河南省洛阳市新安县2023-2024学年九年级上学期数学竞赛试题

2023~2024学年第一学期学生创新能力测试调研试题 九年级数学 友情提示： 1.本试卷共8页，三大题，满分为100分，考试时间为120分钟。请用钢笔或圆珠笔 答在答题卡上。 2.答题前请将密封线内的项目填写清楚。 二 三 题号 总分 1-10 11-15 16 17 18 19 20 21 22 23 分数 得分 评卷人 、选择题。（本大题共10个小题，每小题2.5分，满25分) 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答 案的字母在答题卡相应位置涂黑。 1.甲说：“将三角形各边向内平移1个单位长度并适当缩短，得到如图1所示的图形，变化 前后的两个三角形相似.”乙说：“将矩形（长和宽不相等）各边向内平移1个单位长度 并适当缩短，得到如图2所示的图形，变化前后的两个矩形相似.”对于两人的观点，下 列说法正确的是 A.两人都对 B.两人都不对 不1 图2 C.甲对，乙不对 第1题图 D.甲不对，乙对 2.在质地和颜色都相同的三张卡片的正面分别写有-2，-1,1，将三张卡片背面朝上洗 匀，从中抽出一张，并记为x,然后从余下的两张中再抽出一张，记为y,则点(x,y)在直 线y=--1上方的概率为 A月 B号 c号 D.1 3.PT℃是一种新型的半导体陶瓷材料，它有一个根据需要设定的温度，称为“居里点温 度”，低于这个温度时，其电阻值随温度的升高而减小，高于这个温度时，电阻值则随温 度的升高而增大.用PT℃材料制成的电热器具有发热、控温双重功能，应用十分广泛， 如图1是某款家用电灭蚊器，它的发热部分就使用了PTC发热材料，其电阻值R(k2) 随温度T(℃)变化的关系图象如图2所示，发热部分的电功率P与电阻R和电压U的 九年级数学试卷第1页（共8页） 关系见图3.下列说法不正确的是 R/kO 信息窗 电功率P与电阻R和 电压U的关系为P. R 02040608010012077℃ 图 图2 图3 A.由图2，可知该PT℃发热材料的“居里点温度”是30℃ B.当T=70℃时，该PTC发热材料的电阻值为12k2 C.若电压保持不变，当T=30℃时，发热部分的电功率最大 D.若电压保持不变，发热部分的电功率随温度的升高而增大 4.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积 为( G. 第4题图 A.5 B.6 5.如图，△ABC中，AB=AC=10,tanM=2,BE1AC于点E,D是线段 BE上的一个动点，则CD+5BD的最小值是 5 ( 第5题图 A.25 B.45 C.53 D.10 6.如图，已知矩形OABC的顶点O(0,0),C(0,3),对角线AC,0B 相交于点D.按以下步骤作图：①分别以点A,D为圆心，大于 M 24D的长为半径作弧，两弧交于点M,N,连接MN恰好经过点 E/ N A B,若MN交x轴于点E,则点E的坐标为 ( 第6题图 A.(23,0) B.(3,0) C.(3,0) D.(32,0) x=-1片y4 7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示， 个4 图象经过点(0,2)，其对称轴为直线x=-1.下列结论：①3a+c 引 2 >0;②若点(-4，y1),(3,y2)均在二次函数图象上，则y1> y2;③关于x的一元二次方程a2+bx+c=-1有两个相等的 -2- 实数根；④满足ax2+bx+c>2的x的取值范围为-2<x< 第7题图 0.其中正确结论的个数为 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 九年级数学试卷第2页（共8页） 8.如图，抛物线y=ax2+c(a≠0)经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上， 则ac的值为 () A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 第8题图 第9题图 9,在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律 摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边O4,→AA2 →A2A3→A3A4→A4A…的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数)，则点P22s的 坐标是 ( A.(2022,0) B.(2022,-√3) C.(2023,5) D.(2023,-√5) 10.如图①，在Rt△ABC中，∠A=90°，点P从点A出发，沿三角形的边以1cm/s的速度逆 时针运动一周，图②中点P运动时，线段AP的长度y(cm)随运动时间x(s)变化的关 系图象，则图②中P点的坐标是 ( ↑ylcm 1318 图① 图② 第10题图 A.(13,3) B.(13,4) C.(13,4.8) D.(13,5) 得分 评卷人 二、填空题。（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11.已知方程x2+bx+3=0的一根为5+√2，则方程的另一根为 12.已知a为方程x2+x-9=0的根，则a3-10a+2031的值为 13.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(1,0), 点B(3,0),与y轴相交于点C,点D在抛物线上，当CD∥x轴时， CD 14.在矩形ABCD中，AB=2,O是BD的中点，点E在直线AD上，且 第13题图 DE=3,若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为 九年级数学试卷第3页（共8页） 15.如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，点F在DA的延长线上， 连接EF与对角线AC交于点H,连接BF,若EH=FH,AH=√2， CE=1,则BF的长为 第15题图 得分 评卷人 三、解答题。（共8个小题，满60分）解答时每小题必须给出必要的 演算过程或推理步骤 16.(6分)小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如3+2√2=(1+√2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b2=(m+n2)2(其中a,b,m,n均为正整数)，则有a+b2=m2+2n2+ 22mn,..a m2 2n2,b 2mn. 这样小明就找到了一种把a+b√2的式子化为平方式的方法。 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a+b√3=(m+n√5)2，用含m,n的式子分别表示a, b,得a= ,b= ; (2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b,m,n填空：+=（+)2； (3)若a+45=(m+n3)2,且a,m,n均为正整数，求a的值 17.(8分)给定一个矩形A,如果存在另一个矩形B,它的周长和面积分别是已知矩形周长 和面积的一半，那么称矩形B是矩形A的“对半矩形”。 (1)填空：当已知矩形A的边长分别为6和1时，小明是这样研究的，设所求的对半矩形B 的一边是女则另一边为（乃-，由题意得方程（子-）=3，化简，得 2x2-7x+6=0. .b2-4ac=49-48>0,∴.x1= .矩形A存在对半矩形B. 小红的做法是：设所求的对半矩形的两边分别是x和y,由题意，得方程组 7 x+y=2消去y化简后也得到2x2-7x+6=0,然后通过解该一元二次方程我们 xy=3, 也可以求出对半矩形B的两边长. (2)如果已知矩形A的边长分别为3和2.请你仿照小明或小红的方法研究矩形A是否存 在对半矩形B. 九年级数学试卷第4页（共8页） (3)方程和函数之间密不可分，我们可以利用函数图象解决方程的相关问题.如图，在同 一平面直角坐标系中画出了一次函数和反比例函数的部分图象， 其中x和y分别表示矩形A的对半矩形B的两边长，请你结合之 前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形A的面积为 ,周长为 0 6 ②对半矩形B的两边长为 和 18.(6分)如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神 秘数”.例如：因为4=22-02,12=42-22,20=62-42，故4,12,20都是“神秘数”. (1)写出一个除4,12,20之外的“神秘数”： (2)设两个连续偶数为2k和2k+2(k为非负整数)，则由这两个连续偶数构造的“神秘 数”能够被4整除吗？为什么？ (3)两个相邻的“神秘数”之差是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明 理由 19.(7分)(1)如图1、2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化 试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律； B B3 B2 B CI C2 C3 图1 图2 (2)根据你探索到的规律，试比较18°、34°、50°、62°、88°这些锐角的正弦值的大小和余弦 值的大小： (3)比较大小（填“<”“>”或“=”）： 若a=45°，则sina cosQ; 若<45°，则sina cosQ; 若a>45°，则sina cosQ. (4)利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小： sinl0°，cos30°，sin50°，cos70°. 20.(8分)阅读材料，解答问题. 例：若代数式√(2-a)2+√(a-4)2的值是常数2，求a的取值范围. 分析：原式=|a-2|+|a-4|,因为|a-2|表示数a在数轴上的点到数2在 九年级数学试卷第5页（共8页） 数轴上的点的距离，|α-4|表示数a在数轴上的点到数4在数轴上的点的距离，所 以我们可以借助数轴进行分析 02 4 解：原式=|a-2|+|a-4|.在数轴上看，应分三种情况讨论： ①当a<2时，原式=2-a+4-a=6-2a; ②当2≤a≤4时，原式=a-2+4-a=2; ③当a>4时，原式=a-2+a-4=2a-6. 通过分析可得a的取值范围应是2≤a≤4. (1)此例题的解答过程中用了哪些数学思想？ (2)化简：√(3-a)7+√(a-7); (3)画出函数y=√(3-x)7+√(x-7)7的图象； (4)由图象解方程√(3-x)2+√(x-7)2=6;(直接写出答案即可) (5)由图象解不等式√(3-x)了+√(x-7)了>6.（直接写出答案即可） 21.(8分)阅读理解题 阅读材料： 如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为，∠FAD为B.若 ，则amg=分 1 0 证明：设BE=k. 1 .lana 2 图1 九年级数学试卷第6页（共8页） ∴.AB=2k. 易证△AEB≌△EFC(AAS), ∴.EC=2h,CF=k. ∴.FD=k,AD=3k DF k1 ∴.an6=D=3=3 当&+B=45时，若ana=子，则anB= 3 同理：当a+B=45°时，若tana= ，则a=7 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=m(x>0)的 图象交于点A,与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转 45°后的直线与y轴交于点E,过点A作AM⊥x轴于点M,过点 A作AW1y轴于点N,已知OA=5. 图2 (1)求反比例函数的解析式. (2)直接写出tan∠BAM,tan∠NAE的值. (3)求直线AE的解析式 22.(8分)在平面直角坐标系x0y中，M(x1y),N(x2y2)是抛物线y=ax2+bx+c (a>0)上任意两点.设抛物线的对称轴为x=k. (1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,求t的值； (2)若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1<y2,求t的取值范围. 23.(9分)综合与实践 【阅读经典】 2002年国际数学家大会在北京召开，如图1，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的 “弦图”，体现了数学研究中的继承和发展.“弦图”在三国时期被赵爽发现，是证明 的几何方法.（填序号） 2002国际数学家 著名的“赵爽弦图” 大会的会徽 图1 九年级数学试卷第7页（共8页）》 ①勾股定理：②完全平方公式；③平方差公式 【动手操作】 如图2，某数学兴趣小组发现，用四个大小、形状完全相同的直角三角形就可以拼接 得到一个“赵爽弦图”.组员小明自制了四个大小形状一样，且两直角边的边长分别为5和 12的三角板拼成了一个“赵爽弦图”，则中间四边形ABCD的面积为 【问题探究】 兴趣小组组员小红发现，通过旋转某个三角形得到一些美妙的结论：如图3，E为正方 形ABCD内一点，△BCE满足BE2+CE2=BC2,将△BCE绕点C顺时针旋转90°，得到 △DCE'. (1)连接BD,若点E为BD的中点，则四边形DECE'为 (填形状) 【问题解决】 (2)若BE,E'D的延长线交于点M,连接AC,点O,F分别为AC,CD的中点 ①请找出OM和FE'的数量关系并写出直线OM和直线FE'的夹角（锐角），请仅就图4的 情形说明理由； ②若DM=1,AB=5,请直接写出BE的长. 图2 图3 图4 九年级数学试卷第8页（共8页） 2023~2024学年第一学期学生创新能力测试调研试题 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1-5 CADCB 6-10 ABBCD 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.5-√2 12.2022 13.4 14.3+5或3-5 15.10 三、解答题（共8个小题，满分60分） 16.解：(1)m2+3n22mn…2分 (2)4+23=(1+√3)2（答案不唯一）…4分 (3)根据题意，得=m+3m2, (4 2mn. .2mn=4,且m,n为正整数， ∴.m=2,n=1或m=1,n=2. .a=7或13.…6分 17.解：(12号 …2分 (2)法一：设所求矩形的一边是，则另一边为氵- 由题意，得方程x(3-=3,化简得2x-5x+6=0 .62-4ac=25-48<0, .原方程无解 满足要求的矩形B不存在.…4分 法二：设所求的对半矩形的两边分别是x和y.由题意，得方程组 x+y= 2 xy=3, 消去y化简后也得到2x2-5x+6=0, .b2-4ac=25-48<0,∴.原方程无解..满足要求的矩形B不存在. (3)①12,24.…6分 ②3+5,3-√3…8分 18.解：(1)28.（答案不唯一）…2分 (2)由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除。 九年级数学参考答案及评分标准第1页（共4页） 理由：(2k+2)2-(2k)2=(2h+2+2k)·(2k+2-2h)=4(2k+1), ∴.由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除.…4分 (3)两个相邻的“神秘数”之差为定值. .4[2(k+1)+1]-4(2k+1)=8. ∴.两个相邻的“神秘数”之差是定值8. …6分 19.解：(1)正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小；…2分 (2)sinl8°<sin34°<sin50°<sin62°<sin88°， c0.s88°<cos62°<c0s50°<c0s34°<c0sl8°；…4分 (3)=,<,>；6分 (4)sin10°<co.s70°<sin50°<cos30°.…7分 20.解：(1)数形结合思想，分类讨论思想；…1分 (2)原式=|3-a1+a-71,①当a<3时，原式=3-a+7-a=10-2a: ②当3≤a≤7时，原式=4；③当a>7时，原式=a-3+a-7=2a-10. …4分 r10-2xx<3 (3)由(2)知y=43≤x≤7…5分 2x-10x>7 ∴.函数y=√(3-x)2+√(x-7)2是一个分段函数， 其图象为： …6分 2 0 12345678 (4)x=2或x=8…7分 (5)x>8或x<2 …8分 21.解：(1)设A(t,3t-9),则0M=t,AM=3t-9. 0A=5,.2+(3t-9)2=52,解得t=4或1=1.4（舍去），.A(4,3). 把4(4,3)代入y=m,得m=12,.反比例函数的解析式为y=二(x>0)。 …3分 (2)am∠RM-=分，am∠NMR=2 …5分 九年级数学参考答案及评分标准第2页（共4页）