专题01 直线与方程（13大题型）（期末复习专项训练）高二数学上学期苏教版

专题01 直线与方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 斜率与倾斜角变换关系（共5小题） 1．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 斜率公式应用（共5小题） 6．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 8．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 题型三 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （共5小题） 11．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 15．已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 求直线方程（共5小题） 16．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 18．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 19．公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 20．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 题型五 直线过定点（共5小题） 21．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 22．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 23．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 24．直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 25.已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 题型六 两条直线的平行（共5小题） 26．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．直线：，：平行，则a为（   ） A．1或 B．或2 C．2 D．1 28．已知直线与直线平行，则实数的值为（   ） A．-2 B．1 C．-2或1 D．0 29．设直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 题型七 两条直线的垂直平行（共5小题） 31．直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 32．已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 33．已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 34．已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 35．已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型八 三条直线围成三角形的判断 （共5小题） 36．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 37．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 38．若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 39．已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 40．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型九 点到直线的距离（共5小题） 41．“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 42．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 43．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 44．在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 45．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 题型十 两平行线间的距离（共5小题） 46．已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 47．坐标原点到直线的距离为，直线与直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 48．已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（   ） A．5 B．3 C． D．2 49．直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 50．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十一 最值问题（共8小题） 51．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 52．直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 53．（多选）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 54．代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 55．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 56．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 57．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 58．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 题型十二 对称问题（共10小题） 59．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 60．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 61．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 62．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 63．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 64．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 65．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 66．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 67．的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 68．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 题型十三 直线的方程与图形面积（共3小题） 69.直线中，．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．16 70.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 71.已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． $专题01 直线与方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 斜率与倾斜角变换关系（共5小题） 1．已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 2．已知直线绕原点顺时针旋转得到直线，则的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再利用已知条件结合倾斜角的取值范围求出的倾斜角． 【详解】直线 ，设直线斜率为，倾斜角为， ，， 直线绕原点顺时针旋转得到直线， 又倾斜角的取值范围为， 直线的倾斜角为，故D正确． 故选：D． 3．已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率的范围求解即可. 【详解】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C. 若，则， 所以， 又，所以， 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D. 4．已知直线过点，，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由斜率公式求得斜率，再由倾斜角和斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 所以倾斜角的取值范围为. 故选：B． 5．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 题型二 斜率公式应用（共5小题） 6．已知三点，则“三点共线”是“或”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出三点共线时的所有值，再根据必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】当时，三点均在直线上； 当时，，而直线的斜率不存在，显然三点不在一条直线上； 当时，若三点共线，则，即，解得或． 综上，若三点共线，则或或， 故“三点共线”是“－4或”的必要不充分条件． 故选：C. 7．过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（   ） A． B． C．或2 D．或-2 【答案】B 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 8．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 9．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 10．图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 题型三 直线与线段的相交关系求斜率的取值范围 （共5小题） 11．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    12．已知直线过点且与以为端点的线段有公共点，则直线斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段有公共点的临界情况分析. 【详解】由题， 如图，由图可知直线斜率. 故选：B 13．已知直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线过定点，再利用过定点的直线与两点的斜率，结合图象可得到斜率范围，从而可确定倾斜角范围. 【详解】 由题可知直线过定点．，， 与线段相交，由题意设直线的斜率为或． 由于在及上均单调递增， 直线的倾斜角的范围为． 故选:C． 14．经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 15．已知，，直线与线段有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过的定点，再得到，，进而结合题意建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由，得. 令，解得，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 因为当时，直线与线段也有交点， 所以的取值范围是，故A正确. 故选：A 题型四 求直线方程（共5小题） 16．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】把点代入求得化直线方程为，求各轴上的截距，运算求解即可. 【详解】因为直线经过点， 则可得， 直线方程为， 因为直线在两坐标轴上的截距互为相反数，可知， 令，得；令，得； 则，化为，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选： 17．（多选）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 18．已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高． (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由条件结合中点坐标公式求的坐标，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可； （2）根据垂直直线的斜率关系求直线的斜率，利用点斜式求直线方程，再化为一般式即可. 【详解】（1）因为是边的中点，所以， 所以直线的斜率， 所以所在直线的方程为：，即， （2）因为是边AB的中点，所以， 因为是边上的高， 所以，所以， 所以， 因此高所在直线的方程为：，即.   19．公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得重心的坐标，确定，垂直平分线确定外接圆圆心即外心坐标，从而可得其欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 20．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程； (3)边上的垂直平分线所在直线的方程； (4)边上的高所在直线的方程． 【答案】(1)， (2) (3)． (4)． 【分析】（1）解法1：利用两点式和截距式将点坐标代入即可求解；解法2：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可； （2）先利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可； （3）由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可； （4）由高的定义求得高所在直线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】（1）解法1：由两点式得边所在直线方程为，即． 由截距式得边所在直线方程为，即． 解法2：因为，所以边所在直线方程为，即． 因为，所以边所在直线方程为，即． （2）解法1：设的中点为，由中点坐标公式可得， 由两点式得所在直线方程为，即． 解法2：设的中点为，由中点坐标公式可得， 则， 所以所在直线方程为，即． （3）因为，的中点， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． （4）因为，， 所以边上的高所在直线方程为，即． 题型五 直线过定点（共5小题） 21．不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 22．已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分离参数将问题转化为过直线交点的直线系方程，即可求解. 解法一：直线方程可化为，解方程组，即可求解； 解法二（取特殊值）：直线方程中，令，得；令，得.解方程组，即可求解； 解法三：设直线过定点，则，即，解方程组，即可求解. 【详解】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点. 故选：B. 23．不论k为任何实数，直线恒过定点，若直线过此定点其中m，n是正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出的关系，然后利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由直线， 得：，即恒过点， 因为直线过此定点，其中m，n是正实数 所以， 则， ，当且仅当时取等号； 故选：B 24．直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得. 【详解】由整理得：， 由，解得， 即直线恒过点，故，所以. 故选：B 25.已知直线l：．（其中a为参数，） (1)若不论x取何值，直线l恒过一定点A，求该定点A的坐标； (2)若直线l不过第二象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线方程直接确定其所过的定点即可； （2）根据直线所过定点及不过第二象限，直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由化为， 当时，无论a取何值都有． 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知，直线l恒过定点，要使直线l不过第二象限， 故直线l过原点时倾斜角最小，且直线斜率恒正， 所以，只需直线的斜率，即. 题型六 两条直线的平行（共5小题） 26．“”是“直线和直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的判定条件进行判断即可. 【详解】当时，两直线方程为和， 可见两直线斜率相等，且两直线不重合，所以两直线平行， 所以“”是“直线和直线平行”的充分条件； 若直线和直线平行， 若，则，解得. 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 当时，两直线方程为和，斜率相等，平行； 若，两直线方程为和，两直线垂直，不平行； 所以若直线和直线平行，则或. 综上，“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 27．直线：，：平行，则a为（   ） A．1或 B．或2 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据平行的关系求出，再注意检验即可得解. 【详解】由直线平行可知，， 解得或， 当时，平行， 当时，平行. 故选：A 28．已知直线与直线平行，则实数的值为（   ） A．-2 B．1 C．-2或1 D．0 【答案】C 【分析】利用两条直线平行列式，再验证得解. 【详解】由直线与平行，得 整理得，因式分解为，解得或. 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行； 当时，，. 斜率均为，纵截距分别为和，不重合，平行. 综上所述，实数的值为或. 故选：C 29．设直线，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据平行关系列式求解可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，则，解得或， 若，，，两直线平行，符合题意； 若，，，两直线重合，不符合题意； 综上所述：等价于. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 30．在中，角A、、的对边分别为、、，直线与直线平行，则是（    ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用平行关系建立等式，再利用正弦定理边化角，结合二倍角公式推理判断即得. 【详解】依题意，在中，，由正弦定理得， 即，而， 则或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 题型七 两条直线的垂直平行（共5小题） 31．直线：和直线：，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解. 【详解】直线：和直线：， “”，等价于，解得或. 所以“”可以推出，但“”时未必有 “”. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 32．已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的条件及基本不等式可得. 【详解】因为，且， 所以，即，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 33．已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再结合条件即可求出方程. 【详解】直线l：过定点，显然点不在直线l上， 则当且仅当时，点到直线l的距离最大，而直线斜率， 因此直线的斜率，直线l的方程为. 故选：C 34．已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 35．已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解． 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 又因两直线垂足为，则，解得， 将代入直线，则， 解之得， 所以. 故选：B. 题型八 三条直线围成三角形的判断 （共5小题） 36．三条直线构成一个三角形，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据题意判断三条直线能够组成三角形时的条件，列出不等式组，求出结果即可. 【详解】当三条直线能构成一个三角形时，直线不与这两条直线平行，且不经过两条直线的交点即可. 由，解得，所以，解得； 不与平行时，； 不与平行时，； 综上，的取值范围是且； 故选：B. 37．下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 38．若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】分析可知至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点，则三条直线不能构成三角形. 【详解】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点. 若∥，则；若∥，则； 若∥，则的值不存在； 若三条直线相交于同一点， 直线和联立：，直线和交点为; 直线和联立：，直线和交点为; 三条直线相交于同一点两点重合或. 故实数的取值最多有个. 故选:C 39．已知三条直线，与不能围成三角形，则a=（    ）． A． B． C． D．或或 【答案】D 【分析】利用至少两直线平行或三条直线交于同一点进行求解． 【详解】三条直线，与不能围成三角形， ①若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ②若与直线平行， 则，解得，经检验满足要求； ③若三条直线交于同一点，则联立，得， ∴交点坐标为，代入直线，得， ∴． 综上所述，则或或. 故选：D. 40．（多选）已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 题型九 点到直线的距离（共5小题） 41．“”是“点到直线的距离相等”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 【答案】A 【分析】由点到线的距离公式列出等式求得，即可判断. 【详解】解：点到直线的距离：； 点到直线的距离：， 由，得，即， 解得或，即或。 故“”是“点A、B到直线距离相等”的充分不必要条件. 故选：A 42．已知两点到直线的距离相等，则实数的值为（    ） A．0 B． C．0或 D．或 【答案】D 【分析】 利用点到直线的距离公式列方程即可得出． 【详解】由题意可得，即， 解得或 故选：D. 43．（多选）已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】直线l：可化为， 依题意得，整理得，所以或． 当时，点的坐标为； 当时，点的坐标为． 综上所述：点的坐标为或. 故选：AB． 44．在直角坐标系xOy中，点到直线上动点的最小距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由数形结合思想可得题目所求最小值即为点到直线的距离. 【详解】直线上的点到点的距离的最小值为点到直线的距离． 故选：D 45．已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 题型十 两平行线间的距离（共5小题） 46．已知直线和平行，则这两条平行线之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线平行，求出，再根据两平行直线之间距离公式求解即可. 【详解】由直线和平行，可得， 解得，故直线可写为：， 即，则这两条平行线之间的距离为. 故选：B. 47．坐标原点到直线的距离为，直线与直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点到直线的距离公式和平行线间距离公式即可求解. 【详解】化一般方程得 ， 所以， 故选：D 48．已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（   ） A．5 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由两直线平行列方程求，根据平行直线间距离公式求解即可. 【详解】当时，则满足，解得， 此时：，：， 则两直线间的距离为. 故选：B. 49．直线向左平移3个单位后，得到直线，若与的距离为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，根据直线斜率等于倾斜角的正切值求解即可. 【详解】因向左平移3个单位，得到直线. 如图，设直线过点，向左平移后过，即 若与的距离为，即.则. 所以. 因为直线的倾斜角与相等或互补. 所以直线的斜率为． 故选：B.    50．已知实数a，b，c，d满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定点在直线上，点在直线上，将的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案. 【详解】因为， 则， 即点在直线上，点在直线上， 而的几何意义为点和点之间的距离的平方， 故的最小值为两平行线和间距离的平方， 所以最小值为. 故选：A. 题型十一 最值问题（共8小题） 51．著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点之间的距离.结合上述观点，可得的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将转化为轴上一点到点与到点的距离之差.再结合进行求解. 【详解】， 可转化为轴上一点到点与到点的距离之差.，当且仅当点是射线与轴的交点时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 52．直线与直线相交于点，且对任意实数两条直线分别过定点，，则的最大值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足 ,即， , 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，则的最大值为4. 故选：A. 53．（多选）以下四个命题叙述正确的是（    ） A．直线在轴上的截距是1 B．直线和的交点为，且在直线上，则的值是 C．设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是 D．直线，若，则或2 【答案】BC 【分析】求出直线的横截距判断A；解方程组求出判断B；求出点到直线的距离判断C；验证判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距是，A错误； 对于B，由解得，即，则，解得，B正确； 对于C，依题意，，C正确； 对于D，当时，直线重合，D错误. 故选：BC 54．代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点之间距离公式分析出表示到、的距离之和，求出关于对称点为，连接交于点，此时最小. 【详解】由两点之间距离公式可以得到表示点到的距离，表示点到的距离， 所以代数式表示， 由图象可知在上运动，所以易得关于对称点为， 连接交于点，此时最小，最小值为. 故选：B. 55．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点不与重合.则的最小值是（    ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论，当时，，当时，根据直线方程确定，利用勾股定理得到,结合基本不等式即可求得结果. 【详解】直线过定点，直线过定点， ①当时，过定点的直线方程为，过定点的直线方程为， 两直线垂直，此时，所以， ②当时，直线的斜率为，直线0的斜率为， 因为，所以两直线垂直，即点可视为以为直径的圆上的点， 因为点不与点或点重合，为直角三角形，且， 所以 当且仅当时等号成立， 因为，故的最小值为. 故选：C. 56．已知直线，，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与，分别交于点M，N（M，N的纵坐标均为正数），当（O为坐标原点）的值与k无关且为定值时，的最小值为（    ） A．13 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】写出直线的方程为，与，分别联立求得与的坐标，再由，的纵坐标均为正数，得，进而得为定值，最后利用基本不等式中常数代换技巧求解最小值即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为， 所以直线的方程为， 又直线与，分别交于点M，N，所以， 因此由，得，即， 由，得，即． 又M，N的纵坐标均为正数，所以，即， 而，因此，因此，， 所以． 又因为，所以当时，为定值， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 57．若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 58．已知，若点在线段上，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点连线的斜率公式知表示点和点连线的斜率，再数形结合，即可求出结果. 【详解】如图，因为表示点和点连线的斜率， 又，所以，， 由图知，的最小值为，    故选：C. 题型十二 对称问题（共10小题） 59．点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设所求点为，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得：， 点关于直线的对称点为. 故选：B. 60．已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 61．直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案. 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：C. 62．直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 63．已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 64．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好经过，则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，由两点式写出反射光线所在的直线方程. 【详解】由点，得出其关于轴的对称点为， 又点在反射光线所在的直线上，且经轴反射后经过点， 所以反射光线所在的直线为，化简得. 故选：A 65．如图，在中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用光的反射以及轴对称的性质确定出直线的方程，再将重心坐标代入方程即可求解. 【详解】因为，所以, 建立平面直角坐标系如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点， 设，则    因为，， 所以，解得， 由光的反射原理可知：四点共线，所以， 所以，代入重心坐标即， 所以，解得或 (舍). 得，， 则, 故的周长等于 故选：C. 66．将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点与点重合，若此时轴与直线也正好重合，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】线段的中点为，即，， 所以图纸折痕所在直线方程为：， 令，得， 因为轴与直线正好重合， 所以点在直线上，所以有， 直线与直线以及轴相交于点， 得，即，代入，得， ， 故选：C 67．的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为，则BC边所在直线的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知两条直线的交点的坐标，再利用角平分线的性质求出点关于直线对称点的坐标，进而求出直线方程. 【详解】由，得，则点的坐标为， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 显然点在直线上，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 68．下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 题型十三 直线的方程与图形面积（共3小题） 69.直线中，．若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．16 【答案】B 【解析】根据题意求出三角形的面积，找到满足的条件，列举即可解出． 【详解】因为，所以直线l与坐标轴围成的三角形的面积为，于是，若时，没有这样的满足条件；若时，；若时，；若时，，所以这样的直线的条数为7． 故选：B． 70.已知直线过点，根据下列条件分别求出直线的方程． (1)在轴、轴上的截距互为相反数； (2)与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积最小． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况求直线方程； （2）写出直线的截距式方程，代入点得，利用不等式即可求解取最值时的，． 【详解】（1）①当直线经过原点时，在轴、轴上的截距互为相反数都等于0，此时直线的方程为， ②当直线不经过原点时，设直线的方程为 在直线上，，，即． 综上所述直线的方程为或 （2）由题意可知直线与两坐标轴均交于正半轴，故设直线方程为，将代入可得， 故，故，当且仅当，即时等号成立， 故此时面积最小为, 故直线方程为，即 71.已知直线l过点，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，分别求满足下列条件的直线方程： (1)时，求直线l的方程． (2)当的面积最小时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据条件可知点是的三等分点，构造直角三角形，利用相似三角形比值关系即可求出A，B两点坐标，继而求出方程; （2）利用截距式找出两截距关系，再根据代入三角形面积计算中即可找出面积的最小值，继而求出方程. 【详解】（1）作，则.    由三角形相似，，可求得，， ∴方程为，即； （2）根据题意，设直线l的方程为，由题意，知，， ∵l过点，∴，解得，∴的面积， 化简，得.① ∴，解得或（舍去）. ∴S的最小值为4， 将代入①式，得，解得， ∴.∴直线l的方程为. $