第5章 二次函数 单元测试题 2025-2026学年苏科版九年级数学下册

2025-2026学年苏科版九年级数学下册《第5章二次函数》单元综合达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知抛物线的对称轴为直线，则下列数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（   ） A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标 3．二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．将二次函数化成的形式为（   ） A． B． C． D． 5．把抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 6．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度与水平距离之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 7．抛物线上部分点的坐标如表，下列说法错误的是（    ）                                                                                 A．抛物线开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，随的增大而增大 D．c的值为 8．已知二次函数图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示，下列结论：①，②；③当时，；④_____，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．若二次函数的图象经过点，则 ． 10．若抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，则点A，B之间的距离是 ． 11．抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为 ． 12．若函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数k的值是 ． 13．一台机器原价为万元，如果每年价格的下降率为，两年后这台机器的价格为万元，则关于的函数关系式为 ． 14．二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为 ． 15．“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．当水平宽（即的长）为40米时，则离地面高为 米． 16．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 三、解答题（满分72分） 17．已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数图象的解析式． (2)试判断点是否在该二次函数图像上，并说明理由． 18．如图，直线分别与轴，轴交于点，抛物线经过点和点，且与轴交于点，连接，求的面积． 19．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 20．某商场销售一种商品，每件进价为5元，调查发现，当销售单价为8元时，平均每天可以销售24件；而当销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，且物价部门规定：销售单价不能超过12元．设该商品的销售单价为x元（），每天销量为y件． (1)当销售单价为11元时，平均每天可以销售_______件商品； (2)商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为多少元？ (3)销售单价为多少元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 21．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数解析式为． (1)则水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为______，雕塑高______； (2)求落水点之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立雕塑，，，．问：顶点是否会碰到水柱？请通过计算说明． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，抛物线经过两点与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式： (2)若点为直线上方抛物线上任意一点，过作于点，当最大时，为轴上一动点，求的最大值． (3)若点在抛物线上，连接，当时，请直接写出点的坐标． 23．抛物线与轴交于、两点．与轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接，点在抛物线上，若为直角三角形，且，求点的坐标． (3)如图2，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，．当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查抛物线对称轴的性质．根据抛物线对称轴公式与给定对称轴，即可得到a与 b的关系． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且已知对称轴为， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大， ∴和原图象相比，发生改变的是开口大小， 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，将二次函数化为顶点形式，即可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查配方法的应用，熟练运用完全平方公式是解题关键．通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式． 【详解】， ， = ， = ， = ． ∴ 顶点式为 ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减，上加下减”的法则是解答此题的关键．先向右平移3个单位，x 替换为；再向下平移1个单位，整体减去1 【详解】解：∵原函数为 ，向右平移3个单位：，再向下平移1个单位：； ∴ 所得函数表达式为 ， 故选：D 6．D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键． 求出当时的值即可求解． 【详解】解：由题意可得： 令，由， 解得，（舍去）， 小童此次实心球训练的成绩为9米． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质和表格中的数据，判断各个小题中的结论是否成立即可． 【详解】解：由表格中点，，可知对称轴是直线，故B正确，不合题意； 根据对称轴是直线，当时，随的增大而减小，可知抛物线开口向下，故A正确，不合题意； 所以，当时，随的增大而减小，故C不正确，符合题意； 当时，，所以，c的值为，故D正确，不合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断a，由抛物线与y轴的交点判断c，根据对称轴的位置判断b及a、b关系，根据抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所有结论进行逐一判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下，则． 对称轴在y轴右侧，a、b异号，则． 抛物线与y轴交于正半轴，则， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴是直线，则，， ∴，故②正确； 由图象可知，抛物线与轴的左交点位于0和之间，在两个交点之间时，，在时，，故③错误； 由图象可知，当时，有，故④正确； 综上，正确的选项有：①②④． 所以正确结论的个数是3个． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了二次函数的性质，代数式求值；将点代入二次函数解析式，得到关于和的方程，化简后求出的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入得：， 即， 整理得：， 两边同时除以2得：， ∴． 故答案为：． 10． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，先利用二次函数顶点公式求出顶点A的坐标，再令求出与y轴交点B的坐标，最后利用两点间距离公式计算的距离。 【详解】解：由题知，因为抛物线解析式为， 所以抛物线的顶点坐标为． 将代入得，， 所以点B坐标为， 则A，B之间得距离是． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查轴对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 关于 轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此将原解析式中的 替换为 即可得到新抛物线的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为 ， ∴关于 轴对称的解析式为：． 故答案为： ． 12．或 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，函数图象与轴只有一个公共点，需分两种情况讨论：当函数为一次函数时，二次项系数为零；当函数为二次函数时，判别式为零 【详解】解：的图象与x轴只有一个公共点，即方程 有且只有一个实数根， 当时，即，函数变为，这是一次函数，其图象与轴有一个公共点，符合条件； 当 时，， 设，得 ，解得 ，即 ， 故答案为： 或 13． 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意得：两年后的价格为：， 故y与x的函数关系式是：． 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组，正确掌握二次函数与不等式（组的关系是解题的关键． 根据函数的图象，得到函数的对称轴和一个抛物线与轴交点坐标，计算出另一个抛物线与轴的交点坐标，得出函数值大于0的的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为， 则抛物线与轴的另一个交点的坐标为， 由图象可知：函数值小于0的的取值范围为或， 即关于的一元二次不等式的解集为或， 故答案为：或． 15．150 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是建立坐标系． 建立坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，然后求出函数值即可． 【详解】解：根据题意建立坐标系，可假设抛物线顶点坐标为，抛物线解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴离地面高为150米， 故答案为：150． 16．3 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值27， 即经过3秒，四边形的面积最小， 故答案为：3． 17．(1) (2) 点不在该二次函数图象上，理由见解析 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象的性质， 对于（1），将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），将代入关系式求出y，再判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， 所以二次函数的关系式为； （2）解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在二次函数的图象上． 18． 【分析】本题考查二次函数与一次函数的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据直线分别求得点和点的坐标，利用待定系数法求得抛物线的解析式，进而求出点的坐标，利用勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据直角三角形的面积公式求解的面积即可． 【详解】解：将代入直线解析式得，，则， 将代入直线解析式得，，解得，则， 将和代入抛物线得，、 ， 解得， 因此，抛物线的解析式为， 抛物线对称轴为， 则， 、、， 则， 所以是直角三角形， 因此，的面积为， 答：的面积为． 19．(1) (2)石块能飞越城墙 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， 当到城墙时，石块高度为，， ， 石块能飞越城墙． 20．(1) 18 (2) 销售单价应定为10元 (3) 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润最大，最大利润是112元 【分析】本题考查了二次函数的应用——销售、营销问题，根据题意准确把握题目的数量关系是解题的关键． （1）销售单价每提高1元时，平均每天销量将会减少2件，据此求解即可； （2）先求出每天的销量与销售单价的函数关系式，再根据每天获利100元列方程求解可； （3）利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：18； （2）每天的销售量为：， 由题意，得, 解得， 销售单价不能超过12元， 答：商场要想每天获得100元的销售利润，销售单价应定为10元； （3）， ，， 当时，． 销售单价为12元时，商场每天销售该商品所获得的利润w最大，最大利润是112元． 21．(1)， (2) (3)不会碰到水柱．理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质． （1）根据轴对称即可求出函数解析式，求雕塑高,直接令，代入求解可得； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意可知，水柱所在抛物线的第一象限部分和水柱所在抛物线的第二象限部分关于y轴对称， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数解析式为． 由题意得，A点在图象上． 当时， ． 故答案为：， （2）由题意得，D点在图象上． 令，得． 解得：（不合题意，舍去）． （3）当时，， ， ∴不会碰到水柱． 22．(1)； (2)的最大值为； (3)或； 【分析】（1）利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）过点M作轴，交直线于N，假设出M、N的坐标表示出的长，求最大值即可，延长交轴于点，此时的值最大，据此求解即可； （3）利用等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点，延长交抛物线于点P，推出，利用等量代换可得，求出直线与抛物线交点即可知P点坐标；②作轴，使，连接交抛物线与点，推出，进一步得，求出直线与抛物线交点即可知点坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得， ∴； （2）解：过点M作轴，交直线于N， 令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， 当取得最大值时，的值最大， 设点，， ， ∵， ∴当时，有最大值，即有最大值， 此时点的坐标为． 延长交轴于点，此时的值最大， 设直线的解析式为， 将，，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∴； 故的最大值为； （3）解：或，理由如下： ①在x轴上取点，延长交抛物线于点P， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点B、D代入可得， 解得， ∴，将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， ②作轴，使，连接交抛物线与点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵且,， ∴， ∵ ， 同理，直线的解析式为， 将其与抛物线方程联立可得：， 解之得：，，当时，， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数，动点问题，全等三角形的判定及性质，要求掌握待定系数法求解析式，利用，进行等量转换是解（3）的关键． 23．(1)； (2)； (3)，四边形面积的最大值为． 【分析】（1）将已知点、代入抛物线解析式，列方程组求解系数、； （2）过点作，交轴于，利用直角三角形的性质求坐标，再得直线解析式，联立抛物线求坐标； （3）先求直线、直线的解析式，将四边形的面积转化为两个三角形面积之和，结合点坐标建立面积表达式，求最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线过、， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为． （2）解：令， 解得：， ∴， ∵，，， ∴，． 过作，交轴于， ∴，则 ∴， ∴． 设直线为：， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为． 联立， 得， 整理得， 解得（即点），， 当时，， ∴． （3）解：∵、，设， ∴， 解得， ∴直线： ∵， ∴（同底等高）， ∵、、， ∴， ∴， 设（），过作轴的垂线，交于点， 则， ∴， ∵、，水平距离， ∴ ， ∵， ∴当时，， 此时即． 学科网（北京）股份有限公司 $