专题01 直线与方程（10知识&9题型&分层验收）（期末复习讲义）高二数学上学期苏教版

该高中数学“直线与方程”期末复习讲义以“核心考点引领-知识点系统梳理-考情规律分析”构建知识体系，通过表格清晰呈现倾斜角与斜率、直线方程五种形式等核心内容，对比不同方程的局限性与适用条件，直观展示平行垂直关系的判定方法，突出知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“解题技巧+分层训练”设计，如斜率动态变化问题结合数形结合思想培养数学眼光，直线过定点问题用分离参数法渗透数学思维，典例融入斜拉桥等生活情境。基础通关练与重难突破练覆盖不同层次，助力学生掌握距离公式、对称问题等关键方法，为教师实施精准教学和学生自主复习提供有力支持。

专题01 直线与方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线倾斜角和斜率 回顾直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义，掌握数形结合思想解决倾斜角和斜率的动态变化问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 直线的五种方程及相互转化 回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程的推导，掌握五种直线的相互转化并能熟练运用点斜式与斜截式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 两条直线平行与垂直 回顾直线的平行、垂直与斜率、截距之间的关系，能应用两条直线平行或垂直规律解决相关问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线交点 回顾直线的交点与方程组的解内在联系，能熟练运用两条直线相交的性质求待定参数。 基础考点，常出现在选择题，填空题 平面上的距离 回顾平面内点与直线的距离，两点之间的距离，两平行线间的距离公式推导，并能解决与距离有关的平面几何问题。 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 直线倾斜角的定义 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α<π} 作用 (1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可 知识点02 直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____k＝_______. 知识点03 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点04 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 知识点05 两条直线平行与垂直 1.两条直线平行： 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在. 2.两条直线垂直： 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 知识点06 直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07 两条直线的交点坐标 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点08 ：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点09 点到直线的距离 1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度 2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 知识点10 两条平行线间的距离 1．点关于点对称 点关于点对称后得到点，则由中点坐标公式得. 2．直线关于点对称 求直线关于点对称的直线 （1）法一：在所求直线上任取一点，则它关于点对称的点为，代入已知直线中，则所求直线的方程为； （2）法二：在已知直线上任取一点（一般取整数点），求它关于点对称的点，利用然后关于点对称的两直线与斜率相等，求出斜率，再用点斜式求出的方程. 3．点关于直线对称 求点关于直线对称的点 （1）法一：直接列方程组，解出； （2）法二：先求出线段所在直线（点斜式），再求出线段的中点（两条直线的交点），利用交点关于中点对称求出点. 4．直线关于直线对称 求直线关于直线对称的直线 （1）法一：在已知直线上任取一点，然后关于的对称点，再结合与交点联立求解； （2）法二：利用两条相交直线的到角公式求解 ①直线到的角（方向角），，当时，. ②直线与的夹角，，当时，. 题型一 直线的倾斜角与斜率 解｜题｜技｜巧 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平 3、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·江苏·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 题型二 根据直线与线段的相交关系求斜率取值范围 解｜题｜技｜巧 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【典例1】（24-25高二上·江苏·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B．C． D． 【变式2】已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 题型三 求直线方程 解｜题｜技｜巧 ①点斜式方程形式： ②斜截式方程形式： ③两点式方程形式： ④截距式方程形式： ⑤一般式：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 【典例1】（25-26高二上·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【变式1】已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 题型四 直线过定点问题 解｜题｜技｜巧 直线系过定点问题核心解题技巧是分离参数法，同时可结合特殊值法辅助验证。 1.将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离开，整理为参数×含参代数式+不含参代数式=0的形式，即λ⋅f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ为参数，f(x,y)、g(x,y)为关于x、y的代数式）。 2.联立方程：由于参数λ可取任意实数，要使等式恒成立，需满足含参项和不含参项同时为0，即联立方程组后解方程组即可求解 【典例1】已知直线：.则直线经过定点 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 题型五 根据两条直线平行或垂直关系求参数 解｜题｜技｜巧 1、若两条直线的方程为，有 (1)且; (2)与重合且; (3)与相交； (4); 2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有： (1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在. 3.若直线不为零)，有： (1)且; (2); (3)与相交; (4)与重合且. 【典例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【变式1】已知直线与，则“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 题型六 两直线的交点问题 解｜题｜技｜巧 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 【典例1】直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【变式1】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【变式2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 题型七 平面中点线距离公式及其应用 解｜题｜技｜巧 1、平面上任意两点，间的距离公式为 2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3、两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 题型八 平面内点与直线间的对称问题 解｜题｜技｜巧 1、点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 2.（1）直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，，两点求出直线 （2）直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【变式1】点关于直线的对称点的坐标为 ． 【变式2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【变式4】直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 题型九 直线方程与面积的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于直线，令；令，则面积 （1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误； （2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围 【典例1】已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 【变式1】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线. (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 期末基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏·期末）若点到直线的距离相等，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 8．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则 ． 10.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 4.（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 5．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 7．已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 9. （24-25高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 直线与方程（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 直线倾斜角和斜率 回顾直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义，掌握数形结合思想解决倾斜角和斜率的动态变化问题 基础考点，常出现在选择题，填空题 直线的五种方程及相互转化 回顾直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程的推导，掌握五种直线的相互转化并能熟练运用点斜式与斜截式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 两条直线平行与垂直 回顾直线的平行、垂直与斜率、截距之间的关系，能应用两条直线平行或垂直规律解决相关问题 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线交点 回顾直线的交点与方程组的解内在联系，能熟练运用两条直线相交的性质求待定参数。 基础考点，常出现在选择题，填空题 平面上的距离 回顾平面内点与直线的距离，两点之间的距离，两平行线间的距离公式推导，并能解决与距离有关的平面几何问题。 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01 直线倾斜角的定义 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α称为这条直线的倾斜角 规定 与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0 范围 {α|0≤α<π} 作用 (1)用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可 知识点02 直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为____k＝_______. 知识点03 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 知识点04 直线方程的五种形式 方程形式 直线方程 局限性 选择条件 点斜式 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知斜率；②已知 一点 斜截式 y=kx+b 不能表示与x轴垂直的直线 ①已知在y轴上的截距；②已知斜率 两点式 不能表示与x轴、 y轴垂直的直线 ①已知两个定点；②已知两个截距 截距式 不能表示与x轴垂直、与y轴垂直、过原点的直线 ①已知两个截距；②已知直线与两条坐标轴围成的三角形的面积 一般式 Ax+By+C=0 (A,B不全为0) 表示所有的直线 求直线方程的最后结果均可以化为一般式方程 知识点05 两条直线平行与垂直 1.两条直线平行： 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在. 2.两条直线垂直： 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： l1⊥l2⇔k1·k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零 知识点06 直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 知识点07 两条直线的交点坐标 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 知识点08 ：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点09 点到直线的距离 1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度 2.点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 知识点10 两条平行线间的距离 1．点关于点对称 点关于点对称后得到点，则由中点坐标公式得. 2．直线关于点对称 求直线关于点对称的直线 （1）法一：在所求直线上任取一点，则它关于点对称的点为，代入已知直线中，则所求直线的方程为； （2）法二：在已知直线上任取一点（一般取整数点），求它关于点对称的点，利用然后关于点对称的两直线与斜率相等，求出斜率，再用点斜式求出的方程. 3．点关于直线对称 求点关于直线对称的点 （1）法一：直接列方程组，解出； （2）法二：先求出线段所在直线（点斜式），再求出线段的中点（两条直线的交点），利用交点关于中点对称求出点. 4．直线关于直线对称 求直线关于直线对称的直线 （1）法一：在已知直线上任取一点，然后关于的对称点，再结合与交点联立求解； （2）法二：利用两条相交直线的到角公式求解 ①直线到的角（方向角），，当时，. ②直线与的夹角，，当时，. 题型一 直线的倾斜角与斜率 解｜题｜技｜巧 1、我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用字母表示，即 2、如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式： （1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在； （2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换； （3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平 3、斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【典例1】（23-24高二上·江苏泰州·期末）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 【变式1】（24-25高一上·江苏·月考）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率公式计算可得. 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为， 所以，即，解得. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·江苏无锡·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知动点到两直线与的距离之和为 ，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹，画出图形，再利用的几何意义求出最大值. 【详解】依题意，，即， 于是得或或或， 动点的轨迹如图中正方形，其中， 表示正方形边上的点与定点确定直线的斜率， 观察图象知，当点与点重合时，直线的斜率最大， 所以的最大值为. 故答案为： 题型二 根据直线与线段的相交关系求斜率取值范围 解｜题｜技｜巧 斜率与倾斜角的联系 倾斜角 （范围） 斜率 （范围） 不存在 【典例1】（24-25高二上·江苏·期中）已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可. 【详解】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是.    故选：B. 【变式1】已知直线l经点， 若直线与线段 相交， 则直线斜率的取值范围为（    ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】先求出直线与直线的斜率，再结合直线与线段相交的条件，确定直线斜率的取值范围. 【详解】已知，，根据过两点直线斜率公式，可得： 已知，，同理可得： 当直线绕点从位置旋转到与轴重合时，斜率的范围是； 当直线绕点从与轴重合旋转到位置时，斜率的范围是. 所以直线斜率的取值范围是. 故选：B.    【变式2】已知两点，若直线与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线， 变形可得， 由，解得， 可得直线恒过定点，则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 题型三 求直线方程 解｜题｜技｜巧 ①点斜式方程形式： ②斜截式方程形式： ③两点式方程形式： ④截距式方程形式： ⑤一般式：定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 【典例1】（25-26高二上·江苏·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可． 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得． （2）因为，，所以． 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以． 【变式1】已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【详解】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A 【变式3】（25-26高二上·江苏盐城·月考）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． (1)若边上的高所在的直线方程为，求直线的方程； (2)若的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求得，由点斜式求得直线的方程； （2）设点，得线段的中点的坐标，将其代入直线的方程，将点代入直线的方程，分别可得的方程，求解得坐标，求出点关于直线对称点，由三点共线求出，进而可得直线的方程． 【详解】（1）∵直线的方程为，其斜率为， ∵，∴，又， ∴由点斜式得直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称点为， 则，得，即， 因三点共线，则， 所以直线所在的直线方程为，即． 题型四 直线过定点问题 解｜题｜技｜巧 直线系过定点问题核心解题技巧是分离参数法，同时可结合特殊值法辅助验证。 1.将直线方程中含参数的项与不含参数的项分离开，整理为参数×含参代数式+不含参代数式=0的形式，即λ⋅f(x,y)+g(x,y)=0（其中λ为参数，f(x,y)、g(x,y)为关于x、y的代数式）。 2.联立方程：由于参数λ可取任意实数，要使等式恒成立，需满足含参项和不含参项同时为0，即联立方程组后解方程组即可求解 【典例1】已知直线：.则直线经过定点 【答案】 【分析】转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 解得， 所以直线恒过定点； 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·期末）直线经过的定点坐标为 . 【答案】 【分析】把方程化为关于的等式，然后由恒等式知识求解． 【详解】已知直线方程化为， 由得，所以直线过定点． 故答案为：． 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 题型五 根据两条直线平行或垂直关系求参数 解｜题｜技｜巧 1、若两条直线的方程为，有 (1)且; (2)与重合且; (3)与相交； (4); 2、特别指出:上述给出的为斜截式方程，其斜率心定存在，在一般情况下有： (1)两条直线或均不存在，直线或中一个为零，另一个不存在. 3.若直线不为零)，有： (1)且; (2); (3)与相交; (4)与重合且. 【典例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线，若，则的值为（　　） A． B．3 C．-1 D．3或-1 【答案】A 【分析】根据直线平行公式计算求参. 【详解】当或时两直线不平行， 当且时， 因为， 所以， 故选:A． 【变式1】已知直线与，则“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用两直线垂直的充要条件得到，从而得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当直线与垂直时，，即， 解得或， 所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【答案】C 【分析】根据两直线平行的公式求解即可. 【详解】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C 【变式3】（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知直线直线则（    ） A．在y轴上的截距为 B．恒过点 C．当时 D．当时， 【答案】AC 【分析】利用截距概念可判断A；根据直线方程可判断B；利用两直线垂直时，斜率之积为可判断C；举反例可判断D. 【详解】对于A即故直线在y轴上的截距为故A正确； 对于B即令 可得即直线恒过点故B错误； 对于C，当时，即故故C正确； 对于D，当时，令此时直线 与直线重合，两直线不平行，故D错误. 故选：AC. 题型六 两直线的交点问题 解｜题｜技｜巧 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)， 则l1与l2的交点坐标就是方程组的解 【典例1】直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）若直线：与：的交点在第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，联立方程组可得交点的坐标为； 又因为点在第一象限，所以，解得. 即直线的斜率取值范围为，设其倾斜角为， 即，所以倾斜角的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 题型七 平面中点线距离公式及其应用 解｜题｜技｜巧 1、平面上任意两点，间的距离公式为 2、点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ 3、两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 【典例1】（24-25高二上·江苏徐州·期末）两条平行直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 【变式1】已知点和直线，则点到直线的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【解析】由， 即， 令，解得， 则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 【变式2】当实数k变化时，直线到直线的距离的最大值是______. 【答案】 【分析】两直线平行且垂直于时，距离最大 【详解】由可得过定点，由可得过定点. 又两直线斜率相等，可知两直线平行且垂直于时，距离最大，最大值即为两点间的距离. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 题型八 平面内点与直线间的对称问题 解｜题｜技｜巧 1、点关于直线对称问题步骤： 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：：中； ② 整理得： 2.（1）直线：：（）和：：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，，两点求出直线 （2）直线：：（）和：：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【典例1】（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】设对称点为，由题意可得，求解即可. 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 【变式1】点关于直线的对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点的坐标为. 【变式2】已知直线：关于直线的对称直线为轴，则的方程为 . 【答案】或 【详解】直线交轴于点，交轴于点， 设直线的方程为， 则关于直线的对称点在轴上， 所以，则的中点在直线上，所以①， 又②，联立①②可得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知的一条内角平分线所在直线的方程为，两个顶点为． (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求第三个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于直线对称列方程组求点即可； （2）根据点关于直线对称列方程组求点即可. 【详解】（1）设点关于直线的对称点的坐标为， 则有，解得，故点的坐标为 （2）设，则有，解得，故点的坐标为. 【变式4】直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【详解】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D 【变式5】（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线，且点在直线上，． (1)求直线的方程； (2)若点与点关于直线对称，求证：点在轴上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，求得直线的斜率，利用点斜式求出方程； （2）联立直线与直线的方程求出点，利用中点坐标公式求解. 【详解】（1）因为，即，所以直线的斜率为. 设直线的斜率为，因为， 所以，所以. 所以直线的方程，即. （2）因为，所以，即. 设，则，所以，即. 因为，所以点在轴上. 题型九 直线方程与面积的综合应用 解｜题｜技｜巧 对于直线，令；令，则面积 （1）解题时注意很容易忽略绝对值而造成错误； （2）常设计基本不等式，转化为二次函数等方法求面积最值或范围 【典例1】已知一条动直线，直线l过动直线的定点P，且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． (2)当取得最小值时，求直线l的方程． 【答案】(1)存在，3x＋4y－12＝0 (2)3x＋3y－10＝0 【分析】（1）将直线方程化为，再根据定点满足条件列式，再设直线l的截距式方程，代入定点P，再分别表示△AOB的周长和面积，求解参数即可； （2）由（1）直线l的倾斜角，再根据三角函数表达出，令，再根据三角函数的范围与函数的单调性求解即可. 【详解】（1），即， 由，解得，故动直线过定点． 设直线l的方程为， 将代入得．① 由A（a，0），B（0，b），△AOB的周长为12，面积为6，得， 令a＋b＝t，则，所以，即，化简得24t＝168，解得t＝7， 所以有，解得或． 其中不满足①，满足①． 所以存在直线l的方程为，即3x＋4y－12＝0满足条件． （2）由（1）可知直线l过定点，直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，所以直线l的倾斜角， 所以，， 所以，② 令， 因为，所以，所以， 所以． 则， 因为在上为减函数，所以在上为增函数， 故当，即时，取得最小值． 此时直线l的方程为，即3x＋3y－10＝0． 【变式1】（24-25高二上·江苏·专题练习）已知直线l：． （1）若直线不经过第二象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由方程可知：时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，． 直线不经过第二象限，，解得 当时，直线变为满足题意． 综上可得：k的取值范围是； （2）由直线l的方程可得，． 由题意可得，解得． 当且仅当时取等号． 的最小值为4，此时直线l的方程为． 【变式2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知直线. (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)6 【分析】（1）先求出点关于直线的对称点，再求出直线的方程即可； （2）将直线的方程化为，再解方程组即可； （3）求出坐标，结合不等式即可. 【详解】（1）时，， 设点关于直线的对称点，则，， 得，即， 则直线的斜率为，则直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为； （2）直线的方程可化为， ，得，则直线恒过定点； （3）， 令，得，令，得， 因直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 则，，，，得或， 则 利用可得，，等号成立时， 则， 故的最小值为. 期末基础通关练（测试时间：45分钟） 1．（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 【答案】C 【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【详解】因为直线l经过两点，， 所以直线l的斜率是， 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【详解】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C 3．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 4．若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高二上·江苏无锡·期末）若直线和直线平行，则直线与直线间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先讨论直线的斜率不存在时，检验两直线是否平行，再讨论直线的斜率存在时，两直线平行，斜率相等，即可求得的值，再利用两条平行线之间的距离公式即可求解. 【详解】由题可知直线的斜率一定存在，且为， 若，则直线的斜率不存在且方程为：，即， 直线：，即， 此时直线与直线不平行，舍去； 若，则直线的斜率存在，且为， ，，即，或， 当时，，，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线平行. 则直线与直线之间距离为：. 故选：C. 6．（24-25高二上·江苏·期末）若点到直线的距离相等，则实数的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C. 7．（多选）（24-25高一下·江苏南京·期末）下列说法错误的是（   ） A．在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程表示的直线斜率一定存在 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：AC 8．（多选）（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 9．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则 ． 【答案】1 【分析】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值. 【详解】直线与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 10.（24-25高二上·江苏南京·期末）已知点在直线上的运动，则的最小值是______ 【答案】 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【解析】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏盐城·期末）（1）求过，且与直线平行的直线的方程. （2）已知的三个顶点，，，求边上的高所在的直线方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据直线的平行关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得； （2）根据直线的垂直关系，可得所求直线斜率，运用点斜式方程，即可求得. 【详解】（1）已知直线的斜率是， 因为所求直线与已知直线平行，所以所求直线的斜率也是， 根据直线的点斜式方程，得所求直线的方程为，即； （2）由两点式，可得，边上高所在直线方程的斜率， 的高所在直线的直线方程，即. 12．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知直线：（a为实数），与相交于点M． (1)若过点M，求a的值； (2)设直线过定点N，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）联立直线求得交点，代入求参数值即可； （2）根据直线确定直线过定点，再应用两点距离公式求. 【详解】（1）由，得，即， 因为过点，所以，即． （2）因为，所以直线过定点， 所以. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 1．（24-25高二上·江苏镇江·期末）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 4.（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（    ） A．当变化时，恒过定点 B．若，则在轴，轴上的截距之和为4 C．若，则的斜率为1 D．当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 5．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在直线 上，点，则当 的周长取得最小值时，点 的坐标为 . 【答案】 【分析】因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小，转化为“将军饮马”问题，即可求解. 【详解】解：因为为定值，所以当 的周长取得最小值时，即取得最小， 设点关于直线的对称点为，连接交直线于点，此时取得最小，如图所示： 则，解得，得， 因为点，故所求点. 故答案为： 7．已知直线和点． (1)在直线l上求一点P，使的值最小； (2)在直线l上求一点P，使的值最大； (3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果． 【答案】(1)P点坐标为 (2)P点坐标为 (3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大 【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. （2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案. （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案. 【详解】（1）设点A关于直线l对称点为， 则，解得，即， 因为点P在直线l上运动， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最小值等于， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 联立，解得， 所以交点 （2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 此时的最大值为， 即P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB方程为， 联立，解得， 故所求点P的坐标为 （3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点， 所以，当且仅当三点共线时等号成立， 即点P为直线AB与直线l的交点， 因为， 所以， 所以直线AB的方程为，即， 联立，解得， 故使的值最小时，P点坐标为. 由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 此时取得最大值， 即点P为直线与直线l的交点， 因为，， 易得直线的方程为， 所以，解得， 所以交点 8．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 9. （24-25高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、轴正半轴于点、. (1)当的中点为时，求直线的方程； (2)已知点在线段（包括端点）上运动，求的取值范围； (3)求面积的最小值． 【答案】(1);(2);(3) 【分析】（1）由题意可设、，根据中点坐标公式可得，，进而可得直线方程； （2）由直线的方程得，代入消元可得关于的二次函数，进而求最值； （3）根据直线斜率是否存在分类讨论，求得，的坐标，进一步用坐标表示三角形的面积，利用换元法和二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由题意可设、，且，． 当AB的中点为P时，则，解得，， 所以、． 所以直线AB的方程为，即一般式方程为：． （2）由、，得线段的方程为：， 因为点在线段（包括端点）上运动，所以，则， 因此 ， 因为二次函数的开口向上，对称轴方程为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此，当时，有最小值，最小值， 当时，有最大值，最大值， 故的取值范围是. （3）当过点的直线斜率不存在时，、， 此时． 当过点的直线斜率存在时， 设直线AB的方程为，即． 直线AB与相交，可得， 直线AB与x轴正半轴相交于B，可得． 由，解得或． 则． 令，则（或）， 可得， 由或，可得或， 根据二次函数的单调性可知，当，有最大值，最大值为， 此时面积有最小值，且，此时，、符合题意． 综上所述，面积的最小值为 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $