5.2 认识函数 教案 2025-2026学年浙教版八年级数学上册

该教案聚焦初中数学“认识函数”核心知识点，通过三课时系统覆盖函数概念形成、三种表示法、表达式与自变量取值范围及图象分析。以跳远距离与助跑速度、打工报酬等生活情境导入，搭建从具体变量关系到抽象函数定义的学习支架，梳理前后知识脉络。 该资料特色在于融合新课标核心素养，以生活实例培养数学眼光、思维与语言。如情境抽象函数概念发展抽象能力，实例求取值范围提升推理意识，图象分析强化几何直观。助力学生建立函数思想，为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率与概念教学效果。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 5.2 认识函数（第一课时） 教学目标 1. 经历从实例中抽象出变量之间对应关系的过程，了解函数的概念及三种表示法，体会从特殊到一般的思想、数形结合思想、函数思想,发展抽象能力、模型观念。 2. 理解函数值的概念,会根据函数表达式、表格、图象求函数值,体会对应思想。 教学重难点 教学重点： 函数是描述客观世界中变量关系和规律最为基本的数学语言和工具，是发展学生抽象、推理、模型等数学基本思想方法的有效载体，是变量数学学习的开始，,也为后续学习具体函数模型提供理论准备。因此，本节的教学重点是函数概念的形成。 教学难点： 本节研究的内容较为抽象,用解析法、列表法、图象法刻画变量关系是学生第一次用数学的眼光看待“万物皆变”的客观规律。它需要从具体实例中抽象出共性,并运用“变化和对应”的思想体会函数概念,学生在接受和理解上有一定困难,因此,本节教学的难点是理解函数的概念。 教学过程 一、情境引入 情境1 跳远运动员按一定的起跳姿势，其跳远的距离s(米)与助跑的速度v(米/秒)有关。根据经验，跳远的距离s=0.085v²(0<v<10.5)。 （1）常量：0.085 变量：v、s （2）填写下表（精确到0.01）： 助跑速度v(米/秒) 7.5 8 8.5 跳远的距离s(米) （3）给定一个v的值，相应的变量s的值唯一确定吗？ 结论：变量v的值一经确定，变量s的值也随之唯一确定。 情境2 小明的哥哥是一名大学生，他利用暑假去一家公司打工，报酬20元/时计算，设小明的哥哥这个月工作的时间为t时，应得报酬为m元。填写下表： 工作时间t(时) 1 5 10 15 20 … t … 报酬m(元) （1）你能说出其中哪些是常量？哪些是变量吗？ 常量：20 变量：t、m （2）怎样用关于t的代数式来表示m？ m=20t （3）给定变量t的一个值，相应的变量m的值唯一确定吗？ 变量t的值一经确定,变量m的值也随之唯一确定。 情景3 在边长为1的正方形ABCD中，E为边BC的中点，点F在线段DC上。用x表示线段CF的长度，用v表示△AEF的面积。则变量x的取值范围是什么？当x的值分别为0.2，0.4，0.6，0.8时，面积y的值分别为多少？y的值是否随x的变化而变化？ y=12−×1×−×1×(1−)−××= 二、归纳共同特点，形成函数概念 情境1：变量v的值一经确定，变量s的值也随之唯一确定。 情境2：变量t的值一经确定，变量m的值也随之唯一确定。 情境3：变量x的值一经确定，变量y的值也随之唯一确定。 共同特点： 1.都有两个变量； 2.一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化； 3.给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。 归纳总结出函数概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 概念应用： s是v的函数，v是自变量。 s=0.085v² m是t的函数，t是自变量。 m=20t y是x的函数，x是自变量。 y= 三、函数的表示方法 1. 解析法 这几个函数用等式来表示，这种表示函数关系的等式，叫做函数表达式，简称函数式。 用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 例如：m = 20t，s = 0.085v² 2. 列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表。这种表示函数关系的方法是列表法。 3. 图象法 用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 表示函数关系的图象简称函数图象。 示例：变量T的值一经确定，变量W的值也随之唯一确定。 概念巩固 1.请判断下列各题，y是不是关于x的函数？ A.y =|x| B.y =x2 C.y2 =x 2.下列图形哪些可以表示y是x的函数的是( ) 总结：x取一个值，y相应也得唯一值。 四、根据不同的表示方法求函数值 情境4 杭州市7月某天24小时气温图。根据这个图象，气温W是否随时刻T的变化而变化？对于这天的每一个时刻，能否确定这时的气温？为什么？ 思考：当T=16时，函数值W为多少℃？ 方法：若T=16,只要过点(16,0)作x轴的垂线,垂线与图象交点P(16,36)的纵坐标就且当T=16时的函数值,即W=36℃。 对于不同的函数表示法，对于确定的自变量的值，我们该如何确定它的函数值呢？ 方法归纳：图象法----画一画 在情境2中思考：当t=15时，函数值m为多少元？ 方法：若函数用列表法表示,函数值可以通过查表得到。如表中,当t=15时,对应的报酬m为300元。 方法归纳：列表法----查一查 在情境2中怎样用关于t的代数式来表示m？ m=20t 思考：当t=8时，函数值m为多少元？ 方法:若函数用解析法表示,只需把自变量的值代人函数式,就能得到相应的函数值。 当t=8时,把它代人函数表达式,得m=20×8=160(元)。m=160称为当自变量t=8时的函数值。 方法归纳：解析法----代一代 追问：当m=180元时，自变量t为多少小时？ 方法:当m=180时,把它代人函数表达式,得180=20t。解得t=9，即m=180元时，工作时间为9小时。 五、例题讲解 （1）在0≤t≤24的范围内，任意取一个t的值t时，过点（t，0）作t轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点A（t，y），也就是潮高y有唯一的确定值y，所以潮高y（cm)是时间t(h)的函数。 （2）过点（10，0）作t轴的垂线，交图象于点B（10，280）。所以当t=10时，函数值为v=280（cm），潮高为200cm它的实际意义是10：00时的潮高为280cm。 （3）过点（0，200）作垂直于v轴的直线，交图象于C，D，E三点，所以一天内有3次潮高为200cm。 六、课堂总结 函数概念：一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数三种表示方法： 解析法：用函数表达式表示函数的方法。 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表。 图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法。 求函数值的方法归纳： 图象法——画一画 列表法——查一查 解析法——代一代 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 5.2 认识函数（第二课时） 教学目标 1.经历从简单实际问题中分析数量关系的过程,会列函数表达式,发展抽象能力和模型观念。 2.根据函数表达式,已知自变量的值,会求相应的函数值;或已知函数值,会求相应自变量的值,体会对应思想，发展运算能力。 3.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围,构建知识之间的关联。 教学重难点 教学重点： 分析简单实际问题中变量之间的数量关系，列出函数表达式。 教学难点： 求自变量的取值范围，需要正确分析题目中的数量关系,并化归为解不等式或不等式组。 教学过程 一、知识回顾 函数概念 一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y是x的函数，x叫做自变量。 函数三种表示方法 1.解析法：用函数表达式表示函数的方法也叫解析法。 2.列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表。这种表示函数关系的方法是列表法。 3.图象法：用图象来表示两个变量之间函数关系的方法叫图象法。 求函数值的方法归纳 图象法——画一画 列表法——查一查 解析法——代一代 二、探究新知 1.用解析法表示函数的优缺点 优点：简单明了，能够准确的反映整个变化过程中自变量与函数之间的对应关系； 缺点：有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示，如气温与时间的函数关系。 2.用解析法表示函数时需要注意什么？ 1.函数解析式是一个等式； 2.是用含自变量的式子表示函数； 3.要确定自变量的取值范围。 本课重难点： 1.求函数解析式； 2.求自变量的取值范围； 3.已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值。 三、典型例题 问题1：求下列函数自变量的取值范围： (1) 思考：有分母，分母不能为零 ∵x-1≠0 ∴x≠1 (2) 思考：x可以取任意实数 (3) 思考：开2次方，被开方数是非负数 ∵2x-4≥0 ∴x≥2 归纳：求自变量的取值范围时，要注意什么？ 代数式本身要有意义 ①整式（全体实数） ②分式（使分母不为0的实数） ③根式（开偶次方，被开方数大于或等于0） 例2等腰三角形ABC的周长为10，底边BC长为y，腰AB长为x，求： (1)y关于x的函数解析式； (2)自变量x的取值范围； (3)腰长AB=3时，底边的长。 解：(1)由三角形的周长为10，得2x+y=10 ∴y=10-2x。 (2)∵x，y是三角形的边长， ∴x>0，y>0，2x>y(三角形两边之和大于第三边) ∴自变量的取值范围：2.5<x<5。 (3)当腰长AB=3，即x=3时，y=10-2×3=4。 ∴当腰长AB=3时，底边BC长为4。 想一想： 当x=6时，y=10-2x的值是多少?对本例有意义吗？当x=2呢? 当x=6时，y=-2，无意义； 当x=2时，2x<y，无意义。(考虑要点：符合实际情况) 例3游泳池应定期换水。某游泳池在一次换水前存水936立方米，换水时打开排水孔，以每时312立方米的速度将水放出。设放水时间为t时，游泳池内的存水量为Q立方米。 (1)求Q关于t的函数解析式和自变量t的取值范围。 解：936=312t+Q 原存水量=放出的水量+剩余的水量 Q关于t的函数解析式是：Q=936-312t。 ∵Q≥0，t≥0 ∴936-312t≥0 解得：0≤t≤3，即自变量t的取值范围是0≤t≤3。 (2)放水2时20分后，游泳池内还剩水多少立方米? ∴放水2时20分后，游泳池内还剩下208立方米。 方法指导：已知自变量的值，求函数值，只需代一代。 (3)放完游泳池内全部水需要多少时间? 解：放完游泳池内全部水时，Q=0，即936-312t=0， 解得t=3(时) ∴放完游泳池内全部水需3时。 方法指导：已知函数值，求自变量的值，只需代一代。 四、归纳总结 1.函数的三类基本问题： 1.求函数解析式； 2.求自变量的取值范围； 3.已知自变量的值求相应的函数值或者已知函数值求相应的自变量的值。 2.求函数自变量的取值范围时，要从两方面考虑： (1)代数式要有意义 (2)符合实际 3.要使函数表达式有意义，一般有三种情况： ①整式（全体实数） ②分式（使分母不为0的实数） ③根式（开偶次方，被开方数大于或等于0） 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 5.2 认识函数（第三课时） 教学目标 经历用函数图象分析现实世界中两个变量之间单值对应关系的过程，进一步理解函数概念，体会数形结合思想,培养代数推理能力,发展几何直观。 教学重难点 教学重点： 函数的图象直观地表示了变量之间的单值对应关系，可借助直观加深对函数概念的理解，它也是研究和处理函数问题的重要工具。因此，本节课的教学重点是通过图象分析函数的变化规律。 教学难点： 借助图象分析函数的变化规律需要厘清实际问题中两个变量间的变化关系，需要很强的综合分析问题的能力和代数推理能力，是本节课的教学难点。 教学过程 一、知识回顾，引入新课 回顾：函数的定义及三种表示方法（解析法、列表法、图象法）。 思考：函数的图象是如何形成的？ 形成过程：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。 图象法的优点：能直观、形象地反映出函数的性质和变量的变化趋势，是研究和处理有关函数问题的重要工具。 点明本课重点：本节课将深入探究图象法，重点学习如何通过函数图象分析函数的变化规律。 二、探究新知：单一函数图象的分析 例4：游泳池排水问题 根据卫生要求，游泳池必须定期换水、清洗。某游泳池在上午9:00打开排水口开始排水，排水口的排水速度保持不变，其间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在12:00全部排完。游泳池内的水量Q(m³)是排水时间t（h）的函数，函数图象如图所示。 【引导分析先整体，后局部】 1.思考1：图象的横轴、纵轴分别代表什么实际意义？图象反映了怎样的过程？ 答：横轴代表排水时间t，纵轴代表游泳池的水量Q。图象反映了随着时间的变化，游泳池内的水量也随之变化的过程。 2.思考2：为什么Q与t构成函数关系？ 答：在排水过程中，对于每一个排水时间t，水量Q都有唯一确定的值与之对应。所以，Q是t的函数。 3.思考3：图象与纵轴的交点代表什么实际意义？“900”代表什么？ 答：图象与纵轴的交点表示排水时间t=0时，水量Q=900(m³)，即开始排水前，游泳池内的水量为900立方米。 4.思考4：图象与横轴的交点代表什么实际意义？“3”代表什么？ 答：图象与横轴的交点表示排水时间t=3时，水量Q=0(m³)，即排水3小时后，游泳池内的水恰好全部排完。 5.思考5：图象中平行于t轴（横轴）的线段，意义是什么？ 答：该线段表示在排水时间1.5≤t≤2时，水量Q保持不变。即在此期间，游泳池暂停排水。 6.思考6：平行线段左侧与右侧的线段有什么位置关系？这代表了什么？如何求排水速度？ 答：两条线段互相平行，这代表排水口的排水速度保持不变。 总排水时间=3-0.5=2.5(小时)（减去暂停的0.5小时） 排水速度=900÷2.5=360(m³/h) 【应用与解答】 根据图象回答下列问题： (1)开始排水前，游泳池内的水量有多少？ 答：900立方米。 (2)几时该游泳池开始暂停排水进行清洗？暂停排水时间有多长？ 答：从9:00开始，经过1.5小时，即10:30开始暂停排水。暂停时长为2-1.5=0.5(小时)。 (3)排水口的排水速度是多少？暂停排水时游泳池内还剩多少水量？ 答：排水速度为360立方米/时。 暂停排水时剩余水量：900-360×1.5=360(立方米)。 【策略归纳：单一图象分析】 先整体，后局部。 三、能力提升：多个函数图象的分析 例5：往返跑比赛问题（图象中包含甲、乙两组同学的函数关系） 【引导分析先逐一，后关联】 1.思考1：图象的横轴、纵轴分别代表什么？ 答：横轴代表比赛时间x（秒），纵轴代表离出发地的距离y（米）。 2.思考2：逐一分析每个图象。 乙组图象(OE-EF)： 线段OE：乙组离开出发点，耗时25秒前进了40米。 线段EF：乙组从40米处返回出发点，耗时35秒。 甲组图象(OA-AB-BC-CD)： 线段OA：甲组离开出发点。 线段AB：平行于x轴，表示在15秒至20秒期间，离出发地距离y不变，意味着甲组同学的球掉了，正在捡球，耗时5秒。 线段BC：甲组继续前进，在35秒时到达40米处。 线段CD：甲组从40米处返回出发点，在55秒时到达。 3.思考3：分析两个图象之间的关系（关注交点）。 交点意义：两个图象的交点表示在某一时刻，甲、乙两组同学离出发地的距离相等，即他们相遇了。 比赛途中有2个交点（除原点外）。 交点前后的位置关系： 第1处交点前：乙组比甲组离出发点远。 第1处交点后：乙组比甲组离出发点近。 第2处交点前：甲组比乙组离出发点远。 第2处交点后：甲组比乙组离出发点近。 【应用与解答】 根据图象回答下列问题： 1.单程比赛多少米？往返全程多少米？ 答：由点C、E的纵坐标为40，可知单程为40米，往返全程为80米。 2.哪个组获胜？ 答：由点F（乙组终点）横坐标为60，点D（甲组终点）横坐标为55可知，甲组用时55秒，乙组用时60秒，故甲组获胜。 3.线段AB表示怎样的实际意义？ 答：表示甲组在比赛开始后15秒时掉球，并花费了5秒时间捡球。 4.比赛途中两位同学相遇了几次？ 答：除起点外，图象有2个交点，故比赛途中相遇了2次。从图象可知，第一次相遇发生在25秒至35秒之间。 【策略归纳：多个图象分析】 先逐一分析每个图象（采用“先整体，后局部”的策略），再看两者之间的关系。在分析关系时，先关注交点。 四、课堂小结 本课重难点：通过函数图象分析函数的变化规律，厘清实际问题中两个变量间的变化关系。 分析策略： 单一图象分析策略：先整体，后局部。 多个图象分析策略：先逐一分析每个图象，再看几者之间的关系。在分析关系时，先关注交点。 学科网（北京）股份有限公司 $