精品解析：新疆昌吉州行知学校2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

昌吉州行知学校 2025-2026学年第一学期高三年级12月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：董龙清 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为2π的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为2π的奇函数 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 11. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的虚部是___________． 13. 曲线在点P处切线的斜率为，则P的坐标为__________. 14. 已知是奇函数，且.若，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列. （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 16. 求下列各式的值. （1）； （2）； （3）； （4）. 17. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. （1）若，，求； （2）若，求的值； （3）若求的取值范围. 18. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，. （1）若，求； （2）若，在边上且，求证：； （3）求面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）已知，若的两个极值点为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州行知学校 2025-2026学年第一学期高三年级12月月考 数学试卷 考试时间：120分钟 命题人：董龙清 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，，故. 故选：C. 2. 已知等差数列的公差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式即可求出. 【详解】根据两角和的正弦公式，得. 故选：B 4. 与向量同向的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义结合共线向量计算求解. 【详解】因为，所以与向量同向的单位向量为. 故选：B 5. 函数是（ ） A. 最小正周期为π的偶函数 B. 最小正周期为2π的偶函数 C. 最小正周期为π的奇函数 D. 最小正周期为2π的奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】应用两角和差余弦公式计算化简，再应用周期公式及奇偶性判断即可. 【详解】函数 所以周期是，且函数是奇函数； 故选：D. 6. 已知函数在上单调，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由在上是单调函数，则在时单调递减，在上递减，且，从而可求. 【详解】函数是上的单调函数， 设，， 由在上单调递减及分段函数的性质可知，函数在上单调递减， 且时，， ， ， 解得：, 故选：D. 7. 若函数的图象向右平移个单位后为一个奇函数的图象，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知平移后，再利用函数的奇偶性可得即可求解. 【详解】平移后得到函数的图象，则， 解得，而因此最小可取. 故选：D. 8. 在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列向量中与共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据给定向量，利用向量共线的坐标表示判断作答. 【详解】向量，因，则与不共线，A不是； 因，则与不共线，B不是； 而，，则与都共线，即C，D是. 故选：CD 10. 下列结论中，正确的是（ ） A. 函数与的图像关于轴对称 B. 函数的单调增区间是 C. 函数的图像必过定点 D. 函数的图像与的图像有两个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：整理可得，即可判断对称性；对于B：根据复合函数单调性分析判断；对于C：根据指数函数定点分析判断；对于D：作出函数的图像，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：因为， 所以函数与的图像关于轴对称，故A正确； 对于选项B：显然函数的定义域为， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递减， 则在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调增区间是，故B错误； 对于选项C：令，解得，可得， 所以函数的图像必过定点，故C正确； 对于选项D：作出函数的图像，如图所示： 所以函数的图像与的图像有一个交点，故D错误； 故选：AC. 11. 已知为函数的一个零点，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 方程有3个不同的实数解 D. ，使得成立 【答案】AC 【解析】 【分析】由为函数的一个零点，可判断A；通过分析函数的单调性，可知是函数的极大值点，从而判断B；把方程转化为曲线与直线的交点个数，可判断C；通过数形结合，分析与图象的变化关系，即可判断D. 【详解】对于A，因为为函数的一个零点， 所以，解得，故A正确； 对于B，因为函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在和上单调递增，故是函数的极大值点，故B错误； 对于C，如图所示，曲线与直线有个不同的交点，所以方程有个不同的实数解，故C正确； 对于D，如图，当时，， ，， 所以当时，，故D错误. 故选:AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数的虚部是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由复数的概念求解。 【详解】复数的虚部为：， 故答案为： 13. 曲线在点P处切线的斜率为，则P的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点，由在点P处切线的斜率为即可求得. 【详解】设切点的坐标为，， 则根据曲线在点P处的切线斜率为，可得， 求得，即可得， 故切点的坐标为，  故答案为： 14. 已知是奇函数，且.若，则__________. 【答案】-2 【解析】 【分析】设，由是奇函数得到，令求出，即可求出. 【详解】设. 因为是奇函数，所以， 即，所以. 将代入上式可得，因为，所以， 所以. 故答案为：-2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列是等差数列. （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，求此数列的项数. 【答案】（1）7； （2）2700； （3）19. 【解析】 【分析】（1）求出公差，再根据等差数列通项公式即可得到答案； （2）利用等差数列求和公式即可得到答案； （3）根据等差数列的性质得和，从而得到项数. 【小问1详解】 在等差数列中，，，公差， 所以. 【小问2详解】 在等差数列中，，， 所以. 【小问3详解】 设项数为，，数列公差为， 则， 所以， 而. ∴此数列共有19项. 16. 求下列各式的值. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）1 （2） （3）0 （4）8 【解析】 【分析】用终边相同的角三角函数值相同转化即可. 用诱导公式即可. 用终边相同的角三角函数值相同转化即可. 用倍角公式和辅助角公式即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 原式 . 17. 如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，P是线段上的一个动点. （1）若，，求； （2）若，求的值； （3）若求的取值范围. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算即可得到答案； （2）利用基底法得，则得到的值； （3）利用向量分别表示出，再利用向量数量积的运算律和二次函数性质即可得到范围. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，分别为，的中点，则，， 由图可得，则，， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知，， 由，则， ， 可得，解得，令， 由图可得， ， ， 由，则. 18. 在中，，，分别为内角，，的对边，且，. （1）若，求； （2）若，在边上且，求证：； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 证明：，， 即：， 化简得：. （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解. （2）由即可求解. （3）余弦定理可得，所以，令，则，即，即，所以，解得，即可得解. 【小问1详解】 若则，由余弦定理得 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由余弦定理：且，， 可得，， 而， 令，则，即， 可得，，其中，的终边经过点， 因此，取为锐角，所以，所以，解得. 所以最大值为. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）已知，若的两个极值点为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性； （3）求出函数的导函数，依题意的两根为且，即可求出的范围，再表示出，结合韦达定理即可得到，令，令，利用导数说明函数的单调性，即可求出的范围. 【小问1详解】 由，得，则， 又，所以， 所以曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 函数的定义域为，又， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令，得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 ， 则， 因为的两个极值点为，所以的两根为，且， 所以，解得， 所以， 由，， 得. 令，则，因为，所以． 令， 则， 所以在区间上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $