5.2 认识函数 课件 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

5.2 认识函数（第一课时） 助跑速度v(米/秒) 7.5 8 8.5 跳远的距离s(米) 情境1 跳远运动员按一定的起跳姿势,其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米/秒)有关.根据经验,跳远的距离 s=0.085v2 (0＜v＜10.5)。 （1）常量： 变量 。 0.085 v、s （3） 给定一个v的值，相应的变量s的值唯一确定吗? 变量v的值一经确定,变量s的值也随之唯一确定。 （2）填写下表（精确到0.01）: 4.78 6.14 5.44 2 情境2 小明的哥哥是一名大学生,他利用暑假去一家公司打工,报酬20元/时计算,设小明的哥哥这个月工作的时间为 t 时,应得报酬为 m 元。填写下表： （2）怎样用关于t的代数式来表示m？ 工作时间t(时) 1 5 10 15 20 … t … 报酬m(元) 20t 100 400 300 200 20 m=20t （1）你能说出其中哪些是常量？哪些是变量吗？ （3）给定变量t的一个值，相应的变量m的值唯一确定吗？ … … 常量： 变量 。 20 t、m 变量t的值一经确定,变量m的值也随之唯一确定。 情境3 x 0.2 0.4 0.6 0.8 … 0.3 0.35 0.4 0.45 变量x的值一经确定,变量y的值也随之唯一确定。 4 情境1：变量v的值一经确定，变量s的值也随之唯一确定。 情境2：变量t的值一经确定，变量m的值也随之唯一确定。 情境3：变量x的值一经确定，变量y的值也随之唯一确定。 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 共同特点 函数概念 s是v的函数，v是自变量。 y是x的函数，x是自变量。 m是t的函数，t是自变量。 1.都有两个变量； 2.一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而变化； 3.给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 5 这几个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数表达式，简称函数式。 用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 m=20t s=0.085v2 y=x+ 概念 s是v的函数，v是自变量。 y是x的函数，x是自变量。 m是t的函数，t是自变量。 表示方法 6 把自变量x的一系列值和函数y对应值列成一个表。 这种表示函数关系的方法是列表法。 概念 s是v的函数，v是自变量。 y是x的函数，x是自变量。 m是t的函数，t是自变量。 表示方法 7 变量T的值一经确定,变量W的值也随之唯一确定。 用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 表示函数关系的图象简称函数图象。 情境4： 8 2.下列图形哪些可以表示y是x的函数的是（ ）。 1.请判断下列各题，y是不是关于x的函数？ A y= B y=x² C y2 =x 概念巩固 x取一个值 y相应也得唯一值 C A B 9 情境4： 对于不同的函数表示法，对于确定的自变量的值，我们该如何确定它的函数值呢？ 方法：若T=16,只要过点(16,0)作x轴的垂线,垂线与图象交点P(16,36)的纵坐标就且当T=16时的函数值,即W=36℃。 思考：当T=16时，函数值W为多少℃？ 方法归纳：图象法----画一画 10 情境2 小明的哥哥是一名大学生,他利用暑假去一家公司打工,报酬20元/时计算,设小明的哥哥这个月工作的时间为 t 时,应得报酬为 m 元。填写下表： 工作时间t(时) 1 5 10 15 20 … t … 报酬m(元) 20t 100 400 300 200 20 … … 思考：当t=15时，函数值m为多少元？ 方法：若函数用列表法表示,函数值可以通过查表得到。如表中,当t=15时,对应的报酬m为300元。 方法归纳：列表法----查一查 情境2 小明的哥哥是一名大学生,他利用暑假去一家公司打工,报酬20元/时计算,设小明的哥哥这个月工作的时间为 t 时,应得报酬为 m 元。填写下表： （2）怎样用关于t的代数式来表示m？ m=20t 方法:若函数用解析法表示,只需把自变量的值代人函数式,就能得到相应的函数值。 当t=8时,把它代人函数表达式,得m=20×8=160(元)。m=160称为当自变量t=8时的函数值。 思考：当t=8时，函数值m为多少元？ 方法归纳：解析法----代一代 追问：当m=180元时，自变量t为多少小时？ 方法:当m=180时,把它代人函数表达式,得180=20t。解得t=9，即m=180元时，工作时间为9小时。 例1 13 归纳总结： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数概念 用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 把自变量x的一系列值和函数y对应值列成一个表。 这种表示函数关系的方法是列表法。 用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 函数三种表示方法 画一画 查一查 代一代 14 5.2 认识函数（第二课时） 知识回顾： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数概念 用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 把自变量x的一系列值和函数y对应值列成一个表。 这种表示函数关系的方法是列表法。 用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 函数三种表示方法 画一画 查一查 代一代 16 优点：简单明了，能够准确的反映整个变化过程中自变量与函数之间的对应关系； 缺点：有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示，如气温与时间的函数关系。 用解析法表示函数有什么优缺点？ 用解析法表示函数时需要注意什么？ 1.函数解析式是一个等式； 2.是用含自变量的式子表示函数； 3.要确定自变量的取值范围。 重难点：1.求函数解析式； 2.求自变量的取值范围； 3.已知自变量的值求相应的函数值或 者已知函数值求相应的自变量的值。 17 问题1：求下列函数自变量的取值范围： 有分母，分母不能为零 ∵2x- 4≥0 ∴x≥2 开2次方，被开方数是非负数 思考：求自变量的取值范围时，要注意什么? ∵x-1≠0 ∴x≠1 x 可以取任意实数 代数式本身要有意义 ①整式（全体实数） ②分式（使分母不为0的实数） ③根式 （开偶次方，被开方数大于或等于0） 18 例2 等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x，求： (1)y关于x的函数解析式；(2)自变量x的取值范围；(3)腰长AB=3时，底边的长。 解：(1) 有三角形的周长为10，得 2x+y=10 ∴y=10-2x。 (2)∵x，y是三角形的边长， ∴x＞0，y＞0，2x＞y 10-2x＞0 2x＞10-2x ∴ (3)当腰长AB=3，即x=3 时，y =10-2×3=4。 ∴当腰长AB=3时，底边BC长为4。 当x =6时，y =10－2x 的值是多少?对本例有意义吗？当x=2呢? 想一想 当x=6时，y=-2，无意义；当x=2时，2x＜y，无意义。 A B C ∴自变量的取值范围： 2.5＜x＜5。 x x y 符合实际情况 19 (1)求Q关于t的函数解析式和自变量t的取值范围。 例3 游泳池应定期换水。 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t时，游泳池内的存水量为Q立方米。 放出的水量 剩余的水量 原存水量 + = 312t Q 936 + = Q关于t的函数解析式是：Q=936-312t。 ∵Q≥0，t ≥0 ∴ t ≥0 936-312t ≥0 解得：0≤t≤3，即自变量t的取值范围是0≤t≤3。 符合实际情况 20 (2)放水2时20分后，游泳池内还剩水多少立方米? 例3 游泳池应定期换水。某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t时，游泳池内的存水量为Q立方米。 ∴放水2时20分后，游泳池内还剩下208立方米。 解：(2)放水2时20分，即t= （时）。 ∴Q=936-312× =208（立方米） 方法指导：已知自变量的值，求函数值，只需代一代 21 (3)放完游泳池内全部水需要多少时间? 例3 游泳池应定期换水. 某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出. 设放水时间为t时，游泳池内的存水量为Q立方米. 方法指导：已知函数值，求自变量的值，只需代一代 解：(3)放完游泳池内全部水时，Q=0，即936-312t=0， 解得t=3 (时) ∴放完游泳池内全部水需3时。 22 归纳总结： 1.函数的三类基本问题： 2.求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： 1.求函数解析式； 2.求自变量的取值范围； 3.已知自变量的值求相应的函数值或 者已知函数值求相应的自变量的值。 (1)代数式要有意义 (2)符合实际 3.要使函数表达式有意义，一般有三种情况： ①整式（全体实数） ②分式（使分母不为0的实数） ③根式 （开偶次方，被开方数大于或等于0） 23 5.2 认识函数（第三课时） 知识回顾： 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数概念 用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 把自变量x的一系列值和函数y对应值列成一个表。 这种表示函数关系的方法是列表法。 用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 函数三种表示方法 画一画 查一查 代一代 25 思考：函数的图象是如何形成的？ 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 优点：能直观、形象地反映出函数的性质和变量的变化趋势，是研究和处理有关函数问题的重要工具。 重难点：通过函数图象分析函数的变化规律，厘清实际问题中两个变量间的变化关系。 26 例4 根据卫生要求,游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水,排水口的排水速度保持不变,其间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数,函数图象如图所示。 思考1：图象的横轴代表什么实际意义？ 纵轴代表什么实际意义？ 题中的图象反映了怎样的过程？ 思考2：在自变量的取值范围内,为什么Q(单位:m3)与 时间t(单位:h)构成函数关系？ 横轴代表排水时间，纵轴代表游泳池的水量。图象反映了随着时间的变化，游泳池内的水量也随之变化的过程。 在排水过程中，对于每一个排水时间t，水量Q都有唯一确定的值与之对应。所以，水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数。 27 例4 根据卫生要求,游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水,排水口的排水速度保持不变,其间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数,函数图象如图所示。 思考3：图象与纵轴的交点代表什么实际意义？ “900”代表什么意义？ 思考4：图象与横轴的交点代表什么实际意义？ “3”又代表什么实际意义？ 图象与纵轴的交点表示排水时间t=0时，水量Q为900(m3)，即未排水时游泳池内的水量为900(m3)。 图象与横轴的交点代表排水时间为t=3时，水量Q为0(m3)，即排水时间为t=3时，游泳池内的水恰好排完。 28 例4 根据卫生要求,游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水,排水口的排水速度保持不变,其间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数,函数图象如图所示。 思考5：题中的图象由三条线段组成,其中平行于x轴的线段（红色的线段）,其意义是什么？它所代表的实际意义又是什么？ 排水时间1.5≤t≤2时，水量Q不变。 即排水时间1.5≤t≤2时，游泳池暂停排水。 29 例4 根据卫生要求,游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水,排水口的排水速度保持不变,其间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数,函数图象如图所示。 思考6：平行于x轴的线段左侧与右侧的线段（红色线段）有什么位置关系？这种位置关系代表了什么实际意义？此时,你能确定排水时间吗？该如何求排水速度？ 两条线段互相平行，代表着排水速度保持不变。此时可以确定排水时间共2.5小时。排水速度为900÷2.5=360（m3/h） 30 例4 根据卫生要求,游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水,排水口的排水速度保持不变,其间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m3)是排水时间t（h）的函数,函数图象如图所示。根据图象回答下列问题。 (1)开始排水前,游泳池内的水量有多少？ (2)几时该游泳池开始暂停排水进行清洗？暂停排水时间有多长？ (3)排水口的排水速度是多少？暂停排水时游泳池内还剩多少水量？ 先整体， 后局部。 分析策略 31 思考1：图象的横轴代表什么实际意义？纵轴代表什么实际意义？ 思考2：图象中OE-EF这段，线段OE部分代表了怎样的过程？这一过程花了多少时间？线段EF又代表了怎样的过程？这一过程花了多少时间？它刻画了哪组同学的运动过程？ 思考3：图象中OA-AB-BC-CD这段，线段AB有什么特点？它代表了什么意义？线段OA反映了怎样的过程？线段BC呢？线段CD呢？这些线段刻画了哪组同学的运动过程？ 32 思考4：在比赛途中，两个图象的交点有几个？交点代表的实际意义是什么？ 思考5：比较交点前后，想象其代表的实际意义？ 比赛途中图象有2个交点，交点代表的实际意义是此时两人相遇。 第1处交点前乙组比甲组离出发点远，第1处交点后乙组比甲组离出发点近。 第2处交点前甲组比乙组离出发点远，第2处交点后甲组比乙组离出发点近。 33 分析策略 研究两个函数的图象时，先逐一分析每个图象,再看两者之间的关系。在分析关系时，先关注交点。 34 归纳总结： 重难点：通过函数图象分析函数的变化规律，厘清实际问题中两个变量间的变化关系。 单一图象分析策略：先整体，后局部。 多个图象分析策略：先逐一分析每个图象,再看几者之间的关系。在分析关系时,先关注交点。 35 $