若a=2b,则k=（). 1 A.0 B.In2 C.I2 D.e 2.(24-25高二下·天津西青·月考)函数f(x=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10， 则a、b的值为() A.a=3,b=-3 B.a=-4,b=11 命学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.a=3,b=-3或a=-4,b=11 D.a=-3,b=3或a=4,b=-11 3.(24-25高二下·贵州贵阳·月考)函数g(x=x3+ax2+bx+b2在x=1处取得极值10， 则a-b=() A.-6 B.5 C.0 D.6或号 4.(24-25高二下山东济南·期中)已知函数f(x)=lnx+ax2-2x有两个不同的极值 点x,x2,则实数a的取值范围为() A.-0,2 B. C. D. 拓展培优题 1.(2025·海南三亚·一模)已知函数fx=e+x,则下列结论正确的是() A.不存在teR,使得∫(x)的图象与x轴相切 B.存在teR,使得f(x)有极小值 C.若-<1<0，则函数y有且仅有2零点 D.若t<0,则f(x>x2+(1+3x+1 2.(25-26高三上·福建龙岩·期中)己知函数f(x)=xe,则下列说法正确的是() A.(x的极小值为 B.当m>-时，方程f(x)=m有两个不同的实根 C. D.若点P在f()的图象上运动，则点P到直线y=x-2距离的最小值为 2 3.(25-26高三上·安徽六安·月考)已知函数f(x)的导函数f'(x)=m(x+2)(x-1)2, '(x的图象如图所示，则下列结论中正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.函数f(x)在[-1，刂上单调递减 B.函数f(x)有两个极值点 C.存在MeR,使得f(x)≥M成立 D.(x)在(-2，)上没有零点 4.多选题)（24-25高二下·湖北恩施·期末)已知三次函数 f(x)=ax'+bx2-bx-a(a>0,a,bER),( A.f1)=0 B.若f(x)=0有三个不同的实数根，则 C.若f(x=0,则f 1=0 D.若fx)=0有三个不同的正实数根，则的取值范围是(-3,0)