精品解析：四川省泸州市合江县大桥中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

大桥中学2025 一、选择题（36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与关于成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，A，B，C是上的三点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC的长为(　　) A. B. C. 2 D. 2 6. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为C，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 9. 如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 10. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（12分） 13. 如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是______． 14. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为_____． 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为__________． 三、解答题（52分） 17. 如图，某公园的石拱桥的桥拱是圆弧形(弓形)，其跨度AB＝24m，拱的半径R＝13m，求拱高CD. 18. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长． 19. 如图，A，P，B，C是直径为8的上的四点，且满足． （1）求证：是等边三角形； （2）求圆心O到的距离． 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的长； （2）求图中阴影部队的面积． 21. 在学习了《利用三角形全等测距离》之后，某校学习小组利用所学知识进行了以下探究： 任务一：如图①，将两根木条，的中点钉在一起，制作成一个简易的测宽工具，利用该工具测出的长度为，则的长度也为，其原理是__________； A．三角形具有稳定性 B．三角形中线的性质 C．全等三角形的判定和性质 任务二：如图②，某公园中有一个池塘，在池塘两侧A，B处各立有一根安全警示杆，利用现有皮尺无法直接量出A，B之间的距离，请你设计一个方案，测出A，B之间的距离，画出图形，并说明理由． 22. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 23. 小红在学完《特殊平行四边形》一章的内容后，通过折叠矩形纸片进行了以下探究： 在矩形中，点在边上，连接．将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，若，，则的长为__________，的度数为__________； 【问题探究】 （2）如图②，当点是的中点时，若，则点落在矩形内部，连接并延长，交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，，当为等腰三角形时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大桥中学2025 一、选择题（36分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答，即只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：因为不是整式方程，所以A不符合题意； 因为是二次方程，所以B不符合题意； 因为是一元二次方程，所以C符合题意； 因为，即，不是二次方程，所以D不符合题意． 故选：C． 2. 将二次函数的图象向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后，所得图象对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移， 根据二次函数的平移特征“上加下减，左加右减”可得答案. 【详解】解：将二次函数向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度所得的关系式为. 故选：C. 3. 如图，与关于成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称性质逐个分析即可. 【详解】A. ,本选项不一定正确； B. ，对应边相等； C. ，对应边相等； D. ，对应边相等； 故选A 【点睛】考核知识点：中心对称性质.理解中心对称的基本性质是关键. 4. 如图，A，B，C是上的三点，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理， 直接根据圆周角定理可得，再代入可得出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：B. 5. 如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O与BC相切于点B，则AC的长为(　　) A. B. C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先由切线的性质判定△ABC是直角三角形，进而可根据勾股定理求出AC的长． 【详解】∵BC是O的切线，且切点为B， ∴∠ABC=90°， 故△ABC是等腰直角三角形； 由勾股定理,得：AC===2； 故选C. 【点睛】此题主要考查的是切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形是解题的关键. 6. 如图，在中，半径垂直于弦，垂足为C，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理， 先连接，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，即可得出答案. 【详解】解：如图所示， 连接， ∵， ∴. 在中，， 则， ∴. 故选：A. 7. 如图是小红自制的相框，她想检查相框是否为矩形，于是她用手中仅有的一根较长的绳子进行测量并比较，下列检查方法合理的是（ ） A. B. ， C. ，， D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟练利用矩形的判定方法是解题的关键． 根据对边分别相等得出四边形是平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可解答． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为矩形， 故检查方法合理的是测量，，， 故选：C． 8. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的定义是解答本题的关键． 将已知根代入方程，即可求出参数 k 的值． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即， 化简得 ， ∴， ∴． 故选：C． 9. 如图，四边形的对角线与相交于点，且，，则四边形的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力． 证明四边形是正方形，再计算面积即可． 【详解】解：， ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， ， 即， 四边形是正方形， 正方形的面积为， 故选：C． 10. 用配方法解一元二次方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过移项和添加平方项将方程化为完全平方形式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴ （移项）， ∴ （添加一次项系数一半的平方）， ∴ （化简）， ∴ 变形后结果为 ， 故选B． 11. 如图，在中，，分别是，上的点，，，，且，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质列方程是解题的关键． 利用比例线段得到，然后根据比例性质求，即可解答． 【详解】解：，即， ， ． 经检验是原方程的解， 故选：A． 12. 五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个数．小星设这五个连续整数中第一个数为，根据题意列出关于的一元二次方程为，并列表如下： … … 则这五个数中，第一个数是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，灵活运用连续整数的表示方法与方程求解思路是解题的关键．通过设第一个连续整数为，表示出其余四个数，再根据 “前三个数的平方和等于后两个数的平方和” 这一条件列出方程，结合表格分析方程的解，进而求出这五个连续整数的第一个数． 【详解】设五个连续整数为，，，，， 前三个数的平方和等于后两个数的平方和， ， 展开得： 左边：， 右边：， ， 移项得：， 与小星方程对比，得， ， ， ，， 由表格数据，当或时，，且验证两组数均满足题意， 第一个数为或． 故选：． 二、填空题（12分） 13. 如图，在中，弦与交于点M，，则的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，由，得到，根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 14. 如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60m，宽为40m的矩形空地上，修建一个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地面积的，则此时通道的宽为_____． 【答案】5m 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先设通道的宽为，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的列出方程，求出解即可. 【详解】解：设通道的宽为，根据题意，得 ， 解得（舍去）， 所以通道的宽为. 故答案为：. 15. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，正方形中，点为对角线上一点，交线段于点，交对角线于点．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、四点共圆、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，根据、，可知点、、、四点共圆，根据圆周角定理可证，连接交于点，可证，根据全等三角形的性质可知，根据正方形的性质求出的长度即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ，， ， 在四边形中，， ， 点、、、四点共圆， ， 是等腰直角三角形， ， 连接交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是正方形，， ， ， . 故答案为： ． 三、解答题（52分） 17. 如图，某公园的石拱桥的桥拱是圆弧形(弓形)，其跨度AB＝24m，拱的半径R＝13m，求拱高CD. 【答案】CD＝8m 【解析】 【详解】解：找出圆心O并连接OA，延长CD到O，构成直角三角形，如图： ∵跨度AB＝24m，拱所在圆半径R＝13m，AD=AB=12m， ∴DO＝m， ∴CD＝CO−DO＝13−5＝8m． 答：拱高CD为8m． 18. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm，∠P=60°．求弦AB的长． 【答案】6 【解析】 【分析】连接CB．由切线长定理知PA=PB；又∠P=60°，则等腰三角形APB是等边三角形，则有ABP=60°；由弦切角定理知，∠PAB=∠C=60°，AC是直径；由直径对的圆周角是直角得∠ABC=90°，则在Rt△ABC中，有∠CAB=30°，进而可得结论． 【详解】连接CB． ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB， 又∵∠P=60°，∴∠PAB=60°； 又∵AC是⊙O的直径，∴CA⊥PA，∠ABC=90°，∴∠CAB=30°， 而AC=12，∴在Rt△ABC中，cos30°=，∴AB=12×=6． 【点睛】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，弦切角定理，直角三角形的性质．注意本题的解法不唯一． 19. 如图，A，P，B，C是直径为8的上的四点，且满足． （1）求证：是等边三角形； （2）求圆心O到的距离． 【答案】（1） 证明：由题意，得． ∵， ∴ ∴是等边三角形； （2）2 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定证明即可； （2）连接，过点O作于点D．根据角直角三角形的性质进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，过点O作于点D． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴在中， 20. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC=60°，OC=2． （1）求OE和CD的长； （2）求图中阴影部队的面积． 【答案】（1）CD=；（2） 【解析】 【分析】（1）在△OCE中，由直角三角形性质得OE=OC=1，CE=OC=，由垂径定理得CE=DE，CD= （2），故． 【详解】解：（1）在△OCE中， ∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2 ∴ OE=OC=1 ∴CE=OC= ∵OA⊥CD ∴CE=DE ∴CD= （2）∵ ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形，扇行面积计算，解题的关键是掌握利用规则图形的面积求解不规则图形的面积的思想． 21. 在学习了《利用三角形全等测距离》之后，某校学习小组利用所学知识进行了以下探究： 任务一：如图①，将两根木条，的中点钉在一起，制作成一个简易的测宽工具，利用该工具测出的长度为，则的长度也为，其原理是__________； A．三角形具有稳定性 B．三角形中线的性质 C．全等三角形的判定和性质 任务二：如图②，某公园中有一个池塘，在池塘两侧A，B处各立有一根安全警示杆，利用现有皮尺无法直接量出A，B之间的距离，请你设计一个方案，测出A，B之间的距离，画出图形，并说明理由． 【答案】任务一：C；任务二：先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 【解析】 【分析】任务一：设交于点O，证明即可； 任务二：先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 本题考查三角形的全等的判定与性质． 【详解】解：任务一： 如图，设交于点O， 在中， ， ∴， ∴， 故该工具的原理是三角形的判定和性质， 故选：C； 任务二： 方案如图，先在平地取一个可沿直线到达的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为的距离． 理由如下： 在和中， ， ， ． 22. 如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上（不与点A，B重合），过点分别作和的垂线，垂足为C，D． （1）的值为__________； （2）当点在线段上移动时，若矩形的面积为1，求点的坐标； （3）当点在线段上移动时，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）3 （2）点P的坐标为或． （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的解析式与性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）解：将代入，求出即可． （2）先求出一次函数的解析式为，设点P的坐标为，其中，得到，再由矩形的面积公式得到，求出或，即可求出点P的坐标为或． （3）连接，，直接利用矩形的性质可知，然后再利用勾股定理以及等面积法求的最小值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得． 故答案为：3 【小问2详解】 将代入一次函数，得 一次函数的解析式为， ∵点在线段上移动时， ∴设点P的坐标为，其中， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 连接，如图 ∵过点分别作和的垂线，垂足为C，D， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当时，取到最小值，即取到最小值， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 23. 小红在学完《特殊平行四边形》一章的内容后，通过折叠矩形纸片进行了以下探究： 在矩形中，点在边上，连接．将矩形沿直线折叠，点的对应点为点． 【问题解决】 （1）如图①，当点恰好落在边上时，若，，则的长为__________，的度数为__________； 【问题探究】 （2）如图②，当点是的中点时，若，则点落在矩形内部，连接并延长，交于点．试判断四边形的形状，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）连接，，当为等腰三角形时，若，，求的长． 【答案】（1）4， （2）四边形是平行四边形，理由如下： ∵当点是的中点， ∴， 由翻折，得 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）的长为4或． 【解析】 【分析】本题考查翻折，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，由翻折，得 ，推导出是等腰直角三角形，，则，即可解答； （2）先证明，，继而推导出，则，，则四边形是平行四边形，即可解答； （3）分类讨论：第一种情况：当点F在矩形的内部时，①当时，过点F作交于点P，连接，②当时，连接，③当时， 第二种情况：当点F在矩形的外面时，逐一分析求解即可． 【详解】解：（1）当点恰好落在边上时， ∵四边形为矩形，， ∴，， 由翻折，得 ， ∴是等腰直角三角形，， ∴ 故答案为：4，； （2）略 （3）第一种情况：当点F在矩形的内部时， ①当时，过点F作交于点P，连接，如图 ∵， ∴点F在的垂直平分线上， ∵四边形为矩形， ∴点F也在的垂直平分线上，， ∴， ∴， 设为x，则，， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； ②当时，连接，如图 ∵，， ∴， ∵， 即， 不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可知，此时点F为的中点，且四边形为矩形， ∴， ∴； 第二种情况：当点F在矩形的外面时，如图 ∴，当为等腰三角形时，， ∵， ∴， 即此时点F为的中点， ∴当点F在矩形的外面时，不能为等腰三角形． 综上所述，当的长为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $