5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦函数最值的求法及应用，通过校园超市利润优化、快递打包材料最省等实际问题导入，衔接二次函数与极值知识，用对比表格和图像辨析极值与最值，搭建学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过含参问题分类讨论发展数学思维，借助不等式证明和优化问题提升数学语言表达能力。实例丰富，题型分层训练，小结规律清晰，助力学生提升应用与推理能力，方便教师教学。

第五章 一元函数的导数及应用 5.3.2 函数的极值与最大(小)值 (第2课时)——函数的最值 ·选择性必修第二册· 学习目标 1.理解函数极值与最值的区别与联系，明确闭区间上连续函数的最值存在性条件。 2.能熟练掌握利用导数求闭区间上函数最值的步骤，准确求解不含参数及含参数的函数最值问题。 3.会将简单函数不等式证明转化为函数最值问题，体会转化与化归思想的应用。 4.能解决“由函数最值求参数”的逆向问题，提升分类讨论与逻辑推理能力。 5.感受导数在实际优化问题中的应用，增强数学建模意识与应用能力。 目录 CATALOG 01.函数极值与最值的区别与联系 03.题型强化训练 02.利用导数求闭区间上函数的最值 04.小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 01 函数极值与最值的 区别与联系 导入新知1：校园超市的利润优化问题 学校的校园超市最近进了一批新款文具礼盒，超市老板想确定礼盒的定价，让利润达到最高。已知礼盒的成本是每个30元，经过市场调研发现，当定价为x元（30<x≤80）时，每天的销售量y（个）与定价x的函数关系为y = -2x + 200，而每天的利润L(x)等于单个利润乘以销售量，也就是L(x)=(x-30)(-2x+200)。 大家先试着算一算，定价多少的时候，利润能达到最大呢？用我们之前学过的配方法、均值不等式能轻松解决吗？如果把这个函数换成更复杂的三次函数，比如L(x)= -0.1x³ + 5x² - 20x - 100（30<x≤80），又该怎么找到利润的最大值呢？ 导入新知2：快递打包的材料最省问题 双十一刚过，快递站每天要打包大量包裹，快递员叔叔遇到了一个难题：要制作一个容积为64立方分米的长方体快递纸箱，纸箱的底面是正方形，制作纸箱的侧面材料每平方分米成本是1元，底面材料每平方分米成本是2元。怎样设计纸箱的边长和高，才能让制作纸箱的总成本最低呢？ 我们设底面正方形的边长为x分米，纸箱的高为h分米，根据容积公式能得到x²h=64，总成本C(x)=2×x²×2 + 4×xh×1 = 4x² + 4x×(64/x²)=4x² + 256/x（x>0）。这个函数的最小值该怎么求呢？我们之前学过的极值知识能不能派上用场？极值和最值又有什么关系呢？ 引入新知 上节课学习了函数的极值的概念，其刻画的是函数的局部性质，你能说说求函数极值概念与求解步骤么？ 增 f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 减 f′(x) <0 f′(x) =0 增 减 极小值 f′(x) >0 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 引入新知 函数极值的求解步骤 1 2 3 4 引入新知 新课探究 极值 最值 区 别 联系 函数的极大(小)值是函数的一个局部性质 函数的最大(小)值是函数的一个整体性质 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的最大(小)值是比较函数在整个定义域内的函数值得出的 函数的极值可以有多个 最大(小)值最多只有一个 极值只能在区间内取得 最大(小)值既可以在区间内取得，也可以在端点处取得 有极值的未必有最大(小)值，有最大(小)值的也未必有极值； 极值有可能成为最大(小)值，最大(小)值只要不在端点必定是极值 新课探究 极小值 极大值 新课探究 极小值 极大值 新课探究 极小值 极大值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（不含参） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知函数最值求参数、根据极值点求参数 02 利用导数求闭区间上函数的最值 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 新课探究 新课探究 极小值 极大值 只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 已知函数最值求参数、求已知函数的极值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数最值与极值的关系辨析、函数极值点的辨析 应用新知 详解 例题 应用新知 规律小结 应用新知 详解 变式训练 应用新知 变式训练 详解 应用新知 例题 证明 应用新知 例题 证明 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数单调性、极值与最值的综合应用 应用新知 规律小结 应用新知 详解 变式训练 随堂演练 1．求下列函数的最值. 详解 随堂演练 1．求下列函数的最值. 详解 随堂演练 详解 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 03 题型强化训练 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 例题 能力提升 方法规律 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 解： 变式训练 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 变式训练 解： 能力提升 题型一 含参数的函数的最值问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 例题 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 例题 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 解： 例题 能力提升 总结归纳 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 变式训练 解： 能力提升 题型二 由函数的最值求参数问题 解： 变式训练 04 小结及随堂练习 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 课堂小结 函数的最值问题 作业 巩固作业：教科书第98页习题5.3第6题 教科书第99页习题5.3第12题 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第2课时） 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第6题） 解： 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第6题） 解： 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第6题） 解： 巩固作业答案（教科书第98页习题5.3第6题） 解： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第12题） 证明： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第12题） 解： 巩固作业答案（教科书第99页习题5.3第12题） 解： THANKS 感谢您的聆听 问题1： 确定函数的定义域； 求解方程的根； 用方程的根顺次将函数的定义域划分为若干个区间， 并列成表格 由在方程的根的左右的符号来判断在这个根 处取极值的情况： (1)如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值； (2)如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 问题2： 函数的最大(小)值是如何定义的? 追问： 你学过哪些求函数最大(小)值的方法? 设函数的定义域为,如果存在实数满足： (1)对于任意,都有(); (2)存在,使得.那么,我们称是函数的最 大(小)值. (1)利用函数单调性的定义；(2)利用函数图象；(3)利用均值不等式. 问题3： 函数的极大(小)值与函数最大(小)值有何区别与联系? 追问1： 图5.3-13是函数的图象，你能找出它的极大值、 极小值吗? 追问2： 你能找出图5.3-13中函数在区间上的最小值、最大值吗? 问题4： 在图5.3-14与5.3-15中,观察上的函数和的图象,它们在 上有最大值、最小值吗?如果有,最大值和最小值分别是什么? 1.已知当 时，函数 取得最小值1，则 （    ） A．0 B． C．1 D．2 【详解】当时，函数取得最小值1， 则，，，， 所以，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在时取到最小值，符合题意， 则，，所以.故选：D. 2.已知函数 ，其导函数 的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，函数 取得最小值 B．若 ，则 C．函数 只有一个极值点 D．当 时函数取得极大值 【详解】，由图象可知，，且当时，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，对于A：如图是函数的大致图象，易得无最值，故A错： 对于B，当时，，由，得，故B错误；对于C、D：有两个极值点1和2，且当时函数取得极小值，当时函数取得极大值，故C错误，D正确． 故选：D. 3.当 时， 取得最大值 ，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】由题得，故，， 则，故，即，因此， 且，当时，单调递增；当时， 单调递减，故在处取得极大值，也是最大值， 满足题设，所以．故选：D. 追问1： 任意一个函数都有最大(小)值吗？ 追问2： 什么样的函数一定有最大值和最小值? 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 追问3： 如何利用极值求出函数的最大值与最小值? 4.已知函数 在 处的切线与直线 平行，且在区间 内存在最小值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【详解】，由题意得，解得， ，，令得或， 得，故在上单调递减， 在，上单调递增，所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即，要想在区间上存在最小值， 需满足，解得.故选：C 5.函数 的导函数 的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ） A． 为函数 的一个零点 B．函数 在区间 上单调递减 C． 为函数 的一个极大值点 D． 是函数 的最大值 【详解】对于A选项，由图象可知，当 时， ，当 时， ， 所以，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 为函数 的一个极小值点，不一定为函数 的一个零点，A错； 对于B选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递增，B错； 对于C选项，当 时， ，当 时， ， 所以，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减， 所以， 为函数 的一个极大值点，C对；对于D选项，因为函数 在区间 上单调递增，故 不是函数 的最大值，D错.故选：C. 6.已知定义在R上的函数 的导函数 的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A． 是 的极值点 B． 在区间 上单调递增 C． 是 在区间 上的最小值点 D．曲线 在点 处的切线斜率小于零 【详解】由 的图象可知：当 时， ，当 时， ， 故 在 单调递减，在 单调递增， 故 是函数 的极小值点，也是 上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知： ，因此曲线 在点 处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 因为，所以． 令，解得，或． 当变化时，、的变化情况如表所示． 2 － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 因此，在上的最大值是，最小值是. 求函数在上的最大值与最小值． 利用导数求函数在上的最值的步骤 (1)求函数在区间上的极值； (2)将函数的各极值与端点处的函数值比较， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. (1)，则时有， ∴时,,单调递增； 时,,单调递减； 时，，单调递增； ∴在上的极大值为,极小值为, 而,， 综上，在上最大值为，最小值为. 1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1)， (2)， 1.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1)， (2)， (2)，则时有， ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； ∴在上的极大值为， 而，， ∴在上最大值为，最小值为. 设,对于函数,,两个函数的图象如图所示. 我们发现,当时,,怎么证明这个结论呢？ 我们将不等式①转化为： 设,那么令解得 当变化时，，的变化情况如表所示. 单调递减 单调递增 设,对于函数,,两个函数的图象如图所示. 我们发现,当时,,怎么证明这个结论呢？ 所以，当时，取得最小值. 所以，即. 所以，当时，. 7.已知函数 的一个极值点为3，则（   ） A． B．当 时， C．当 时， D． 是函数 的极小值点 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，，令，则； 令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 8.已知函数 是函数的极值点，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数，所以单调递增，,选项A：计算 而在时趋向，故A错.选项B：因为 得B错.选项C： 计算 C错. 选项D：计算 ， 函数， 所以，得D正确. 故选：D. 对于函数不等式的证明，常常转化为求函数最大(小)值问题，体现 转化与化归思想的运用. (1) 证明的一般方法是证明(利用 单调性)，特殊情况是证明(最值方法)，但后一种 方法不具备普遍性. (2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换 不等式两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单 调性，如不等式对恒成立，即 等价于函数为增函数. 由题设，要证只需证即可， 令,则,而， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故, 即在上恒成立， ∴，得证. 2.证明不等式：， (1) ； (2) ； 的定义域为 , .令 ， 解得： ，列表得： x － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 所以函数 的的最小值为 ,最大值为 ； (1) ； (2) ； 的定义域为 ， ．令 ， 解得： ，列表得： x ＋ 0 － 单调递增 单调递减 所以函数 的 的最大值为22,最小值为 ． 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： ， ， 等价于 ， ∴可令 ， 则 ，在 上 ， 在 上单调递增， 即 ， 在 上恒成立， 则 ， 得证． 9.若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】∵，∴. ∵，∴.设， 则.当时，，在上单调递增， ∴，此时在上单调递增，不合题意. 当时，由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，当时，，当时，，∵函数在上不单调，∴，即， ∴，解得，即实数的取值范围为. 故选：D. 10.设函数 ，若当 时 恒成立，则实数 的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【详解】设，，所以， 令，，所以， 当，即时，对任意，恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当，即时，存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，，所以，所以在上单调递减，所以当时，，与题意矛盾，舍去， 所以实数的取值范围是.故选：. 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. (1) 因为，所以，， 所以. 由或. 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 所以当，所以，所以在上单调递增， 所以. 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. (2) 的定义域为， ， 由. 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. ①当，即时，或. 所以在上单调递增，； 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. ②当,即时,由或. 所以在上单调递减，在上单调递增， 由. ； 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. ③当，即时，由. 所以在上单调递减， . 1．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值； (2)求在区间上的最小值. 综上， 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小 于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0，则函数在已知区间 上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则 求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值. 1．已知函数在处取得极值. (1)求的值；(2)求函数在上的最小值. (1)， 由已知得，即，解得， 当时，在处取得极小值，所以. 1．已知函数在处取得极值. (1)求的值；(2)求函数在上的最小值. (2)由(1)得，则， 令得,令得,所以函数在上单调 递减，在上单调递增. ①当时,在上单调递增,； ②当时,在上单调递减, 在上单调递增,； 1．已知函数在处取得极值. (1)求的值；(2)求函数在上的最小值. ③当时，在上单调递减， 综上，在上的最小值. (1) 已知函数在区间上有最小值， 则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 由题意得，易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值,则,即,解得. 这时存在,使得在上单调递减,在上单调递增， 即函数在上有极小值,也是最小值,所以的取值范围是. 故选：A. (2) 已知函数,若存在最大值,且最大值 小于0，求的取值范围． 定义域为，且，若，则对 任意恒成立． 所以在上单调递增，无最大值，不合题意， 若，令，解得，令，解得， 则有极大值，无极小值， 可知在上单调递增，上单调递减， (2) 已知函数,若存在最大值,且最大值 小于0，求的取值范围． 由题意可得：，即. 令，， 在上单调递减, 又,不等式等价于,解得. 综上，的取值范围是 已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数 最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性 及极值点，探索最值，根据已知最值列方程(不等式)解决问题. (2) 函数，若在上有最小值， 则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 由题意，函数，可得， 若时，当时在上单调递减， 此时函数在上没有最小值，不符合题意； (2) 函数，若在上有最小值， 则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 当时，令，即， 画出函数与的图象，如图所示， 结合图象，存在，使得， 当时单调递减； 当时单调递增， (2) 函数，若在上有最小值， 则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 此时函数在上有最小值，符合题意． 综上可得，实数a的取值范围是. 故选：A 3． 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数， 若在区间上的最大值为2，求的值． 由题设，当，结合，易知， 所以在上单调递增，故无最大值，不符合 当，且，则时，时， 所以在上递增，在上递减，则， 故，可得.综上，. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1),； (2), (1)，则， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增； ∴在上的极小值为， 而，， ∴在上最大值为，最小值为. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1),； (2), (2)，则时有， ∴时,,单调递增; 时,,单调递减； 时，，单调递增； ∴在上的极大值为，极小值为， 而，， 综上，在上最大值为，最小值为. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (3),； (4), (3)，则时有， ∴时，，单调递减； ∴在上最大值为，最小值为. 6.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (3),； (4), (4)，则时有， ∴时，，单调递增； 时，，单调递减； ∴在上的极大值为， 而，， ∴在上最大值为，最小值为. 12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (2)，； (2)，． (1) 由题意,等价于, 令， ∴，而， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在上恒成立， 即， ∴，得证. 12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (2)，； (2)，． (2)由题设，等价于，等价于， 令，则，而， ∴时，，单调递减； 时，，单调递增； 故在上恒成立，即， ∴在上恒成立， 12.利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (2)，； (2)，． 令，则，而， ∴时，，单调递增， 故在上恒成立， 即， ∴在上恒成立， 综上，，上恒成立. $