2.1 两条直线的位置关系 课时练-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.1 两条直线的位置关系 课时练-北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．（2023七下·鞍山期末）如图，对顶角量角器测得零件的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2024七下·清苑期中）下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024七下·宁江期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 4．（2025七下·龙岗期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，∠α与<β互余的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025七下·揭西期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E、F分别是AD、AB上的动点，若AB＝6，△ABC的面积为12，则BE＋EF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（2025七下·乐清期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度。现一学生跳远训练情况如图所示，点A表示后脚跟落点，点B表示前脚跟落点，AC，BD垂直于起跳线l，垂足分别为C，D，则测量成绩的线段是（　　） A．AE B．AC C．AD D．BD 7．（2025七下·德阳月考）如图，直线相交于点，则等于（　　） A． B． C． D． 8．（2024七下·蓬江期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上．则下列结论： ①∠NOA＝30°； ②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA； ③图中有4对互余的角； ④货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上． 其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．（2025七下·榕城期末）如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是　 　. 10．（2023七下·东莞期中）如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 　 　． 11．（2025七下·长沙开学考）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为　 　． 12．（2024七下·湖北期中）如图，三角形ABC的面积为12，AB的长为6，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　． 13．（2024七下·秦都月考）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为　 　m． 三、解答题 14． （1）如图，点D在线段AB上，∠ACD与∠BCD互余，∠CDA与∠CDB相等。找出图中互相垂直的直线，并用符号“⊥”表示。 （2）在题图中，点A到BC的距离是线段 ▲ 的长；点B到AC的距离是线段 ▲ 的长；点C到AB的距离是线段 ▲ 的长。 15．（2025七下·北流月考）如图，直线，相交于点O，，求的度数． 16．（2025七下·上城期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC . （1）若∠AOD=58°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE=3：2，求∠AOF的度数. 17．（2024七下·晋源月考）如图，点O是直线上一点，以O为顶点作，平分． （1）当时，求的度数； （2）若与互补，求的度数． 18．（2024七下·潮阳期中）已知：如图，直线相交于点O，于O． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数． 19．把图中互相平行的线用“∥”表示出来，互相垂直的线用“ ”表示出来： 20．（2024七下·乐平期中） 如图1，以直线上一点O为端点作射线，使．将一个直角三角板的直角顶点O放在直线上的点O处，边放在射线上． （1）　 　； （2）如图2，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动，当射线恰好平分时，求的度数； （3）如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 两条直线的位置关系 课时练-北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．（2023七下·鞍山期末）如图，对顶角量角器测得零件的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：因为对顶角相等， 所以对顶角量角器测得零件的度数是30°， 故答案为：A. 【分析】由对顶角相等，即可得出答案. 2．（2024七下·清苑期中）下列各图中，过直线l外的点P画l的垂线．三角尺操作正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角板（量角器）画图-垂线 【解析】【解答】解： 用三角尺过直线l外的点P画l的垂线的作法为：将三角板的一条直角边与已知直线l完全重合，平移三角板，使另一条直角边经过点P，沿直角边过点P画出垂线，并标注字母，故D正确， 故答案为：D． 【分析】根据用三角尺过直线外一点作直线垂线的作法进行判断即可. 3．（2024七下·宁江期末）如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，请你在公路上选一点来建汽车站，应建在点C，依据是（　　） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线 【答案】B 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】解：由题意知，依据为垂线段最短， 故答案为：B． 【分析】利用垂线段最短的性质及生活常识分析求解即可. 4．（2025七下·龙岗期末）将一副三角板按不同位置摆放，下列选项中，∠α与<β互余的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余角 【解析】【解答】解：若两个角的和为，则这两个角互余。 A、三角板是一副（含、、和、、 ），图中（平角定义 ），所以，满足互余，A正确； B、图中与是三角板中对应相等的角（如与 ），和不为，不互余，B错误； C、图中（对顶角或三角板角度对应 ），和不为，不互余，C错误； D、图中（平角或补角关系 ），是互补，不互余，D错误； 故答案为：A. 【分析】先明确“互余”的定义（和为 ），再结合三角板的角度（、、、 ），分析每个选项中与的和是否为 . 5．（2025七下·揭西期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E、F分别是AD、AB上的动点，若AB＝6，△ABC的面积为12，则BE＋EF的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【知识点】垂线段最短及其应用；点到直线的距离 【解析】【解答】解：如图，作点F关于AD的对称点M，连接BM，EM，过点 B作 BN⊥AC 于点 N ∴EF = EM ∴ BE + EF = BE + EM >BM ∵所以当BM 最小时，BE +EF 最小 ∴当BM ⊥AC 时，BM 最小，即点 M 与点 N 重合，最小值为 BN 的长 ∵S△ABC=AC×BN=12 AB=AC=6 ∴BN=2×12÷6=4 即BE +EF的最小值是4. 故答案为：C. 【分析】通过作对称将BE+EF转化为BE+EM从而化为求点到线段的距离问题，根据三角形边和面积进行推导即可。 6．（2025七下·乐清期末）测量跳远项目的成绩时，老师会测量学生后脚跟落地点到起跳线的垂线段长度。现一学生跳远训练情况如图所示，点A表示后脚跟落点，点B表示前脚跟落点，AC，BD垂直于起跳线l，垂足分别为C，D，则测量成绩的线段是（　　） A．AE B．AC C．AD D．BD 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【解析】【解答】解：根据题意可知， 测量成绩的线段是AC. 故答案为：B. 【分析】根据点到直线的距离的定义可知AC或BD，再根据跳远成绩取两脚的较小距离，即可求得. 7．（2025七下·德阳月考）如图，直线相交于点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角及其性质 【解析】【解答】解：如图， ∵， ∴． 故答案为：C． 【分析】利用对顶角相等可证得，再根据平角的定义解答即可． 8．（2024七下·蓬江期中）如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它北偏东30°的方向上，海岛B在它南偏东60°方向上．则下列结论： ①∠NOA＝30°； ②图中∠NOB的补角有两个，分别是∠SOB和∠EOA； ③图中有4对互余的角； ④货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上． 其中正确结论的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】方位角；余角；补角 【解析】【解答】解：由方位角意义可知：∠NOA＝30°，因此①正确； 根据题意可求出；∠NOB＝120°，∠SOB＝60°，∠EOA＝60°，因此②正确； 图中互余的角有：∠NOA和∠AOE，∠NOA和∠BOS，∠BOE和∠AOE，∠BOE和∠BOS，因此③正确； 根据方位角，海岛B在轮船O南偏东60°方向，即∠BOS＝60°，也就是∠BOE＝30°，反之货轮O在海岛B的西偏北30°的方向上．因此④正确； 综上所述，正确的个数有4个， 故选：D． 【分析】本题考查了方位角的概念，互余的意义以及角度的有关计算，根据方位角的意义、互余意义，结合图形，逐个进行分析判断，即可得到答案. 二、填空题 9．（2025七下·榕城期末）如果一个角的补角等于它余角的4倍，那么这个角的度数是　 　. 【答案】60° 【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；余角；补角 【解析】【解答】解：设这个角的度数为x°，则它的余角为（90-x）°，补角为（180-x）°， 根据题意，得：180-x=4（90-x）， 解得：x=60. 故答案为：60°. 【分析】解：设这个角的度数为x°，根据余角补角的定义，可得出方程，解方程求解即可。 10．（2023七下·东莞期中）如图，直线AB与CD相交于点E，∠CEB＝50°，EF⊥AE，则∠DEF的度数为 　 　． 【答案】140° 【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质 【解析】【解答】解：∵EF⊥AE， ∴∠AEF＝90°， 又∵∠AED＝∠CEB＝50°， ∴∠DEF＝∠DEA+∠AEF＝50°+90°＝140°． 故答案为：140° 【分析】 根据垂直的定义得到∠AEF＝90°，根据对顶角相等得到∠AED＝50°，即可求出∠DEF＝140°，由此即可解答． 11．（2025七下·长沙开学考）如图，直线，相交于点，，平分，，则的度数为　 　． 【答案】 【知识点】垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【解答】解：设∠1=2x，∠2=x， ∵∠AOE=90°， ∴x+2x=90°， 解得x=30°， ∴∠BOC=180°-∠2=180°-30°= 150°， ∵OF平分∠BOC， ∴， 故答案为：75°.【分析】根据比例设∠1=2x，∠2=x，由垂直的定义得∠BOE=90°可得关于x的方程，解方程求出x的值，再根据邻补角的定义求出∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义得∠COF=∠BOC可求解. 12．（2024七下·湖北期中）如图，三角形ABC的面积为12，AB的长为6，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是　 　． 【答案】4 【知识点】垂线段最短及其应用 【解析】【解答】过点C作CD⊥AB，垂足为D. ∵， ∴CD=4， 又∵， ∴CPmin=4. 【分析】根据面积及底边AB列出等量关系求出高，由垂线段最短可求得CP最小值. 13．（2024七下·秦都月考）如图，点M，N处各安装一个路灯，点P处竖有一广告牌，测得，则点P到直线的距离可能为　 　m． 【答案】4（答案不唯一） 【知识点】点到直线的距离 【解析】【解答】解：∵设点P到直线MN的距离为x，PM=7，PN=5， ∴5＜x＜7， ∴x的值可能是4. 故答案为：4. 【分析】设点P到直线MN的距离为x，利用垂线段最短，可得到x的取值范围，即可得到点P到直线MN的距离的可能值. 三、解答题 14． （1）如图，点D在线段AB上，∠ACD与∠BCD互余，∠CDA与∠CDB相等。找出图中互相垂直的直线，并用符号“⊥”表示。 （2）在题图中，点A到BC的距离是线段 ▲ 的长；点B到AC的距离是线段 ▲ 的长；点C到AB的距离是线段 ▲ 的长。 【答案】（1）解：。 （2） 【知识点】垂线的概念；点到直线的距离 【解析】【解答】解：（1）∵∠ACD ∠BCD互余， ∴∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∵∠CDA与∠CDB相等，且 ∠CDA+∠CDB=180°， ∴ ∠CDA=∠CDB=90°， ∴CD⊥AB； （2）根据点到直线的距离是直线外一点到该直线的最短距离， 也就是这个点到这条直线的垂线段的长度，结合（1）可知，点A到BC的距离是线段AC的长，点B到AC的距离是线段BC的长，点C到AB的距离是线段CD的长. 【分析】（1）根据互余的两个角的和等于90°，两条直线相交构成的角是90°时，两直线互相垂直进行判断即可； （2）根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度进行判断即可. 15．（2025七下·北流月考）如图，直线，相交于点O，，求的度数． 【答案】解：∵， ∴， ∴．​​​​​​​ 【知识点】角的运算；对顶角及其性质 【解析】【分析】题中可以根据条件先求出，再根据对顶角相等即可求解． 16．（2025七下·上城期中）如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC . （1）若∠AOD=58°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE=3：2，求∠AOF的度数. 【答案】（1）解：∵ ∠AOD=58°， ∴∠BOC=∠AOD=58°， 又∵ OE⊥AB， ∴∠BOE=∠AOE=90°， ∴∠COE=90°-∠BOC=90°-58°=32° （2）解：设∠AOF=3x°，则∠COE=2x°， ∵ OF平分∠AOC， ∴∠AOC=2∠AOF=6x°， ∴∠AOE=∠AOC-∠COE=6x°-2x°=4x°=90°， 解得x=22.5°， ∴∠AOF=3x°=67.5° 【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得到∠BOC的度数，然后根据垂直得到∠BOE=90°，然后根据角的和差解题即可； （2）设∠AOF=3x°，则∠COE=2x°，根据角平分线得到∠AOC=6x°，然后利用角的和差求出x的值解题即可. 17．（2024七下·晋源月考）如图，点O是直线上一点，以O为顶点作，平分． （1）当时，求的度数； （2）若与互补，求的度数． 【答案】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）解：，． ， ． ． 解法2 ∵，， ∴． 【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角 【解析】【分析】（1）根据补角定义，求得的度数，由平分，得到，求得的度数，再由，结合，即可得到答案； （2）解答1：根据补角定义，得到，再求得，结合，即可求解； 解法2：由，结合周角的定义，列出算式，即可求得的度数． 18．（2024七下·潮阳期中）已知：如图，直线相交于点O，于O． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； （3）在（2）的条件下，请你过点O画直线，并在直线上取一点F（点F与O不重合），然后直接写出的度数． 【答案】（1）解：∵，∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： 若F在射线上，则； 若在射线上，则； 综上所述，的度数为或． 【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质 【解析】【分析】（1）由，得到，再由对顶角相等，得到，结合，即可求解； （2）根据平角的定义，由，求得，再由，得到，即可求解； （3）根据题意，分F在射线上和在射线上，结合和，进行计算，即可求解.． 19．把图中互相平行的线用“∥”表示出来，互相垂直的线用“ ”表示出来： 【答案】AB∥CD；MN∥OP；EF∥GH；AB⊥GH；AB⊥EF；CD⊥EF；CD⊥GH； 【知识点】平面中直线位置关系 【解析】【分析】根据平行和垂直的特征写出即可. 20．（2024七下·乐平期中） 如图1，以直线上一点O为端点作射线，使．将一个直角三角板的直角顶点O放在直线上的点O处，边放在射线上． （1）　 　； （2）如图2，将直角三角板绕点O按逆时针方向转动，当射线恰好平分时，求的度数； （3）如图3，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）15° （2）解：∵OC平分∠BOE，∠BOC=75° ∴∠EOB=2∠EOC=150°， ∴∠EOC=75° ∵∠DOE=90° ∴∠COD=∠DOE-∠EOC=90°-75°=15°． （3）解：∠COE-∠BOD=15°，理由如下： 如图③，∵∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°， ∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD） =∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD =∠DOE-∠BOC =90°-75° =15°， 即∠COE-∠BOD=15°． 【知识点】角的运算；余角、补角及其性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：∵ ∠DOE=90°，∠BOC=75°， ∴ ∠COE=∠DOE-∠BOC=15°； 故答案为：15°或15度； 【分析】（1）根据∠BOC和∠COE互余，即可求得； （2）根据角平分线的定义可得∠EOC=75°，再根据∠COD与∠EOC互余，即可求得； （3）根据位置关系可得∠BOD+∠COD=∠BOC=75°，∠COE+∠COD=90°，再求差，即可求得∠DOE-∠BOC=15°. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $