专项突破07 用一元一次方程解决问题（期末复习-知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题）-2025-2026学年苏科版数学七年级上册精讲练

该初中数学单元复习讲义通过知识梳理与框架图系统构建一元一次方程应用的知识体系，梳理了列方程解应用题的五步步骤，并以表格形式归纳配套问题、行程问题等12类常见题型的核心公式和等量关系，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于14个重难点题型的分层设计，每个题型含精讲例题、变式训练及期末真题演练，如通过“配套问题中鼓身与鼓面数量关系”“数轴动点的位置表示”等实例，培养学生模型意识与推理能力，既帮助基础学生掌握方法，也助力优秀学生拓展思维，为教师精准教学提供有力支持。

专项突破07 用一元一次方程解决问题 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【原卷版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 2 重点难点 培优讲练 4 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 4 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 5 题型3 销售盈亏(一元一次方程的应用） 6 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 6 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 7 题型6 数字问题（一元一次方程的应用） 8 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 10 题型8 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 12 题型9 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 13 题型10 行程问题（一元一次方程的应用） 14 题型11 比例分配（一元一次方程的应用） 15 题型12 日历问题（一元一次方程的应用） 16 题型13 古代问题（一元一次方程的应用） 17 题型14 其他问题（一元一次方程的应用） 18 期末真题 实战演练 19 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【变式】（25-26七年级上·重庆·月考）某车间有名工人，每人每天可生产个甲种零件或者个乙种零件，1个甲种零件需配套2个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排 人生产甲种零件． 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2) 该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 题型3 销售盈亏(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【变式】（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【变式】（23-24七年级上·安徽六安·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 题型6 数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．请将纯循环小数化为分数： ．如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数： ．（直接写出答案） ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照方法二将化成分数． 【变式】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】25-26七年级上·辽宁大连·期中）【给出定义】在数轴上存在三点，点位于点的右侧，若两点间距离是两点间距离的2倍，即，则称是线段的2倍点．当点在两点之间时，称为线段的内2倍点，当点在点的左侧时，称为线段的外2倍点． 【举例说明】例如：如图1，当对应的数为5，对应的数为2时，则表示数3的点是线段的内2倍点，表示数的点是线段的外2倍点． 【解决问题】如图2，、表示的数分别为5和， (1)则线段的内2倍点表示的数为_____，线段的外2倍点表示的数为_____． (2)点、点分别从点、点同时出发，点、点分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为秒． ①当时，求值． ②设线段的内2倍点为，外2倍点为．当点所对应的数互为相反数时，求的取值． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期中）【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 题型8 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【变式】（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了准备元旦汇演，六年级某班成立了话剧表演小组，在这个小组中女生有10人，男生占小组人数的，小组中的女生人数占全班女生人数的，话剧表演小组的学生人数与全班学生人数的比是． (1)话剧表演小组中男生有多少名； (2)该班共有多少名男生； (3)为了表演需要，未参加的同学中有部分男生要加入话剧表演，但话剧表演的总人数不能改变，就要有相应的女生退出，此时参加话剧表演小组中男生人数比女生人数的3倍少9人，调整后话剧表演兴趣小组中女生有多少名． 题型9 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 【变式】（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 题型10 行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·重庆·专题练习）小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 题型11 比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲】（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【变式】（23-24七年级上·江西南昌·期末）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款. （1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？ （2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数，求这天甲走了多少步？ 题型12 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图是某月的日历图，用“H”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料，回答问题． 图1是2025年10月的月历，小亮用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)被框中的5个数中，最大数与最小数的差是 ． (2)小亮发现，任意移动“十”字框时，框中的5个数字之和始终是5的倍数．请通过计算说明他的发现成立． (3)小亮用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a、b、c、d、e表示（如图3）， ①写出表示这5个数的和的代数式，要求只含一个字母： （写一个即可）． ②这5个数的和能等于111吗？若能，请求出这5个数：若不能，请说明理由． 题型13 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 题型14 其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 4．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是2013年1月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数是最小数的3倍，则这9个数的和为（    ） A．32 B．126 C．135 D．144 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）某人用一根绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余四尺；把绳子四折来量，井外余一尺，则井的深度是 ． 7．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2011年9月1日起，公民全月各种收入总额不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按右表分段累进计算．陶老师2012年11月份缴纳个人所得税税金75元，那么陶老师该月的税前收入总额是 元． 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% …… …… 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 13．（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 14．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 15．（23-24七年级下·湖南长沙·开学考试）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点运动到原点时，此时点 关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破07 用一元一次方程解决问题 （知识回顾+14个重难点培优题型+真题演练 共43题） 【解析版】 知识回顾 技巧点拨 1 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 1 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题 2 重点难点 培优讲练 4 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 4 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 6 题型3 销售盈亏(一元一次方程的应用） 7 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 9 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 10 题型6 数字问题（一元一次方程的应用） 12 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 14 题型8 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 18 题型9 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 20 题型10 行程问题（一元一次方程的应用） 22 题型11 比例分配（一元一次方程的应用） 24 题型12 日历问题（一元一次方程的应用） 26 题型13 古代问题（一元一次方程的应用） 28 题型14 其他问题（一元一次方程的应用） 29 期末真题 实战演练 32 知识点梳理01：列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1）审题：读懂题意，弄清题目中的数量关系； （2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子； （3）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系； （4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值； （5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，写出结论且注意单位。 知识点梳理02：一元一次方程的应用中常碰到的几个问题: 配套问题 配套问题在考试中十分常见，比如合理安排工人生产、按比例选取工程材料、调剂人数或货物等。解决配套问题的关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。 每套所需各零件的比与生产各零件总数量成反比. （盈亏）销售问题 销售问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。 （1）商品利润＝商品售价－商品成本价 （2）商品利润率＝×100% （3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量 （4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量 （5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打6折出售，即按原标价的60%出售． 方案设计问题 1. 借助方程先求出相等的情况。 2. 再考虑什么情况下一种方案比另一种方案好，从而进行决策。 行程问题 路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间 ①相遇问题： 快行距＋慢行距＝原距 ②追及问题： 快行距－慢行距＝原距 ③航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度 逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系。 ⑤环形跑道问题：环形跑道问题特殊场地行程问题之一。是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。 在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：        路程和=相遇时间×速度和                路程差=追及时间×速度差         解环形跑道问题的一般方法： 环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。 工程问题 工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。 关系式为：①工作量=工作效率×工作时间；②工作时间=，③工作效率=。 工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。 还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。 分段计费问题 分段计费问题解题思路 1. 明确分段区间 2.明确不同区间的计费标准 3.分区间讨论计算 和差倍分问题 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量＋增长量 日历问题 关于日历问题是一元一次方程中特殊的一种应用题型，解决日历问题，我们首先就是要弄清楚日历中每一个日期上下左右之间的关系。如果左右相邻，则相差为1，如果是上下为邻则相差为7. 数字问题 1、多位数的表示方法： 一般可设个位数字为，十位数字为，百位数字为。 十位数可表示为， 百位数可表示为。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 2、连续数的表示方法: ①三个连续整数为：n-1，n，n+1（n为整数） ②三个连续偶数为：n-2，n，n+2（n为偶数） 或2n-2，2n，2n+2（n为整数） ③三个连续奇数为：n-2，n，n+2（n为奇数） 或2n-1，2n+1，2n+3（n为整数） 比例分配问题 比例分配问题解题思路： 1.通常设一份为X 2.通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据题中的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案 比赛积分问题 ①.获取信息（找出胜、平、负的场数和积分，胜、平、负1场的积分，该队的总积分） ②.能用字母表示数（常设胜/平/负的场数为x） ③.寻找等量关系 胜场数×胜1场的积分＋平局场数×平1场的积分+负场数×负1场的积分＝这个队的总积分 题型1 配套问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·山东日照·期中）劳动技术课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面． (1)老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？ (2)若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？请你直接写出结果和新加入人员具体的分配方案． 【答案】(1)应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面 (2)应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓个，还需制作个小鼓，再根据题意即可求解． 【规范解答】（1）解：设分配名学生制作鼓身，则名学生剪鼓面， 根据题意，得， 解得， 则， 答：应该分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面； （2）解：由（1）知分配27名学生制作鼓身，18名学生剪鼓面，则每小时可制作小鼓（个），还需制作（个）小鼓， ∴应再加入制作鼓身的人数为（名），剪鼓面的人数为（名）， 则新加入（名）， ∴综上所述，应再加入20名学生，其中12名学生制作鼓身，8名学生剪鼓面． 【变式】（25-26七年级上·重庆·月考）某车间有名工人，每人每天可生产个甲种零件或者个乙种零件，1个甲种零件需配套2个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排 人生产甲种零件． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设安排人生产甲种零件，则生产乙种零件的人数为人，根据配套比例列出方程求解即可． 【规范解答】解：设应安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， ∴每天生产甲种零件个，乙种零件个， ∵配套要求，乙种零件数量是甲种零件数量的倍， ∴得方程：， 化简得， 移项得， 解得：． 故答案为：． 题型2 工程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·重庆璧山·期中）某水稻实验基地防治病害虫有无人机喷洒和人工打药两种方式．在一次作业中，一架无人机工作2小时和一名工人工作6小时，共完成了320亩的打药任务（不重复作业），通过测量对比发现无人机每小时作业的面积恰好是人工的5倍． (1)请问一名工人和一架无人机每小时各完成多少亩？ (2)一架无人机和一名工人共同作业8小时能否完成1000亩的打药任务？请说明理由． 【答案】(1)一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩 (2)不能完成，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是理解题的关键． （1）设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，根据题意，得，解方程即可． （2）计算一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的总工作量，与1000亩比较，解答即可． 【规范解答】（1）解：设一名工人每小时完成x亩,一架无人机每小时亩，由题意得： ， 解得， ， 即一名工人每小时完成20亩,一架无人机每小时完成100亩； （2）解：不能完成，理由如下： 一架无人机和一名工人共同作业8小时完成的工作量为： ， 故不能完成任务． 【变式】（25-26七年级上·河南开封·期中）(请必须用方程做答) 某工厂生产某种罐头食品的外包装铁质罐头盒． (1)1个罐头盒由1个盒身和2个盒底构成，用1张铁皮可做35个盒身或60个盒底．现有260张铁皮，用多少张做盒身，多少张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套？ (2)该工厂接到生产一批罐头盒的任务，由甲车间单独完成需要15天，由乙车间单独完成需要30天，现在甲乙两个车间合作4天后，剩下的任务由甲车间单独完成，那么甲车间还需要多少天才能完成？ 【答案】(1)120张做盒身，140张做盒底 (2)甲车间还需要9天 【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系． （1）设用张做盒身，则用张做盒底，根据题意列出方程求解即可； （2）甲车间还需要y天才能完成，根据题意列出方程求解即可． 根据题意找出等量关系，设未知数，列出方程，即可解答. 【规范解答】（1）解：设用张做盒身，则用张做盒底． 根据题意，得， 解得， 所以． 故用120张做盒身，140张做盒底才能使盒身与盒底恰好配套． （2）解：甲车间还需要y天才能完成． 根据题意得：， 解得． 甲车间还需要9天才能完成． 题型3 销售盈亏(一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·安徽淮北·期中）某品牌运动鞋原价元/双，促销方案如下： 方案一（普通优惠）：购买2双及以上时，超出2双的部分打8折． 方案二（会员优惠）：办理会员卡需付元工本费（仅首次办理需要，之后购买都享受会员价），会员价元/双． 小华发现在某个购买数量下，两种方案的总花费相同．请问小华购买了多少双运动鞋？总花费是多少元？ 【答案】两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【思路引导】本题考查了销售盈亏(一元一次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设小华购买了双运动鞋，根据题意列出一元一次方程求解，再求总费用． 【规范解答】解：设小华购买了双运动鞋， 要使总花费相同，方案一要有优惠， 即， ， 解得：， ， 答：两种方案总花费相同时小华买了6双运动鞋，总费用是元． 【变式】（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）温州书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．某学生第一次去购书付款72元，第二次去购书享受到了八折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节约了34元． (1)第一次购书实际付款，相较于第一次所购书的实际定价省去了______元钱．第二次购书实际付款，相较于第二次所购书的实际定价省去了______元钱． (2)求该学生第二次所购书的实际定价是多少元． 【答案】(1)8；26 (2)230 【思路引导】本题考查分段计费的实际应用．明确分段计价的逻辑，建立一元一次方程是解题关键． （1）根据“实际付款=定价×折扣率”，算出第一次购书的定价，根据题意求解两次省去的金额即可． （2）根据“节省金额=定价-实际付款”，建立一元一次方程求解即可． 【规范解答】（1）解： ， 定价第一次定价不超过200元， 第一次购书定价为， 第一次购书省去了， 两次共节约了34元， 第二次购书省去了， 答：第一次购书省去了8元，第二次购书省去了26元． （2）解：设第二次所购书的实际定价是元， 第二次去购书享受到了八折优惠， ， 实际付款=， 节约金额=， ， 解得． 答：第二次所购书的实际定价是230元． 题型4 比赛积分（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某班组织元旦知识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表是，，三位参赛者答完20道题后的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 19 1 16 4 76 10 10 40 根据表中信息回答下列问题： (1)设答对1道题得分，则答错1道题的得分为_______分（用含的式子表示）． (2)求表格中的值． (3)参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分，他已作答了多少道题？ 【答案】(1) (2)94 (3)他已作答了6道题 【思路引导】（1）从参赛者的得分可以求出答对一题和答错一题的得分和为分，由此可以用含的式子表示答错一题的得分； （2）从参赛者的得分入手，根据答对的得分+加上答错的得分=分建立方程求出其解，然后再求即可； （3）设参赛者已作答了道题，根据参赛者已作答的一部分试题中，只答对了一半．如果他最多能得82分列方程计算即可． 【规范解答】（1）解：由参赛者的得分情况可知：答对一题和答错一题的得分和为：（分）， 设答对1道题得分，则答错1道题的得分为分 ． （2）解：由参赛者的得分情况，得， 解得 ，则， 所以答对1道题得5分，答错1道题扣1分， 所以． （3）解：设参赛者已作答了道题． 根据题意，得，解得． 故他已作答了6道题． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式】（23-24七年级上·安徽六安·期中）开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 题型5 方案选择（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）运动会期间，各班都如火如荼地准备着入场式，七年级8班计划购买若干裙子和帽子作为演出服装，经调查发现网上某店铺每条裙子卖90元，每顶帽子卖12元，给出的优惠方案如下：方案一，以原价购买，购买一条裙子赠送两顶帽子；方案二，总价打8折．若该班级计划购买条裙子和顶帽子（）． (1)请用含、的代数式分别表示出两种方案的实际费用； (2)当，时，哪种方案更便宜呢？请通过计算说明； (3)当时，两种方案的费用相同，请求出此时的值． 【答案】(1)方案一：（元），方案二：（元） (2)方案二便宜 (3)时，两种方案的费用相同 【思路引导】本题考查列代数式、代数式求值、整式的加减应用，理解题意，正确列出代数式是解答的关键． （1）根据两种优惠方案结合实际费用等于数量×单价列出代数式即可； （2）将a、b值分别代入（1）中代数式中求解，进而比较大小做出判断即可； （3）将a代入（1）中得到关于b的代数式，得到关于b的方程，解方程求出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得： 方案一：（元）， 方案二：（元）； （2）解：当，时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ， 方案二便宜； （3）解：当时，方案一：（元），方案二：（元）， ∵当时，两种方案的费用相同， ∴， 解得：， 时，两种方案的费用相同. 【变式】（24-25七年级上·全国·课后作业）某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 题型6 数字问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫作无限循环小数，简称循环小数．例如：的循环节是“”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如：，的循环节分别是“”，“”，它们可以分别写作，，像这样的循环小数称为混循环小数． (1)任何一个分数都可以化成有限小数或无限循环小数．请将下列分数化成小数： ； ． (2)无限循环小数化成分数，有两种方法． ①方法一：如果小数是纯循环小数，化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个组成，的个数为一个循环节的数字的个数．例如：；．请将纯循环小数化为分数： ．如果小数是混循环小数，可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．请将混循环小数化为分数： ．（直接写出答案） ②方法二：应用一元一次方程来解．例如：将循环小数化成分数． 解：设，则．所以，即，解得．所以． 请你仿照方法二将化成分数． 【答案】(1)； (2)①；；② 【思路引导】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）利用除法将分数化为小数即可； （2）①对于纯循环小数，利用题干中的方法求解；对于混循环小数，将其扩大10倍变成整数与纯循环小数的和求解即可； ②利用题干中的方法，设，则，，得到，求解方程即可得出答案． 【规范解答】（1）解：； ； 故答案为：；； （2）解：①； ； 故答案为：；； ②设，则，， 所以，即， 解得， 所以． 【变式】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）阅读材料：在学习了课本页“探究”内容后，小亮知道了若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的和能被整除．（无需证明） 小亮接着研究，又发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为，把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的9倍． 回答问题： (1)请证明小亮新的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于297，请直接写出_____． 【答案】(1)见解析 (2)3 【思路引导】本题考查了整式加减的应用，列代数式，数字问题(一元一次方程的应用)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数，根据题意列出原数与新数之差进行计算． 【规范解答】（1）证明：由题意可得：原数为：，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， 而a与b的差为， 即原数与所得新数的差等于a与b的差的9倍； （2）设十位上的数字是a， 根据题意可得；原数，新数， 两数之差为：． ， 则． 故答案为：3． 题型7 动点问题（一元一次方程的应用） 【精讲】25-26七年级上·辽宁大连·期中）【给出定义】在数轴上存在三点，点位于点的右侧，若两点间距离是两点间距离的2倍，即，则称是线段的2倍点．当点在两点之间时，称为线段的内2倍点，当点在点的左侧时，称为线段的外2倍点． 【举例说明】例如：如图1，当对应的数为5，对应的数为2时，则表示数3的点是线段的内2倍点，表示数的点是线段的外2倍点． 【解决问题】如图2，、表示的数分别为5和， (1)则线段的内2倍点表示的数为_____，线段的外2倍点表示的数为_____． (2)点、点分别从点、点同时出发，点、点分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度向右运动，运动时间为秒． ①当时，求值． ②设线段的内2倍点为，外2倍点为．当点所对应的数互为相反数时，求的取值． 【答案】(1)1， (2)①t的值为4；②t的值为 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及相反数，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设线段的内2倍点表示的数为x，线段的外2倍点表示的数为y，根据内2倍点及外2倍点的定义，可列出关于x（y）的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； ②根据内2倍点及外2倍点的定义，可得出点M表示的数为，点N表示的数为，根据点M、N所对应的数互为相反数，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设线段的内2倍点表示的数为x，线段的外2倍点表示的数为y， 根据题意得：，， 解得：，． 故答案为：1，； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：（不符合题意，舍去）或． 答：t的值为4； ②∵线段的内2倍点为M，外2倍点为N． ∴点M表示的数为，点N表示的数为， 根据题意得：， 解得：． 答：t的值为． 【变式】（25-26七年级上·四川成都·期中）【阅读理解】：定义：对于数轴上不同的三个点P，Q，M，若满足，则称点M是点P关于点Q的“m倍特征点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，1，可知原点O是点关于点的“3倍特征点”，原点O也是点关于点的“倍特征点”． 【问题解决】：在数轴上，已知点A表示的数是a，点B表示的数是b，且a，b满足． （1）填空：若在线段AB上的点C表示的数是c，且点C是点A关于点B的“4倍特征点”，则 ； ， ； （2）在数轴上取两点D，E，点E在点D的右侧，且． ①若，且点B是点D关于点E的“m倍特征点”，求m的值； ②若点D与点A重合，现将线段DE从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点E运动到点B时运动停止．设运动时间为t秒，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，求t的值． 【答案】（1）；4；2； （2）①或；②或或 【思路引导】本题考查了新定义，数轴，一元一次方程的应用，解题关键在于了解“m倍特征点”的定义． （1）由条件根据非负数的性质，可知，，再根据“4倍特征点”的定义求出； （2）①由，则D可能表示或，再根据列出方程计算m的值． ②用时间t表示出动点D．E．再由条件需6种情形分类讨论，从而求出t的值． 【规范解答】（1）∵． ∴，． 解得：，， ∵点C是点A关于点B的“4倍特征点”． ∴； （2）①∵． ∴D表示的数为或． ∵点B是点D关于点E的“m倍特征点”． ∴． ∵， 当D表示时， ∴E表示． ∴，解得：． 当D表示， ∴E表示． ∴，解得：； ②由题意可知D表示，E表示，． 若A是D关于E的“ 倍特征点”， ∴，即， ∴． 若A是E关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若D是A关于E的“ 倍特征点”． ∴，即， ∴． 若D是E关于A的“倍特征点”． ∴，即． ∴． ∵，故舍去． 若E是A关于D的“ 倍特征点”． ∴，与题意不符，此情况不存在． 若E是D关于A的“ 倍特征点”． ∴，即． ∴． 综上所述，当A，D，E三个点中，恰有一个点是另一个点关于第三个点的“倍特征点”时，t的值为或或． 题型8 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（23-24七年级下·江苏镇江·期末）小华的年龄是8岁，小青的年龄是9岁，求得他们今年的年龄之和是17岁，像这样的问题就是年龄问题． (1)3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是多少岁？ (2)小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，多少年后他们的年龄和是30岁？ (3)小丁对小当说：“我到你这个年纪时，你就25岁了．”小当对小丁说：“我在你这么大时，你才4岁．”小丁今年多少岁？ 【答案】(1)23 (2)9 (3)11 【思路引导】本题主要考查年龄问题的应用，关键是利用年龄差不变做题 （1），需要明确年龄随时间变化的规律，即时间往前年龄减少，时间往后年龄增加。结合题意分析解答即可； （2）根据两人年龄同时增长，年龄和每年增加的量是两人每年增长年龄之和，利用年龄和的变化规律来解题； （3）通过两人不同表述构建关于年龄差的关系，再利用年龄差不变的性质来求解． 【规范解答】（1）（岁）， （岁）， 答：3年前，小康的年龄是17岁；3年后，小康的年龄是23岁． （2）（岁）， （年）， 答：小晨的年龄是5岁，小铃的年龄是7岁，9年后他们的年龄和是30岁． （3）设小丁今年岁，则二人年龄差是岁，小当的年龄是岁， 则， 即， ， 解得， 答：小丁今年11岁． 【变式】（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了准备元旦汇演，六年级某班成立了话剧表演小组，在这个小组中女生有10人，男生占小组人数的，小组中的女生人数占全班女生人数的，话剧表演小组的学生人数与全班学生人数的比是． (1)话剧表演小组中男生有多少名； (2)该班共有多少名男生； (3)为了表演需要，未参加的同学中有部分男生要加入话剧表演，但话剧表演的总人数不能改变，就要有相应的女生退出，此时参加话剧表演小组中男生人数比女生人数的3倍少9人，调整后话剧表演兴趣小组中女生有多少名． 【答案】(1)话剧表演小组中男生有5名 (2)该班共有23名男生 (3)调整后话剧表演兴趣小组中女生有6名 【思路引导】（1）首先根据“男生占小组人数的”，易得女生占小组人数的，结合小组中女生人数即可求得话剧表演小组总人数，进而计算小组中男生人数； （2）根据“话剧表演小组的学生人数与全班学生人数的比是”计算出全班总人数，然后根据“小组中的女生人数占全班女生人数的”计算出班内女生人数，进而计算该班男生人数； （3）设调走名女生，根据题意列出方程并求解，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：（名）， 答：话剧表演小组中男生有5名； （2）（名）， （名）， 答：该班共有23名男生； （3）设调走名女生， 根据题意可得， ， 所以（名）． 答：调整后话剧表演兴趣小组中女生有6名． 【考点剖析】本题主要考查了比的应用、分数混合运算的实际应用以及一元一次方程的应用等知识，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． 题型9 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 第二档 大于200且小于或等于450时，超出200的部分 第三档 大于450时，超出450的部分 1 (1)如果某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费______元． (2)如果某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费______元；如果某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费_____元．（用含有x的代数式表示，需化简） (3)某户居民7月份需缴电费310元，求本户居民7月份用电多少度？ 【答案】(1) (2)275； (3)485度 【思路引导】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系，列出方程． （1）根据表格中的信息列出代数式即可； （2）根据表格中信息列出算式进行计算，列出代数式即可； （3）根据得出本户居民7月份用电超过450度，再列出方程，解方程即可． 【规范解答】（1）解：某户居民5月份用电度，则需缴本月的电费元； （2）解：某户居民6月份用电450度，则需缴本月的电费： （元）； 某户居民6月份用电度，则需缴本月的电费为： 元； （3）解：根据解析（2）可知：当用电450度时，需缴电费275元，因为，所以本户居民7月份用电超过450度， 设本户居民7月份用电m度，根据题意得： ， 解得：， 答：本户居民7月份用电485度． 【变式】（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过 30 吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元． (1)求a，b的值． (2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？ (3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”） 【答案】(1)， (2)小王家这个月用水40吨 (3)小王家11月份用水13吨 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意、正确的列出方程是解题的关键： （1）根据收费方法，列出方程进行求解即可； （2）设小王家这个月用水x吨，然后根据题意、列出方程进行求解即可； （3）设11月份用水m吨，则10月份用水吨，分和两种情况，分别列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得，解得：， ∴，解得：． （2）解：由题意可知，元，元，元； 设小王家这个月用水x吨， 由题意，得，解得：． 答：小王家这个月用水40吨． （3）解：设11月份用水m吨，则10月份用水吨． ①当，由题意可得： ，解得：． ②当，由题意可得： ， 解得 (不符合题意 舍去)． 综上，小王家11月份用水13吨． 题型10 行程问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·重庆·专题练习）小明参加了一场米的跑步比赛，他以米／秒的速度跑了一段路程后，又以米／秒的速度跑完了剩下的路程，一共花了分钟，设小明以米／秒的速度跑了米，则列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据总时间等于两部分时间之和，且需统一单位（分钟秒），列出方程． 【规范解答】解：设以米秒的速度跑了米，则以米秒的速度跑了米． 时间距离速度， 以米秒跑的时间为秒，以米秒跑的时间为秒． 总时间为分钟秒， ，即． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·湖北随州·期中）如图，在数轴上点A，B，P表示的数分别为a，b，x，且． (1)若点P到点A，点B的距离相等，则点P表示的数为______． (2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A，点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． (3)点P以每秒5个单位长度的速度从点0向右匀速运动，点A以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动，点B以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，它们同时出发，几秒后点P到点A，点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)存在， 或4 (3)秒或4秒 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值、路程问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用． （1）根据中点公式即可求解； （2）根据当在的左侧以及当在的右侧分别求出即可； （3）设经过分钟点到点，点的距离相等，分为当点在之间时，当点在右侧时，分别计算即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ，， 故点，表示的数分别为：、3， 若点到点，点的距离相等，则： ， 点对应的数是1， 故答案为：1； （2）解：当在之间，（不可能有）， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 点对应的数为或4； （3）解：设经过秒后点P到点A，点B的距离相等， 此时点A，B，P表示的数分别为， 当点在之间时，此时到点距离等于点到点距离，则， 解得， 当点在右侧时，此时、重合，则 ， 解得． 故它们同时出发，秒或4秒后到点、点的距离相等． 题型11 比例分配（一元一次方程的应用） 【精讲】（2024·北京昌平·二模）如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【思路引导】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 【变式】（23-24七年级上·江西南昌·期末）微信运动和腾讯公益推出了一个爱心公益活动：一天中走路若步数达到10000步及以上，则可通过微信运动和腾讯基金会向公益活动捐款，每步可捐0.0002元；若步数在10000步以下，则不能参与爱心公益捐款. （1）某天小齐的步数为15000步，求他这天为爱心公益可捐款多少钱？ （2）已知甲、乙、丙三人某天通过步数共捐款8.4元，且甲的步数：乙的步数：丙的步数，求这天甲走了多少步？ 【答案】（1）3元；（2）这天甲走了8400步． 【思路引导】（1）根据步数在10000步及以上，每步可捐0.0002元，可得步数为15000步时，可捐的钱数=0.0002×15000，计算即可； （2）设这天甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步．分三种情况：①如果x＜5000；②如果5000≤x＜10000；③如果x≥10000．根据三人共捐了8.4元，列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）根据题意得，0.0002×15000=3（元）， 答：小齐这天为爱心公益可捐款3元； （2）设甲走了x步，则乙的步数为2x步，丙的步数为3x步． 分三种情况：①如果x＜5000，则2x＜10000， 根据题意，可得0.0002×3x=8.4， 解得x=14000，不合题意舍去； ②如果5000≤x＜10000， 根据题意，可得0.0002（2x+3x）=8.4， 解得x=8400，符合题意； ③如果x≥10000， 根据题意，可得0.0002（x+2x+3x）=8.4， 解得x=7000，不合题意舍去． 答：这天甲走了8400步． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到等量关系列出方程． 题型12 日历问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·云南昆明·期中）如图是某月的日历图，用“H”形框任意框出7个数（如图中阴影部分所示），这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．70 C．77 D．105 【答案】C 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的方程．设中间一个数为x，则另外6个数分别为，，，，，，即可得出7个数的和为，再分别求出、、、时x的值即可得出答案． 【规范解答】解：设中间一个数为x，则另外6个数分别为，，，，，， 所以七个数的和为， 若，解得； 若，解得； 若，解得，因为x为中间数，故不能在最后一列，符合题意； 若，解得； 综上，这7个数的和不可能是77． 故选：C． 【变式】（25-26七年级上·山东临沂·期中）阅读下列材料，回答问题． 图1是2025年10月的月历，小亮用带阴影的“十”字框框中5个数． (1)被框中的5个数中，最大数与最小数的差是 ． (2)小亮发现，任意移动“十”字框时，框中的5个数字之和始终是5的倍数．请通过计算说明他的发现成立． (3)小亮用如图2所示的“凹”字框在月历中任意框中5个数，将这5个数分别用字母a、b、c、d、e表示（如图3）， ①写出表示这5个数的和的代数式，要求只含一个字母： （写一个即可）． ②这5个数的和能等于111吗？若能，请求出这5个数：若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②不能，见解析 【思路引导】本题考查了有理数的加减运算，一元一次方程的应用，代数式的表示与化简．熟练掌握有理数的加减运算，一元一次方程的应用，代数式的表示与化简是解题的关键． （1）观察“十”字框内的数字，找到最大数和最小数，然后求差即可； （2）设正中心的数为x，根据月历规律表示出其他个数，再求和化简即可； （3）①选一个字母（如中间数），根据月历规律用该字母表示其他4个数，再求和化简为只含一个字母的代数式即可； ②假设和为，代入①中的代数式列一元一次方程，求解后验证数字是否符合月历实际即可． 【规范解答】（1）解：最大数为，最小数为， 最大数与最小数的差是， 故答案为； （2）解：设正中心的数为x，则其他四个数为，，，， ， 因为x为正整数，所以是5的倍数； （3）解：①根据月历规律且为中间数， 则有，，，， 则它们的和为， 故答案为（答案不唯一）； ②不能． 若能，则由得 这5个数为：17，19，24，25，26 这5个数不在“凹”字框内，所以不能． 题型13 古代问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？设有x辆车，列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据题意找准等量关系列方程即可． 本题考查了古籍中的一元一次方程，熟练掌握列方程的基本要领是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．图1“洛书”中用实心点或空心点的个数表示数字．观察图1中的每一组点所对应的数字，回答下列问题： (1)根据“洛书”，图2中______，______； (2)根据图2所填数字，我们不难发现：方格中每一行、每一列、每条对角线上的三个数之和都相等．若图3符合“洛书”的规律，每一行、每一列以及两条对角线上的数字之和都相等，求c的值． 【答案】(1)5，6； (2) 【思路引导】本题考查了数字类规律，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据“洛书”中的点，找出，的值； （2）根据第二行及对角线上的三个数的和相等，可求出第三行第一个方格中的数为7，再根据第三行及第三列上的三个数的和相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据“洛书”，图2中，． 故答案为：5，6； （2）解：第三行第一个方格中的数为， 根据题意得：， 解得． 答：的值为． 题型14 其他问题（一元一次方程的应用） 【精讲】（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为，开水的温度为，流速为． 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即温水的体积×温水升高的温度=开水的体积×开水降低的温度 (1)用空杯先接温水，再接开水，接完后杯中共有水______，水温为_______℃； (2)某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间． 【答案】(1)250； (2)该学生接温水的时间为，接开水的时间为 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合运算的实际应用： （1）分别求出温水和开水的体积，再根据温水的体积温水升高的温度开水的体积开水降低的温度列方程即可求解； （2）设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据开水放出的热量等于温水吸收的热量，列出方程，求出温水和开水的体积，然后求出接温水的时间和接开水的时间即可． 【规范解答】（1）解：温水的体积为，开水的体积， 则接完后杯中共有水， 设接完后杯中水温为，则， 解得：， 即：接完后杯中水温为； （2）解：设该同学接温水的体积为，则接开水的体积为，根据题意得： ， 解得， 则接温水的时间为， 接开水的时间为：， 答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 【变式】（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）【新知探索】观察下列运算：，；，；，． 【类比归纳】类比我们学习的有理数的运算法则的过程，归纳出“”运算法则：两数进行“”运算时，同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的_______． 【新知内化】计算：=_______． 【思维拓展】计算：． 【自主建构】当整数、满足时，求的值． 【答案】【类比归纳】正；负；相加；相反数；【新知内化】；【思维拓展】5050；【自主建构】或 【思路引导】本题考查定义新运算、解一元一次方程： （1）【类比归纳】观察题干找出规律即可填空； （2）【新知内化】根据【类比归纳】中规律进行计算即可； （3）【思维拓展】根据【类比归纳】中规律去掉“”，用倒序相加的方法可求的结果； （4）【自主建构】根据结果为负可知和的运算结果异号，由此可分四种情况讨论即可：①m、n同正号；②m、n同负号；③，；④，． 【规范解答】解：（1）【类比归纳】根据【新知探索】给出的计算规则可知：两数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；0与任何数进行“”运算或任何数与0进行“※”运算，得这个数的相反数， 故答案为：正；负；相加；相反数； （2）【新知内化】， 故答案为：； （3）【思维拓展】， 设， 则， ①②，得 ∴； （4）【自主建构】∵， ∴和的运算结果异号， ①当同正号时， ， 则， ∵、为整数，， ∴或， ∴或， ∴或3； ②当同负号时， ∴或， ∴或， ∴或3； ③当时，， ，， ∴； ④当时，， ，， ∴； 综上所述， 或． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则表中△处的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用． 先求出三个数字之和为，再根据各条对角线上的三个数字之和相等求出，进而根据第一行的数字之和可求出△处的值． 【规范解答】解：由图得，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和为：， 又∵各条对角线上的三个数字之和相等， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．根据树苗总数不变，分别列出两种情况下树苗总数的表达式，并令其相等． 【规范解答】解：每人植2棵树，树苗余下21棵，即共棵树苗， ∵每人植3棵树，树苗还差24棵，即共棵树苗， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级上·吉林辽源·期末）某校组织师生春游，若租用45座客车若干辆，刚好坐满，若租用60座客车，可比45座客车少租一辆且空余30个座位，则该校去参加春游的有（    ） A．90人 B．200人 C．220人 D．270人 【答案】D 【思路引导】本题考查一元一次方程解决实际问题，设租用45座客车x辆，则参加春游的人数可表示为人，或人，据此即可列出方程，求解得到x的值，进而可得参加春游的人数． 【规范解答】解：设租用45座客车x辆，根据题意，得 ， 解得， ∴参加春游的有（人）． 故选：D． 4．（23-24七年级上·安徽·期末）如图是2013年1月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出个位置的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数是最小数的3倍，则这9个数的和为（    ） A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【思路引导】此题考查了一元一次方程的应用，掌握日期排列的规律，找出题中的等量关系是解本题的关键．设圈出的数字中最小的为x，则最大数为，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而确定出9个数字，求出之和即可． 【规范解答】解：设圈出的数字中最小的为x，则最大数为， 根据题意得：， 解得， ∴9个数之和为． 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产．其中洛书（如图1）可以用三阶幻方表示（如图2），就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定、、、中一个字母的值不能补全图3的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是新定义运算的含义，一元一次方程的应用，分别给定、、、中一个字母的值，利用方程分别求解图3中未知的数据，从而可得答案． 【规范解答】解：如图，当， ， ∴②， ∴每一行的和， ∵， ∴，， ∵， ∴③， ∴， ∴，， ∴每一行的和为：， ∴，①， 如图， ∴A不符合题意； 如图，当时，则②， ∴②， ∵， ∴， ∵②， ∴②， ∴每一行的和为：， ∴，， ∴①， ③， 如图， ∴C不符合题意； 如图，当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴每一行的和为：， ∴， ①， ③， ， ②， 如图， ∴D不符合题意； 如图，当时，则每一行的和为：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴给定的值不能补全图3． 故选：B 6．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）某人用一根绳子测量井深，把绳子三折来量，井外余四尺；把绳子四折来量，井外余一尺，则井的深度是 ． 【答案】8尺 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．设井深为尺，三折将绳子分成3等段，4折将绳子分成4等段，根据绳长不变可得出方程，解出即可． 【规范解答】解：设井深为尺， 由题意得：， 解得：，即井的深度是8尺． 故答案为：8尺． 7．（25-26七年级上·全国·期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，先表示两种购买方式得到的利润，再根据获得同样多的利润，进行列方程，即可作答． 【规范解答】解：∵原订购60套，每套100元，设每套课桌椅的成本为x元， ∴利润； ∵校方购了72套，每套减价3元， ∴利润； 则． 故答案为： 8．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是 ． 【答案】26或 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据题意可得该问题可分为两种情况，即可得到等式，求解即可得到结果，根据数轴得到两点间的距离是解题的关键． 【规范解答】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，则， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2011年9月1日起，公民全月各种收入总额不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按右表分段累进计算．陶老师2012年11月份缴纳个人所得税税金75元，那么陶老师该月的税前收入总额是 元． 全月应纳税所得税额 税率 不超过1500元的部分 3% 超过1500元至4500元的部分 10% …… …… 【答案】5300 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费问题﹒先根据题意估算陶老师月税前收入总额大于5000元，小于8000元，设为x元，根据题意列出方程，解方程即可﹒ 【规范解答】解：当月收入为元时，应纳税为元， 当月收入为元时，应纳税为元， 所以陶老师的税前收入总额大于5000元，小于8000元， 设陶老师该月的税前收入总额是x元﹒ 由题意得， 解得﹒ 答：陶老师该月的税前收入总额是5300元﹒ 故答案为：5300 10．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了数轴上的动点问题，利用代数式表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解动点问题是解题的关键．设经过t秒后，利用点P，Q的运动方向和速度，可得到点，，表示的数，再根据数轴上两点的距离公式用代数式表示出，，进而可得，根据其值为常数，可得关于t的系数为0，然后解方程求出看k的值． 【规范解答】解：设运动时间为t，依题意得： 所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∴， 所表示的数为，所表示的数为， ∴， ∴， 若为常数，则， 解得：． 故答案为． 11．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【思路引导】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 12．（24-25七年级上·陕西西安·期末）小秦和小明在操场练习跑步，两人从同一起点A出发，小秦每分钟跑300米，小明每分钟跑200米，小秦比小明晚出发3分钟，结果两人同时到达终点B，求两地的路程． 【答案】A，B两地的路程为1800米 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设A，B两地的路程为x米，利用时间路程速度，结合小秦比小明少用3分钟，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：设A，B两地的路程为x米， 根据题意得：， 解得：． 答：A，B两地的路程为1800米． 13．（25-26七年级上·湖南·期末）将连续的奇数，，，，，…，排列成如图所示数表： 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 … (1)十字框中的五个数的和与中间数有什么关系？ (2)设中间数为，用式子表示十字框中五个数之和； (3)若将十字框上、下、左、右平移，可框住另外五个数，十字框中的五个数之和能等于吗？若能，请写出这五个数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间数的倍 (2) (3)能，，，，， 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化，根据十字框中个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的倍是解题的关键． （1）将十字框中的五个数相加即可得出结论； （2）设中间数为，则其他四个数字分别为，，，，将五个数相加可得出结论； （3）设中间的数为，其他个数分别为、、、，令其相加等于，算出的值，结合数阵数的特点即可得出结论． 【规范解答】（1）解：十字框中的五个数的和为：， ， 十字框中的五个数的和是中间数的倍； （2）解：设中间数为，则其他四个数字分别为，，，， 这五个数的和为； （3）解：设中间的数为，其他个数分别为、、、， 个数之和为， 令， 解得：， 是奇数，， 是第行第个数，符合题意， 十字框中的五个数之和能等于， 这五个数分别为：，，，，． 14．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，点P表示的数是________（用含t的式子表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： 当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ 当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)； (2)当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【思路引导】本题考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据数轴上两点之间的距离，计算求解即可； （2）由题意知，运动过程中，P点表示的数为，Q点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可； 由题意可知，之间的距离为分为：当P不超过Q时，当P超过Q时，分别计算求解即可． 【规范解答】（1）解：数轴上点A表示的数为6， 则 点B在原点左边， 数轴上点B所表示的数为； 动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点P运动t秒的长度为， P所表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； 当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 15．（23-24七年级下·湖南长沙·开学考试）已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上一动点，若规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少； (2)若点运动到原点时，此时点 关于的“好点”（填是或者不是）； 若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“好点”时，求点的运动时间； (3)若点在原点的左边（即点对应的数为负数），且点，，中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②秒或秒 (3)，，，，， 【思路引导】本题考查了数轴，好点的定义，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键：即若点表示，点表示时，． （1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论； （2）①先根据数轴上两点的距离表示出和的长，再根据好点的定义即可求解； ②根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解； （3）分五种情况进行讨论：当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时；当点是关于的“好点”时，分别代入计算即可； 【规范解答】（1）解：， 点到点、点的距离相等， ， 点表示的数是； （2）解：当点运动到原点时，，， ， 点不是关于的“好点”； 故答案为：不是； 根据题意可知：设点运动的时间为秒， ，， ， 解得或， 所以点的运动时间为秒或秒； （3）解：根据题意可知：设点表示的数为， 或，，， 分五种情况进行讨论： 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即或，解得或 不符合题意，舍去； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得； 或，解得； 当点是关于的“好点”时， ， 即，解得． 综上所述：所有符合条件的点表示的数是：，，，，，． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $