专题01 集合与常用的逻辑用语（8知识&9题型&2易错）（期末复习知识清单）高一数学上学期苏教版

专题01 集合与常用的逻辑用语 【清单01】元素与集合 （1）集合中元素的三个特性： 、 、 . （2）元素与集合的关系： 或 ，数学符号分别记为： 和 . （3）集合的表示方法： 、 、 . （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 特别提醒： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法：把集合的元素 出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法：用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【清单02】集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中 都是集合中的元素，我们就说这两个集合有 ，称 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但 ，且，我们称集合是集合的 ，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（ ，且集合是集合的子集（ ），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作 . （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做 ，记作 ；是任何集合的 ，是任何非空集合的 【清单03】集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 【清单04】集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【清单05】充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的 ，q是p的 ． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 【清单06】充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【清单07】全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做 ．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“ ”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做 存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“ ”，读作“存在中元素，使成立”． 【清单08】含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p： ； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p： ． 注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【题型一】集合的三要素 【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【变式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【变式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多选题）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 【题型二】元素与集合的关系 【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【变式2-1】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【型三】集合与集合的关系：子集与真子集 【例3】．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【变式3-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【型四】集合的运算：交集、并集与补集 【例4】．（25-26高三上·重庆·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【型五】含有一个量词的命题的否定 【例5】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】．（24-25高一上·江苏南通·月考）命题：“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【题型六】命题真假的判断 【例6】．（25-26高一上·江西赣州·月考）（多选题）下列命题中，是真命题的有（    ）． A．已知集合，，则的真子集个数为3 B．设集合，，若，则或 C．若，，则 D． 【变式6-1】．（24-25高一上·贵州遵义·月考）（多选题）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【变式6-2】．（23-24高一上·重庆·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【题型七】根据命题的真假求参数的取值范围 【例7】．（25-26高一上·山东聊城·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型八】充分、必要及充要条件的判断 【例8】．（25-26高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）“”是“幂函数在区间上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【题型九】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围 【例9】．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【变式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【变式9-2】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【例1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式1-1】．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围. 【易错题型二】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 【例2】．（25-26高一上·河南信阳·期中）命题“存在一个实数，使得”的否定是（    ） A．对任意实数，都有 B．存在一个实数，使得 C．对任意实数，都有 D．存在一个实数，使得 4 【变式1-1】．（25-26高一上·海南海口·月考）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 集合与常用的逻辑用语 【答案】 一、1、确定性 无序性 互异性 2、属于或不属于 3、列举法 描述法、韦恩图 二、1、为的子集 ，记作（或）2、是的真子集，记作（或） 3、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 4、集合与集合相等，记作. 5、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 三、1、A∩B={x|x∈A，且x∈B} 2、A∪B={x|x∈A，或x∈B} 3、∁UA={x|x∈U，且x∉A} 四、1、p⇒q且q⇏p 2、p⇏q且q⇒p 3、p⇔q 五、1、“所有的”、“任意一个” 2、“存在一个”、“至少有一个” 六、1、p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 2、p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 【清单01】元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. （2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和. （3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）. （4）常见数集和数学符号 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 特别提醒： ①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中； ②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的. 集合应满足. ③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合. ④列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. ⑤描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 【清单02】集合间的基本关系 （1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作. （4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【清单03】集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 【清单04】集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 【解题方法总结】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 【清单05】充分条件与必要条件 (1)一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)几点说明 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【清单06】充要条件 (1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． (2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【清单07】全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”． 【清单08】含有一个量词的命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 注意：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【题型一】集合的三要素 【例1】．（25-26高一上·福建泉州·期中）下列所给对象不能构成集合的是（   ） A．一个平面内的所有点 B．某校高一（1）班的高个子学生 C．所有大于零的正整数 D．不等于0的偶数 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的定义一一判断即可． 【详解】对于A，“一个平面内的所有点”是确定的，能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“某校高一（1）班的高个子学生”的标准不确定，因而不能构成集合，故B符合题意； 对于C，“所有大于零的正整数”的标准确定，能构成集合，故C不符合题意； 对于D，“不等于0的偶数”的标准确定，能构成集合，故D不符合题意. 故选：B. 【变式1-1】．（25-26高一上·福建莆田·期中）下列各组对象不能构成集合的是（ ） A．中国古代四大发明 B．小于5的正整数 C．关于方程的实数解 D．中国著名的数学家 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的意义，逐项判断即可. 【详解】对于A，中国古代四大发明可以明确可知，故可以构成集合； 对于B，小于5的正整数明确可知，可以构成集合； 对于C，关于方程的实数解有明确的解，可以构成集合； 对于D，中国著名的数学家，对著名没有明确的标准，不可以构成集合. 故选：D. 【变式1-2】．（25-26高一上·江西九江·月考）（多选题）已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（   ） A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0 C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据题意得，，得， 逐项判断即可. 【详解】由，，得，， 要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等． 因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误． 由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确． 当时，，，所以D正确． 故选：BCD 【题型二】元素与集合的关系 【例2】．（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）若，则（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 【变式2-1】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知集合，则0与集合A的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】先求出集合，再判断元素与集合的关系. 【详解】， 因为元素与集合的关系是属于和不属于，所以. 故选：A. 【变式2-2】．（25-26高一上·云南文山·月考）若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（   ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义 【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则；时，则； 时，则；时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么，，，，， ，，，， ，，， ，，，共有15个. 故选：B 【型三】集合与集合的关系：子集与真子集 【例3】．（25-26高一上·上海·期中）设集合，则满足的集合的子集最多个数是（    ）． A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】先由并集分析集合的元素可能个数，再求子集个数即可. 【详解】因为集合，则满足， 所以集合的元素可能是2个，3个，4个， 所以集合的子集最多个数是个. 故选：C 【变式3-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合是否相等 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，， 当时，，所以. 故选：A. 【变式3-2】．（2026高三·全国·专题练习）已知集合，若，则实数的取值集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当时，则，所以，得， 此时； 当时，则，所以，所以，所以，则， 此时， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：B. 【型四】集合的运算：交集、并集与补集 【例4】．（25-26高三上·重庆·月考）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、列举法表示集合 【分析】应用列举法表示出集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设，，所以. 故选：C 【变式4-1】．（25-26高一上·广东惠州·月考）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义进行运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 【变式4-2】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知集合，集合． (1)若，求和． (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）解分式不等式求得集合，进而求得，可求和． （2）由题意可得，分与讨论，列出不等式，计算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由，得，所以，所以 所以，解得， 所以，所以， 当时，， 所以，或； （2）由，则，由（1）可知 若，则，解得，满足； 若，由，得，解得，即， 综上所述：实数的取值范围为． 【型五】含有一个量词的命题的否定 【例5】．（25-26高一上·辽宁大连·期中）命题“”的否定为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据题意，结合全称量词命题与存在量词命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可知命题“”的否定为“”. 故选：C. 【变式5-1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）命题“，”的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可得到答案. 【详解】命题“”的否定为“”. 故选：A. 【变式5-2】．（24-25高一上·江苏南通·月考）命题：“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题否定的结构形式可得正确的选项. 【详解】命题：“”为存在量词命题， 故其否定为：， 故选：B. 【题型六】命题真假的判断 【例6】．（25-26高一上·江西赣州·月考）（多选题）下列命题中，是真命题的有（    ）． A．已知集合，，则的真子集个数为3 B．设集合，，若，则或 C．若，，则 D． 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】判断命题的真假、判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、根据两个集合相等求参数 【分析】对于A计算进而得的真子集个数即可判断，对于B由计算，验证是否满足集合的互异性即可判断，对于C根据不等式的性质即可得的范围进而判断，对于D根据集合的子集的定义即可判断. 【详解】对于A，因为集合，， 所以．故的真子集个数为3，A为真命题； 对于B，集合，， 由，得或，解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，所以，B为假命题； 对于C，因为，所以． 因为，所以，所以，C为假命题； 对于D，，所以， 所以，D为真命题． 故选：AD． 【变式6-1】．（24-25高一上·贵州遵义·月考）（多选题）下面命题正确的是（ ） A．若且，则，至少有一个大于1 B．直角三角形的外心一定不在斜边上 C．如果实数集的非空子集是有限集，那么中的元素必然有最大值 D．任何分数都是有理数 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、判断元素与集合的关系 【分析】借助反证法可得A、C；结合直线三角形性质与外心定义可得B；利用分数与有理数定义可得D. 【详解】对A：假设，都小于或等于，则， 与已知矛盾，故假设错误，故A正确； 对B：直角三角形的外心在斜边中点,故B错误； 对C：假设非空集合中的元素无最大值，则集合必为无限集， 这与实数集的非空子集是有限集矛盾，故中的元素必然有最大值，故C正确； 对D：由有理数定义可知，任何分数都是有理数，故D正确. 故选：ACD. 【变式6-2】．（23-24高一上·重庆·期中）（多选题）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断命题的真假 【分析】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可. 【详解】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD 【题型七】根据命题的真假求参数的取值范围 【例7】．（25-26高一上·山东聊城·期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由，且，分析得解. 【详解】因为，且， 所以等价于，则， 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式7-1】．（25-26高一上·北京·月考）已知命题p：，；命题q：，，若命题p，q均为假命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据或且非的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】结合全称量词命题及存在量词命题的真假关系即可求解． 【详解】命题p：，；命题q：，， 若命题p，q均为假命题， 则，为真命题，且，为真命题. 在上恒成立，且有解， 故且， 解得或. 故选：D. 【变式7-2】．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 【题型八】充分、必要及充要条件的判断 【例8】．（25-26高一上·江苏南京·期中）“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】先求解出方程的根，然后根据互相推出关系判断出结果. 【详解】由解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式8-1】．（25-26高一上·广东深圳·期中）“”是“幂函数在区间上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、充要条件的证明、根据函数是幂函数求参数值 【分析】先根据幂函数的定义求出的值，再结合函数单调性判断条件. 【详解】是幂函数，则，求解得，， 时，在区间上单调递减，充分性成立， 时，在区间上单调递增，故舍去， 若幂函数在区间上单调递减，则，必要性成立， 因此“”是“幂函数在区间上单调递减”的充要条件， 故选：A 【题型九】根据充分、必要及充要条件求参数的取值范围 【例9】．（25-26高三上·广东梅州·月考）已知“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】． 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据充分不必要条件判断集合间的包含关系，进而列出不等式，求出参数范围即可. 【详解】由题可得：，， 因为“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集； 所以，解得：， 检验：时，，满足条件； 时，，满足条件； 所以综上，实数的取值范围为：； 故答案为： 【变式9-1】．（25-26高一上·河北衡水·期中）已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、必要条件 【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式9-2】．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知集合，． (1)当时，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）根据交集的定义域运算直接得出结果； （2）根据充分条件、必要条件的定义可得，结合集合的包含关系建立关于的不等式组，解之即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集. 由，知集合为非空集合， 则且等号不能同时成立，解得， 即实数的取值范围为. 【易错题型一】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误．尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况．考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面． 【例1】．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知命题，命题． (1)已知，命题都是真命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、已知命题的真假求参数 【分析】（1）代入，根据命题为真命题分别表示出对应的取值范围，再由集合交集运算可知结果； （2）根据和进行分类讨论，然后可求结果. 【详解】（1）当时，， 当为真命题时，的取值范围是，当为真命题时，的取值范围是， 当都是真命题时，因为，所以的取值范围是. （2）当时，命题对应的集合为，且，故满足条件； 当时，若为真命题，则，且为真命题时，， 因为是的充分不必要条件，所以，解得(经检验，取等号时满足条件)， 综上所述，的取值范围是. 【变式1-1】．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知集合，. (1)若，求和； (2)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2) 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、补集的概念及运算、并集的概念及运算 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集、并集的定义可求得结果； （2）分析可知，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 因为，则或，. （2）因为“”是“”的必要而不充分条件，则， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【易错题型二】在解含参数集合问题时忽略空集 易错分析：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 【例2】．（25-26高一上·河南信阳·期中）命题“存在一个实数，使得”的否定是（    ） A．对任意实数，都有 B．存在一个实数，使得 C．对任意实数，都有 D．存在一个实数，使得 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断即可. 【详解】命题“存在一个实数，使得”的否定是“对任意实数，都有”. 故选：C. 【变式1-1】．（25-26高一上·海南海口·月考）（多选题）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“”是假命题 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分不必要条件 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、全称命题的否定及其真假判断、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可判断A；根据即可判断B；通过举例即可判断C；根据充分不必要条件的判断即可确定D． 【详解】命题“”的否定是“”，故A错误； 由，则无解， 即命题“”是假命题，故B正确； 若，则，故充分性不成立，故C错误； 由，反之不成立，则“”是“”的充分不必要条件，故D正确． 故选：BD． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $