专题02 圆与方程（10知识&11题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版

该高中数学期末复习讲义以“圆与方程”为核心，通过表格系统梳理核心考点、复习目标及考情规律，分知识点模块呈现圆的方程、位置关系等内容，构建“考点-知识-方法”递进脉络，突出切线问题、最值问题等重难点内在联系。 讲义亮点在于题型分类指导与分层练习设计，如轨迹方程专题用相关点法转化问题，培养数学思维；切线问题区分圆上圆外点讨论，强化逻辑推理。基础通关与重难突破练习适配不同学生，助力教师实施精准化复习教学。

专题02 圆与方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 回顾利用相关条件写出圆的标准方程或圆的一般方程的方法，掌握相关点法求解轨迹方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 点与圆、直线与圆的最值问题 回顾能在几何图形中转化距离最值问题，能在几何图形中转化距离最值问题 重点考点，常出现在选择题，填空题，解答题 直线与圆的位置关系 回顾几何法代数法判断直线与圆的3种位置关系，能熟练运用相应的位置关系求参数，掌握几何法与代数法解决圆中弦长问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 切线问题 回顾圆切线方程的一般求解步骤，能区分过圆外一点引切线或圆上的点引切线，掌握与切线有关的最值问题的解题方法 基础考点，常出现在选择题，填空题，解答题 圆与圆的位置关系 回顾几何法判断圆与圆的5种位置关系，并且掌握根据相应的位置关系求参数的方法，掌握公共弦的求解方法 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 圆的标准方程与一般方程 1.我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 2.对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③ 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点04 求与圆有关的轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 4、根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法（相关点法），找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 知识点05直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 ①直线与圆相离无交点； ②直线与圆相切只有一个交点； ③直线与圆相交有两个交点. （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： ①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； ②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 知识点06 直线与圆相交时的弦长求法 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先考虑） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点07 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点08 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系与判定 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2、圆与圆的位置关系与判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点09圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点10 与圆有关的最值问题的求解方法 （1）借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 题型一 求圆的方程 解｜题｜技｜巧 核心方法：待定系数法 1.抓核心量：锁定“圆心坐标”和“半径”，选标准式（几何特征）或一般式（代数运算）。 2.条件对应法：知圆心/半径/切线/弦：用圆的标准方程，结合几何性质（垂直平分线、点到线距离）列方程；知三点/截距：用圆的一般方程，代入坐标解方程组。 易错提醒：一般式需验证（D2+E2-4F>0)，圆心坐标注意符号。 【典例1】已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可确定圆心和半径，写出圆的标准方程即可. 【详解】由已知圆心坐标为，半径为1， 所以圆的方程为. 故选：. 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线方程变形为. 令，解得，所以点的坐标为. 故圆心，半径. 所以圆的方程为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题意求出点坐标和直线的斜率即可求解； （2）根据四边形为平行四边形求出点坐标，又由得，从而半径为，进而写出圆的标准方程. 【详解】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为． 题型二 利用圆的一般方程条件求参 解｜题｜技｜巧 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可. 【详解】由，得， 解得. 故选：B 【变式1】已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆的标准方程为， 故，解得或， 所以的取值范围为. 【变式2】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（ ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 【答案】ACD 【详解】由题意，方程，可化为， 若方程表示圆，则圆的圆心坐标为，半径， 中，当时，可得，所以正确； 中，当时，此时半径为，所以错误； 中，当时，表示的圆的半径为，所以正确； 中，当时，此时半径大于0，表示圆心为的圆，所以正确；故选：ACD 题型三 轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例1】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 【变式1】已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设点M的坐标带入方程整理即可 【详解】两点，，设， 由，可得，整理得， 当时，，故点为定点，不是圆，所以充分性不成立， 当动点的轨迹是圆，则，故必要性成立， 所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.故选：B 【变式2】已知圆过三个点. （1）求圆的方程； （2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 【答案】（1）；（2） 【分析】第一问利用圆的一般方程即可求解，第二问运用相关点法来解决 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆过三个点， 可得，解得， 所以圆的方程为，即. （2）因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上， 以为直径的圆的方程为， 联立方程组，解得或， 所以点的轨迹方程为. 【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【分析】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【详解】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 题型四 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ；。圆心到直线的距离：。 ①圆与直线相交。 ②圆与直线相切。 ③圆与直线相离。 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 【答案】 【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆的圆心，半径， 由题意圆心到直线的距离， 则，解得. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【答案】 【分析】应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由题设，圆心到直线的距离， 又圆的半径，则弦长为，可得， 所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 题型五 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 圆切线方程的求法 ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 【典例1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分2种情况讨论：①直线l的斜率不存在，则其方程为，易得其与圆相切；②直线l的斜率存在，设其方程为，根据直线l与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，求出k的值即可． 【详解】圆化为标准方程为，得圆心，半径为2， 当直线l的斜率不存在时，直线， 此时直线l与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 由相切得， 所以，平方化简得，求得直线方程为， 综上，直线l的方程为或 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，可求出点、的坐标，利用平面内两点间的距离公式可求得的值. 【详解】由题意可知，圆心为，半径为， 因为，所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，，   ，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 因此，. 故答案为：. 【变式2】过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用点到圆心的距离结合切线的几何性质，可得劣弧所对的圆心角，进而可求. 【详解】，即，则圆心，， 则，则中，， 则，则. 故选：A. 题型六 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 1.直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的弦长公式，准确计算，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 又由圆心到直线，可得， 所以直线截圆所得的弦长为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期末）过点的被圆所截的弦长为的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】由题意分满足题意的直线斜率是否存在进行讨论，结合圆心到直线的距离公式、弦长公式进行验算或者求解即可. 【详解】当满足题意的直线斜率不存在即直线方程为时， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 此时该直线被圆所截的弦长为，故直线方程满足题意； 当满足题意的直线斜率存在时，不妨设直线方程为， 圆心到该直线的距离为，而圆的半径为， 若该直线被圆所截的弦长为， 则有，解得， 即此时满足题意的直线方程为. 故答案为：或 【变式2】（23-24高二上·江苏·期末）设直线与圆相交于A，B两点，则弦长的最小值是 . 【答案】 【分析】易得直线过定点，当定点与圆心连线垂直直线时，弦取得最小值，运算得解. 【详解】直线过定点，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的最大距离， 所以弦长的最小值是. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化直线的方程为斜截式，再由已知列出不等式求解. （2）求出圆的圆心及直线所过的定点，借助几何意义确定圆心到直线的距离最大的条件，进而求出直线方程. 【详解】（1）直线：化为， 由不经过第三象限，得，解得， 所以的取值范围是. （2）圆：的圆心，直线：恒过定点， 当且仅当时，点到直线的距离最大，此时直线的斜率， 直线的斜率，直线的方程. 题型七 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 几何法 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 【变式1】（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，设点，结合点为线段的中点，可得，求出的轨迹方程即可判断；对于B，根据切线长定理结合勾股定理转化为利用二次函数的性质求距离最小值即可；对于C，利用圆和圆的位置关系确定切线有几条；对于D，将的最大值问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值即可求解. 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点， 由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确； 故选：BCD. 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 题型八 两圆公共弦方程 解｜题｜技｜巧 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【典例1】圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆的公共弦所在直线，利用圆中半径、半弦长、圆心距之间的关系求弦长. 【详解】两圆方程作差可得：， 即两圆公共弦所在直线方程为， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到公共弦所在直线距离， 故弦长为. 故选：B 【变式1】（多选）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有　　 A． B．直线的方程为 C．中点的轨迹方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【答案】 【详解】两圆方程相减可得直线的方程为，即， 因为圆的圆心为，半径为1，且公共弦的长为1，则到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，故错误，正确； 由圆的性质可知直线垂直平分线段．所以到直线的距离即为中点与点的距离， 设中点坐标为，因此，即，故正确； 因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为， 三角形的面积为， 所以圆与圆公共部分的面积为，故错误． 故选：． 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 【答案】 【分析】由题知线段AB是一条公共弦，写出以为直径的圆的一般方程，与圆的方程相减，消去，即得所求直线方程. 【详解】如图： 圆的圆心坐标为，且A、B在以PC为直径的圆上， 由圆的直径式方程，得以为直径的圆的方程. （直径式方程应用直径对应圆周角为直角，利用向量垂直坐标表示得到）， 所求直线方程为. 故答案为： 题型九 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 与圆有关的最值问题的常见题型 1.斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2.截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4.圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5.直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 6.切线长的最值问题多通过切点三角形，转化为到圆心的距离问题 【典例1】（1）（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． （2）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 【变式2】已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：.    【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用已知条件可以得出点P在半圆C：上，数形结合，可知的取值范围，从而判断A选项；可看作点到半圆上的点P的距离的平方，从而判断B选项；对于C，D，可以看作直线的斜率进行判断. 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 题型十 阿氏圆问题 解｜题｜技｜巧 定义：平面上给定两点,设点在同一平面上满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆。(时，点的轨迹是线段的中垂线) 定理：为两已知点，分别为线段的定比的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏·期末）若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（   ） A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确. 【详解】设，由得：， ，整理可得：， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确； 对于B，，若的面积取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大， 点到直线的距离的最大值为， 面积的最大值为，B错； 对于C，圆心到直线的距离， 即直线和圆相离， 点到直线距离的最大值为，C正确； 对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，， 解得：，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 【变式2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10 C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为9 【答案】AD 【分析】由题意可设点，由两点的距离公式代入化简可判断A选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B选项.设，由已知得，联立方程求解可判断C选项；由点到直线的距离公式求得C上的点到直线的最大距离，由此可判断D选项. 【详解】解：由题意可设点，由，，，得， 化简得，即，故A正确； 点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误. 设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误； C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确； 故选：AD. 题型十一 圆方程的综合 解｜题｜技｜巧 结合具体问题分析，注意范围限制与分类讨论 【典例1】（24-25高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． (1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【答案】(1)和 (2)[] 【分析】（1）先求出圆心坐标，之后利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求切线方程，注意按照斜率是否存在进行讨论； （2）利用求出点的轨迹方程，之后由题意转化为两个圆有交点的问题，列不等式计算的范围. 【详解】（1）解：因为圆心同在直线和直线上， 所以，解得所以圆心， 所以圆的方程为：，则圆的切线： 若过点的直线斜率不存在，此时恰为圆的切线； 若过点的直线斜率存在， 设直线方程为：，即， 因为直线与圆相切，所以，解得：， 所以切线方程为：，即， 综上可知：过点圆的切线方程为：和． （2）设点，因为，所以， 则，即的轨迹方程为， 所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又因点在圆上，则圆与圆必有公共点， 又圆的圆心，半径为， 则，即， 即，解得：， 所以圆心的横坐标的取值范围为[] . 【变式1】（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1)和 (2)过定点 【分析】（1）当时，OM的长最小，求出直线的方程并与直线l的方程联立可得到点M的坐标，设过点M的圆O的切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径即可求出直线的斜率，得到切线的方程，要注意考虑斜率不存在的情况. （2）设点M的坐标，构造以M为圆心，线段MP为半径的圆的方程为，此时圆M与圆O的公共弦为PQ，求出直线PQ的方程就可以得到直线所过的定点. 【详解】（1） 当时，OM的长最小，根据两直线垂直斜率之积等于，可得直线的斜率为2； 此时可得直线OM的方程为， 联立，得交点， 当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为，则有，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为和. （2） 设，则， 因此，以M为圆心，MP为半径的圆的方程为M：， 此时圆M与圆O的公共弦为PQ， 两圆方程相减，得到圆M与圆O的公共弦为PQ的方程为， 即，由，得， 因此直线PQ过定点. 【变式2】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由已知求出圆心，以及圆的方程.分切线斜率不存在，以及斜率存在两种情况，分别求解即可得出答案； （2）由已知求出点满足的轨迹为圆，并求出圆的方程.根据已知得出圆与圆有公共点，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）联立可得圆心， 所以，圆的方程为. 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到的距离，满足题意； 当切线斜率存在时，设切线斜率为， 切线方程为，即. 因为与圆相切， 所以有到的距离， 即，整理可得，解得， 所以，切线方程为，整理可得. 综上所述，切线方程为或. （2）设圆心，， 则，. 由可得，， 整理可得，，即， 所以，点在以为圆心，为半径的圆上. 由已知可得，圆与圆有公共点， 所以，，即， 平方整理可得，，解得或. 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，由中点坐标公式可得出，由已知可得出，将代入等式，化简可得出点的轨迹方程； （2）设，则，分析可知以中点为圆心，为半径的圆与圆外离，利用圆与圆的位置关系可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围，即为所求. 【详解】（1）解：设，因为点是线段的中点，则，可得， 因为点在圆上，则，即， 整理可得， 所以点的轨迹方程为. （2）解：设，则， 当在圆上运动时，恒为锐角， 等价于以中点为圆心，为半径的圆与圆外离． 且圆的圆心坐标为，半径为， 所以，解得或， 所以线段中点的横坐标取值范围为． 期末基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·江苏泰州·期末）圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心. 【详解】由的标准式为，故圆心为. 故选：A 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出定点的坐标，然后根据圆的标准方程（其中为圆心坐标，为半径）来确定圆的方程. 【详解】将直线方程变形为. 令，解得，所以点的坐标为. 故圆心，半径. 所以圆的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 因为直线与圆相切， 故，故，所以点在圆内. 故选：C 5．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】A 【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 7．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 8．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期末）若圆：与圆：的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 【答案】AD 【分析】将圆和圆的方程相减即可判断A，线段的中垂线即为直线，可判断B选项，易知点在圆外，讨论斜率是否存在即可求解切线方程，可判断C，令，代入圆的方程，解方程即可判断D. 【详解】易知圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 对于A，两圆心距为，此时，两圆相交； 所以两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，即A正确； 对于B，由圆的性质可知，线段中垂线即为即为直线，其方程为， 化简可得，所以B错误； 对于C，易知点在圆：外， 当切线斜率不存在时，直线方程为，不合题意； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 因此圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即C错误； 对于D，令，代入圆的方程整理可得， 该方程有解，故，解得， 即的最大值为2，所以D正确. 故选：AD 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 10．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系xoy中，已知， M上存在两点关于直线对称. (1)求圆M的半径； (2)过坐标原点O的直线l被M得的弦长为，求l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先将圆的方程化成标准方程，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求解； （2）根据圆的几何性质求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解. 【详解】（1）圆方程可化为：， 则圆心为，半径. 因为上存在两点关于直线对称， 所以点在直线上，所以，解得， 所以的半径. （2）由（1）可得，圆心为，半径. 因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 直线的斜率存在，设直线的方程为，则解得. 所以直线的方程为，即. 综上可得直线的方程为或. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. (1)求圆A的标准方程； (2)求过点且与圆A相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据已知条件求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程. （2）判断直线符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【详解】（1）设圆心为，半径为r，由， 得，得， 点A的坐标为，圆半径， 圆A的标准方程为； （2）画出圆的图象如下图所示， 由图可知，直线过点，且与圆相切， 当过点与圆相切的直线斜率存在时， 设切线方程为， 到直线的距离，解得， 所以切线方程为. 综上所述，切线方程为或. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，可判断结果. 【详解】根据题意，圆，圆， 联立可得：，即两圆的公共弦所在的直线为， 圆，即，其圆心为， 若圆 平分圆 的周长，则圆心 在直线上， 代入解得 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程及线段长，再求出点到直线距离的最小值即可. 【详解】由点，，得， 直线：，即， 因为圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值， 所以△PAB面积的最小值为. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 4．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BD 【分析】求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A错误； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则， 解得，B正确； 对于C，当时，圆与外离，则，C错误； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：BD 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离大于且小于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆上恰有两个点到直线的距离为， 则使得圆心到直线的距离大于且小于，即， 解得或， 又，所以， 即正实数的取值范围为. 故答案为： 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 8．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在点P，理由见解析. 【分析】（1）由题设圆的方程为、，讨论直线斜率的存在性，结合点线距离公式求直线方程； （2）根据已知及两点距离公式得点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N，进而得到圆内含于圆N，即可得结论. 【详解】（1）因为，且以点为圆心的圆与y轴相切， 所以圆的方程为． 因为， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 设l的方程为，则到l的距离为， 所以，故，所以l的方程为， 综上，l的方程为或． （2）设，由点P到距离之比为， 得，即， 所以点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N， 由，则圆内含于圆N， 所以不存在点P，使得点P到距离之比为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 圆的方程 回顾利用相关条件写出圆的标准方程或圆的一般方程的方法，掌握相关点法求解轨迹方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 点与圆、直线与圆的最值问题 回顾能在几何图形中转化距离最值问题，能在几何图形中转化距离最值问题 重点考点，常出现在选择题，填空题，解答题 直线与圆的位置关系 回顾几何法代数法判断直线与圆的3种位置关系，能熟练运用相应的位置关系求参数，掌握几何法与代数法解决圆中弦长问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 切线问题 回顾圆切线方程的一般求解步骤，能区分过圆外一点引切线或圆上的点引切线，掌握与切线有关的最值问题的解题方法 基础考点，常出现在选择题，填空题，解答题 圆与圆的位置关系 回顾几何法判断圆与圆的5种位置关系，并且掌握根据相应的位置关系求参数的方法，掌握公共弦的求解方法 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 圆的标准方程与一般方程 1.我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 2.对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③ 知识点02 点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点03 圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 知识点04 求与圆有关的轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 4、根据题设条件的不同常采用以下方法： （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （3）几何法，利用圆的几何性质列方程； （4）代入法（相关点法），找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式 知识点05直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系判断 （1）几何法判断直线与圆的位置关系： 直线与圆，圆心到直线的距离 ①直线与圆相离无交点； ②直线与圆相切只有一个交点； ③直线与圆相交有两个交点. （2）代数法判断直线与圆的位置关系： 联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断： ①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； ②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； ③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离； 知识点06 直线与圆相交时的弦长求法 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先考虑） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点07 直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线 ②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点08 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系与判定 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 2、圆与圆的位置关系与判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d （2）代数法 设: : 联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其 ①与设设相交 ②与设设相切（内切或外切） ③与设设相离（内含或外离） 知识点09圆与圆的公共弦 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 知识点10 与圆有关的最值问题的求解方法 （1）借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题. （2）建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值. （3）求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路： ①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 题型一 求圆的方程 解｜题｜技｜巧 核心方法：待定系数法 1.抓核心量：锁定“圆心坐标”和“半径”，选标准式（几何特征）或一般式（代数运算）。 2.条件对应法：知圆心/半径/切线/弦：用圆的标准方程，结合几何性质（垂直平分线、点到线距离）列方程；知三点/截距：用圆的一般方程，代入坐标解方程组。 易错提醒：一般式需验证（D2+E2-4F>0)，圆心坐标注意符号。 【典例1】已知的圆心C在x轴上，且与x轴相交于坐标原点O和，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 题型二 利用圆的一般方程条件求参 解｜题｜技｜巧 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项； 【典例1】（24-25高二上·江苏宿迁·期中）方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知方程，则下列说法正确的是（ ） A．方程表示圆，且圆的半径为1时， B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示圆且圆的半径为 D．当时，方程表示圆心为的圆 题型三 轨迹方程 解｜题｜技｜巧 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典例1】已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】已知圆过三个点. （1）求圆的方程； （2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹. 【变式3】（25-26高二上·江苏·期中）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 题型四 直线与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 ；。圆心到直线的距离：。 ①圆与直线相交。 ②圆与直线相切。 ③圆与直线相离。 【典例1】（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知圆：若直线(斜率存在)与圆相交于，两点，且弦的长为，求 . 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【变式2】（24-25高二上·江苏南京·期末）若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 题型五 圆的切线问题 解｜题｜技｜巧 圆切线方程的求法 ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 【典例1】过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 【变式2】过点作圆的两条切线，切点分别为，则劣弧的长度是（    ） A． B． C． D． 题型六 圆的弦长问题 解｜题｜技｜巧 1.直线与圆相交的弦长的两种求法 （1）代数法：将直线和圆的方程联立，整理得到一个一元二次方程，根据弦长公式求弦长. 弦长公式： （2）几何法：若弦心距为，圆的半径为，则弦长 . 2. 过圆内定点的弦长最值 已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）直线被圆截得的弦长为 【变式1】（23-24高二上·江苏扬州·期末）过点的被圆所截的弦长为的直线方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·江苏·期末）设直线与圆相交于A，B两点，则弦长的最小值是 . 【变式3】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知直线：，圆：. (1)若不经过第三象限，求的取值范围； (2)当圆心到直线的距离最大时，求此时直线的方程. 题型七 圆与圆的位置关系 解｜题｜技｜巧 几何法 【典例1】（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【变式1】（多选）已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是（    ） A．的轨迹方程为 B．过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C．圆和圆有两条公切线 D．的最大值为 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 题型八 两圆公共弦方程 解｜题｜技｜巧 1、圆与圆的公共弦 圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2、公共弦所在直线的方程 设: : 联立作差得到：即为两圆共线方程 3、公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 【典例1】圆与圆的公共弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）若圆与圆的公共弦的长为1，则下列结论正确的有　　 A． B．直线的方程为 C．中点的轨迹方程为 D．圆与圆公共部分的面积为 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过点作圆的切线，切点为A、B，则过切点A，B的直线方程为 ． 题型九 与圆有关的最值问题 解｜题｜技｜巧 与圆有关的最值问题的常见题型 1.斜率型 形如形式的最值问题，可转化为过点和的动直线斜率的最值问题． 2.截距型 形如形式的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题． 3.距离型 （1）形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． （2）形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题． 4.圆上动点与定点的最值问题 圆上的动点有关的最值，可以转化为与圆心有关，通过加减半径解决 5.直线上动点与圆心的最值问题 直线动点与圆上点的最值关系，可以转化为圆心到直线的距离 6.切线长的最值问题多通过切点三角形，转化为到圆心的距离问题 【典例1】（1）（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． （2）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【变式1】（23-24高二上·江苏无锡·期末）已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【变式2】已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 题型十 阿氏圆问题 解｜题｜技｜巧 定义：平面上给定两点,设点在同一平面上满足，当且时，点的轨迹是圆，称之为阿波罗尼斯圆。(时，点的轨迹是线段的中垂线) 定理：为两已知点，分别为线段的定比的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为 【典例1】（多选）（24-25高二上·江苏镇江·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏·期末）若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（   ） A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【变式2】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A．C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10 C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为9 题型十一 圆方程的综合 解｜题｜技｜巧 结合具体问题分析，注意范围限制与分类讨论 【典例1】（24-25高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，点，圆的半径为，且圆心在直线：上． (1)若半径，圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2)若半径，圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围． 【变式1】（23-24高二上·江苏·期末）已知点M是直线l: 上一动点，过点M作圆O:切线，切点分别为P，Q. (1)当OM的值最小时，求切线方程; (2)试问:直线PQ是否过定点?若过，求出该定点；若不过，请说明理由. 【变式2】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知圆的半径为3，圆心在直线上，点. (1)若圆心在轴上，过点A作圆的切线，求切线方程； (2)若在圆上存在点，满足（为坐标原点），求圆心的横坐标的取值范围. 【变式3】（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知点，是圆上的一动点，点是线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知、是直线上两个动点，且．若恒为锐角，求线段中点的横坐标取值范围． 期末基础通关练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·江苏泰州·期末）圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线恒过点P，则以点P为圆心，为半径的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·江苏扬州·期末）设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 5．（24-25高二上·江苏淮安·期末）设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 7．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 8．（多选）（24-25高二上·江苏徐州·期末）若圆：与圆：的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 9．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 10．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系xoy中，已知， M上存在两点关于直线对称. (1)求圆M的半径； (2)过坐标原点O的直线l被M得的弦长为，求l的方程. 12．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知圆A经过两点，，且圆心A在直线上. (1)求圆A的标准方程； (2)求过点且与圆A相切的直线方程. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A． B．6 C．8 D． 2．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（　　） A． B．9 C．6 D．3 3．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·江苏常州·期末）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 6．（24-25高二上·江苏南京·期末）若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为 . 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 8．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $