5.3解一元一次方程应用题专项练习2025-2026学年新人教版七年级数学上册

5.3实际问题与一元一次方程专项练习 一、行程问题 经典例题 1（相遇问题） 甲、乙两车分别从相距 480km 的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度为 60km/h，乙车速度为 80km/h，经过多少小时两车相遇？ 变式练习 1 1.甲、乙两人分别从相距 300m 的两地同时出发，相向而行，甲的速度是 1.5m/s，乙的速度是 1m/s，多久后两人相距 50m？ 2.两辆汽车从相距 525km 的两地相对开出，一辆汽车每小时行 65km，另一辆汽车每小时行 70km，相遇时慢车行驶了多少千米？ 3.甲从 A 地出发前往 B 地，速度为 5km/h，1 小时后乙从 B 地出发前往 A 地，速度为 6km/h，A、B 两地相距 35km，乙出发后几小时两人相遇？ 4.甲、乙两船分别从相距 240km 的两港口同时出发，相向而行，甲船顺水速度为 25km/h，乙船逆水速度为 15km/h，水流速度为 5km/h，两船相遇需要多长时间？ 经典例题 2（航行问题） 一艘船在静水中的速度为 20km/h，水流速度为 4km/h，这艘船从甲港顺流航行到乙港用了 5 小时，求甲、乙两港之间的距离；若从乙港逆流返回甲港，需要多少小时？ 变式练习 2 1.一艘轮船顺水航行的速度是 28km/h，逆水航行的速度是 22km/h，求轮船在静水中的速度和水流速度。 2.一渔船在静水中每小时航行 12km，逆水航行 4 小时的路程与顺水航行 3 小时的路程相等，求水流速度。 3.某船从 A 港逆流航行到 B 港需要 8 小时，已知船在静水中的速度为 18km/h，水流速度为 2km/h，A、B 两港相距多少千米？ 4.一艘船从甲码头顺流而下到乙码头，再从乙码头逆流返回甲码头，共用了 8 小时。已知船在静水中的速度是 20km/h，水流速度是 4km/h，甲、乙两码头之间的距离是多少千米？ 5.某船顺流航行 36km 用了 3 小时，逆流航行 24km 也用了 3 小时，求船在静水中的速度和水流速度。 二、工程问题 经典例题 1 一项工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，甲、乙两人合作几天可以完成这项工程？ 变式练习 1 1.某工作，甲单独做要 20 小时完成，乙单独做要 12 小时完成，现甲先做 4 小时，剩下的部分由甲、乙合作，还需要多少小时完成？ 2.一项工程，甲队单独施工需要 15 天完成，乙队单独施工需要 20 天完成，两队合作 5 天后，剩下的工程由乙队单独完成，还需几天？ 3.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管 6 小时可注满水池，单独开乙管 8 小时可注满水池，若同时打开甲、乙两管，几小时可以注满水池的？ 4.一项任务，甲单独做 3 天完成全部任务的，乙单独做 4 天完成全部任务的，甲、乙合作完成这项任务需要多少天？ 经典例题 2 某工厂要完成一批零件加工任务，原计划由 15 名工人每天工作 8 小时，12 天可以完成。由于任务紧急，现在增加 5 名工人，每天工作时间增加 1 小时，实际多少天可以完成任务？（每人每小时工作量相同） 变式练习 2 1.一批零件，原计划由 20 人每天加工 8 小时，15 天可以完成。实际增加了 5 人，每天工作时间减少 1 小时，实际多少天能完成？ 2.一项工程，8 人工作 15 小时可以完成，如果 12 人工作，多少小时可以完成？ 3.某工程队修一条路，原计划每天修 120 米，15 天修完。实际每天比原计划多修 30 米，实际提前几天修完？ 4.一个项目，甲团队 10 人做需要 24 天完成，乙团队 15 人做需要 16 天完成，若两个团队合作，每人工作效率相同，几天可以完成？ 三、配套问题 经典例题 1 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 变式练习 1 1.某工厂有工人 60 名，每人每天可生产 A 部件 20 个或 B 部件 15 个，2 个 A 部件和 3 个 B 部件刚好配成一套产品，如何安排工人生产，才能使每天生产的部件刚好配套？ 2.车间有 30 名工人生产某种零件，每人每天可生产甲种零件 5 个或乙种零件 3 个，已知 1 个甲种零件和 2 个乙种零件配成一套，怎样安排工人生产甲、乙两种零件，才能使每天生产的零件刚好配套？ 3.某车间计划生产一批桌椅，每张桌子由 1 个桌面和 4 条桌腿组成，已知 1 名工人每天可加工桌面 20 个或桌腿 100 条，现有 12 名工人，如何分配工人加工桌面和桌腿，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？ 4.某工厂生产一种仪器，一个仪器需要 1 个主机和 3 个配件，每名工人每天可生产主机 10 台或配件 30 个，现有 60 名工人，应安排多少人生产主机，多少人生产配件，才能使每天生产的主机和配件刚好配套？ 经典例题 2 某服装厂要生产一批校服，每套校服由 1 件上衣和 2 条裤子组成，已知做 1 件上衣需要用布 1.5 米，做 1 条裤子需要用布 1 米，现有布料 300 米，如何分配布料做上衣和裤子，才能使生产的校服刚好配套？ 变式练习 2 1.某制衣厂要制作一批工作服，每套工作服包含 1 件外套和 1 条裤子，做 1 件外套用布 2.4 米，做 1 条裤子用布 1.6 米，现有布料 800 米，能制作多少套工作服？ 2.某家具厂生产一批课桌椅，每张桌子用木材 0.3 立方米，每把椅子用木材 0.1 立方米，1 张桌子配 2 把椅子，现有木材 30 立方米，最多可生产多少套课桌椅？ 3.某工厂用一批材料制作玩具，每个玩具熊需要材料 0.8kg，每个玩具车需要材料 0.5kg，1 个玩具熊和 3 个玩具车组成一套礼盒，现有材料 50kg，能制作多少套礼盒？ 4.某纺织厂生产一批床上用品，每套包含 1 个被套和 2 个枕套，做 1 个被套需要布料 3 米，做 1 个枕套需要布料 0.8 米，现有布料 100 米，如何分配布料制作被套和枕套，才能刚好配套？ 四、销售与利润问题 经典例题 1 某商店以每件 120 元的进价购进一批服装，售价为每件 180 元，当卖出这批服装的时，不仅收回了全部成本，还盈利 1200 元，这批服装共有多少件？ 变式练习 1 1.某书店以每本 10 元的进价购进一批图书，售价为每本 15 元，当卖出这批图书的 80% 时，盈利 2000 元，这批图书共有多少本？ 2.某商家购进一批商品，进价为每件 80 元，计划按每件 120 元出售，为提高销量，决定打九折销售，每件商品能盈利多少元？利润率是多少？ 3.某服装店购进一批外套，进价为每件 200 元，原计划按 50% 的利润率定价销售，实际销售时打八折，每件外套的实际售价是多少元？ 经典例题 2 某商品按定价的八折出售，仍能获得 20% 的利润率，已知该商品的进价为 160 元，求该商品的定价。 变式练习 2 1.某商品进价为 200 元，按定价的七五折出售，利润率为 10%，该商品的定价是多少元？ 2.一件商品按 20% 的利润率定价，然后按九折出售，售价为 216 元，这件商品的进价是多少元？ 3.某商店将一件商品按进价提高 50% 后标价，再打八折销售，售价为 360 元，这件商品的进价是多少元？盈利多少元？ 4.某商品进价为 120 元，售价为 180 元，由于市场行情变化，商店决定降价销售，若要保证利润率不低于 20%，最多可降价多少元？ 5.某商品按定价出售，每个可获得利润 45 元，若按定价的七五折出售 8 个，与按定价每个减价 35 元出售 12 个所获得的利润相同，该商品的定价是多少元？ 五、等积变形与体积问题 经典例题 1 将一个底面半径为 3cm，高为 8cm 的圆柱形铁块，熔铸成一个底面半径为 4cm 的圆锥形铁块，求圆锥形铁块的高。（圆柱体积公式：V = ，圆锥体积公式：V = ） 变式练习 1 1.一个底面直径为 10cm，高为 12cm 的圆柱形钢坯，熔铸成一个底面边长为 5cm 的正方体铁块，正方体铁块的高是多少厘米？（取 3.14） 2.把一个长、宽、高分别为 10cm、8cm、6cm 的长方体铁块，熔铸成一个底面半径为 4cm 的圆柱形铁块，圆柱形铁块的高约是多少厘米？（取 3.14，结果保留一位小数） 3.一个圆锥形沙堆，底面半径为 2m，高为 1.5m，现将这些沙子铺在一条宽 5m，厚 2cm 的公路上，能铺多长的公路？（取 3.14） 4.一个底面半径为 5cm，高为 10cm 的圆柱形容器，装满水后，将水全部倒入一个底面边长为 10cm 的正方体容器中，正方体容器中水面的高度是多少厘米？（取 3.14） 经典例题 2 一个圆柱形容器，底面半径为 6cm，里面装有水，水面高度为 10cm。现将一个底面半径为 3cm，高为 8cm 的圆锥形铁块完全浸没在水中，水面会上升多少厘米？ 变式练习 2 1.一个长方体容器，长 20cm，宽 15cm，高 10cm，里面装有水，水面高度为 6cm。把一个棱长为 5cm 的正方体铁块放入容器中，水面上升到多少厘米？ 2.一个圆柱形容器，底面直径为 8cm，高为 15cm，装有 10cm 高的水。将一个底面半径为 2cm，高为 12cm 的圆柱形铁棒垂直放入容器中，铁棒底面与容器底面接触，水面会上升多少厘米？ 3.一个长方形容器，长 18cm，宽 12cm，高 20cm，里面水深 15cm。把一个体积为 324cm³ 的石块放入水中（石块完全浸没），水会溢出容器吗？若溢出，溢出多少立方厘米？若不溢出，水面上升多少厘米？ 4.一个底面半径为 4cm 的圆柱形容器，装有一部分水，现将一个底面半径为 2cm，高为 5cm 的圆锥形铁块放入水中（完全浸没），水面上升了 0.5cm，原来容器中水面的高度是多少厘米？ 六、比例与分配问题 经典例题 1 甲、乙、丙三个班共分得一批图书，图书总数为 240 本，分配比例为甲：乙： 丙 = 3:4:5，求甲、乙、丙三个班各分得多少本图书？ 变式练习 1 1.某工厂将 1800 元奖金按 3:4:5 的比例分给甲、乙、丙三名优秀员工，三名员工各分得多少元奖金？ 2.一种混凝土由水泥、沙子和石子按 2:3:5 的比例配制而成，要配制这种混凝土 60 吨，需要水泥、沙子和石子各多少吨？ 3.甲、乙、丙三人合作完成一项任务，得到报酬 9000 元，根据工作量分配报酬，甲、乙工作量之比为 2:3，乙、丙工作量之比为 4:5，甲、乙、丙各分得多少元报酬？ 4.某学校将一批树苗按 5:3:2 的比例分配给七年级、八年级和九年级种植，已知七年级比九年级多分得 45 棵树苗，三个年级各分得多少棵树苗？ 经典例题 2 甲、乙两人的钱数之比为 5:3，若甲给乙 12 元后，两人的钱数之比变为 3:2，甲、乙两人原来各有多少钱？ 变式练习 2 1.甲、乙两桶油的质量之比为 7:5，从甲桶中倒出 10kg 油到乙桶后，两桶油的质量之比变为 3:5，甲、乙两桶原来各有多少千克油？ 2.某班男生和女生人数之比为 4:3，后来转来 2 名女生，男生和女生人数之比变为 6:5，这个班原来有多少名学生？ 3.甲、乙两个仓库储存货物的质量之比为 8:7，从甲仓库运出 20 吨货物到乙仓库后，两仓库货物质量之比变为 4:5，甲、乙两个仓库原来各储存多少吨货物？ 4.甲、乙两人的速度之比为 3:2，两人同时从 A、B 两地出发相向而行，相遇时甲比乙多走了 24km，A、B 两地相距多少千米？ 5.甲、乙两个工程队的人数之比为 5:4，从甲队调 10 人到乙队后，甲、乙两队人数之比变为 4:5，甲、乙两队原来各有多少人？ 七、分段计费问题 经典例题 1 某市居民生活用电收费标准如下：每月用电量不超过 100 度时，按 0.5 元 / 度收费；超过 100 度的部分，按 0.6 元 / 度收费。小明家 10 月份付电费 62 元，小明家 10 月份用电量是多少度？ 变式练习 1 1.某城市出租车收费标准：3km 以内（含 3km）收费 10 元；超过 3km 的部分，每千米收费 2 元（不足 1km 按 1km 计算）。小李乘坐出租车行驶了 8.5km，应付车费多少元？ 2.某地水费收费标准：每月用水量不超过 15 吨时，每吨收费 2 元；超过 15 吨的部分，每吨收费 3 元。小亮家 9 月份水费为 48 元，小亮家 9 月份用水量是多少吨？ 3.某手机套餐收费标准：每月月租费 18 元，包含 100 分钟通话时间，超过 100 分钟的部分，每分钟收费 0.2 元。小张 11 月份手机费共交了 38 元，小张 11 月份通话时间是多少分钟？ 4.某景区门票收费标准：成人票每张 120 元，身高 1.2 - 1.4m 的儿童票每张 80 元，身高低于 1.2m 的儿童免票。某旅游团有成人 15 人，儿童 8 人，其中 3 名儿童身高低于 1.2m，其余儿童身高在 1.2 - 1.4m 之间，该旅游团购买门票共花费多少元？ 经典例题 2 某快递公司收费标准：重量不超过 1kg 的包裹，收费 10 元；超过 1kg 的部分，每增加 0.5kg 收费 4 元（不足 0.5kg 按 0.5kg 计算）。小明寄一个包裹，共付快递费 26 元，这个包裹的重量最多是多少千克？ 变式练习 2 1.某物流公司收费标准：货物重量不超过 5kg 时，收费 20 元；超过 5kg 的部分，每千克收费 3 元（不足 1kg 按 1kg 计算）。某客户寄一批货物，付运费 44 元，这批货物的重量最少是多少千克？最多是多少千克？ 2.某停车场收费标准：1 小时内（含 1 小时）收费 5 元；超过 1 小时的部分，每半小时收费 2 元（不足半小时按半小时计算）。一辆汽车在停车场停了 3 小时 20 分钟，应付停车费多少元？ 3.某电信公司宽带收费标准：每月上网时间不超过 100 小时，收费 50 元；超过 100 小时的部分，每小时收费 0.8 元（不足 1 小时按 1 小时计算）。小王 12 月份宽带费为 78 元，小王 12 月份上网时间最多是多少小时？ 4.某健身房收费标准：单次健身收费 30 元；办理月卡需 180 元，当月不限次数健身。若小李每月健身次数为 x 次，当 x 满足什么条件时，办理月卡更划算？ 5.某自来水公司为鼓励节约用水，收费标准如下：每月用水量不超过 10 吨，每吨 2.5 元；超过 10 吨且不超过 20 吨的部分，每吨 3 元；超过 20 吨的部分，每吨 4 元。小红家 8 月份水费为 85 元，小红家 8 月份用水量是多少吨？ 八、数字与数位问题 经典例题 1 一个两位数，十位数字比个位数字大 3，将十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小 27，求原两位数。 变式练习 1 1.一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数大 36，求原两位数。 2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，若将这个两位数加上 27，刚好等于十位数字与个位数字对调后的两位数，求原两位数。 3.一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，若这个两位数比它的各位数字之和的 4 倍多 3，且 a - b = 2，求这个两位数。 4.一个两位数，十位数字比个位数字小 1，这个两位数乘以它的各位数字之和，积为 280，求这个两位数。 经典例题 2 一个三位数，百位数字是 1，若把百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原三位数大 693，求原三位数。 变式练习 2 1.一个三位数，百位数字为 2，十位数字比个位数字大 1，将百位数字与个位数字对调后，得到的新三位数与原三位数之和为 888，求原三位数。 2.一个三位数，各位数字之和为 15，百位数字比十位数字大 5，个位数字是十位数字的 3 倍，求这个三位数。 3.一个三位数，十位数字为 0，百位数字与个位数字之和为 9，若将百位数字与个位数字对调，得到的新三位数比原三位数小 99，求原三位数。 4.一个三位数，它的百位数字是个位数字的 2 倍，十位数字是百位数字与个位数字之和，这个三位数是多少？ 5.一个三位数，减去它的各位数字之和，差为 738，求这个三位数的百位数字。 九、日历与日期问题 经典例题 1 在一张日历表中，任意圈出同一列上的三个相邻日期，它们的和为 60，求这三个日期分别是多少号？ 变式练习 1 1.在日历表中，同一行上三个相邻日期的和为 45，求这三个日期中最大的日期是多少号？ 2.日历表中，某列四个相邻日期的和为 58，求这四个日期分别是多少号？ 3.在日历表中，用一个长方形框出 2×2 的四个日期，这四个日期的和为 68，求这四个日期中左上角的日期是多少号？ 4.小明在日历表中圈出一个日期，发现这个日期的上、下、左、右四个日期的和为 80，求小明圈出的日期是多少号？ 经典例题 2 某年 9 月份有 5 个星期日，这一年的 9 月 1 日是星期几？ 变式练习 2 1.某年 6 月份有 5 个星期二，这一年的 6 月 1 日是星期几？ 2.某年 2 月份（非闰年）有 4 个星期五，这一年的 2 月 1 日是星期几？ 3.小明发现自己的生日在日历表中，生日那天的日期加上它前面的日期，再加上后面的日期，和为 27，小明的生日是几号？ 4.日历表中，某星期的星期一到星期日的日期之和为 77，求这个星期的星期三是几号？ 5.某年 10 月份有 5 个星期六和 5 个星期日，这一年的 10 月 1 日是星期几？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3实际问题与一元一次方程专项练习（解析版） 一、行程问题（核心公式：路程 = 速度 × 时间） 经典例题 1（相遇问题） 题目：甲、乙两车分别从相距 480km 的 A、B 两地同时出发，相向而行，甲车速度为 60km/h，乙车速度为 80km/h，经过多少小时两车相遇？ 解析： 1.设未知数：设经过 x 小时两车相遇（相遇问题通常设 “相遇时间” 为未知数）。 2.找等量关系：相向而行时，“甲车行驶路程 + 乙车行驶路程 = A、B 两地总距离”（核心逻辑：两车相遇时，路程和等于总距离）。 3.列方程：甲车路程 60x ，乙车路程 80x ，故 60x + 80x = 480 。 4.求解：合并同类项得 140x = 480 ，解得 x = （小时）。 变式练习 1 1.题目：甲、乙两人分别从相距 300m 的两地同时出发，相向而行，甲速 1.5m/s，乙速 1m/s，多久后两人相距 50m？ 解析：分两种情况 —— 未相遇时相距 50m：等量关系 “甲路程 + 乙路程 + 50 = 总距离”，设时间 t ，列方程 1.5t + 1t + 50 = 300 ，解得 t = 100 （s）； 相遇后相距 50m：等量关系 “甲路程 + 乙路程 - 50 = 总距离”，列方程 1.5t + 1t - 50 = 300 ，解得 t = 140 （s）。 2.题目：两辆汽车从相距 525km 的两地相对开出，慢车 65km/h，快车 70km/h，相遇时慢车行驶了多少千米？ 解析：先求相遇时间 x ，等量关系 “慢车路程 + 快车路程 = 525”，列方程 65x + 70x = 525 ，解得 x = 4.2 （h）；再算慢车路程 65×�4.2 = 273 （km）。 3.题目：甲从 A 地出发（5km/h），1 小时后乙从 B 地出发（6km/h），A、B 相距 35km，乙出发后几小时相遇？ 解析：设乙出发后 t 小时相遇，甲总行驶时间为 t+1 小时；等量关系 “甲路程 + 乙路程 = 35”，列方程 5(t+1) + 6t = 35 ，解得 t = （h）。 4.题目：甲船顺水 25km/h，乙船逆水 15km/h，水流 5km/h，两船相距 240km 相向而行，多久相遇？ 解析：相遇时无需考虑水流（水流对两船相对路程无影响），直接用实际速度算；设时间 x ，列方程 25x + 15x = 240 ，解得 x = 6 （h）。 经典例题 2（航行问题） 题目：船在静水中 20km/h，水流 4km/h，顺流从甲到乙用 5 小时，求甲、乙距离；逆流返回需几小时？ 解析： 1.求甲、乙距离： 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度 = 20+4=24（km/h）； 设距离为 s ，由 “路程 = 速度 × 时间” 得 s = 24×�5 = 120 （km）。 1.求逆流时间： 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度 = 20-4=16（km/h）； 设时间为 t ，列方程 16t = 120 ，解得 t = 7.5 （h）。 变式练习 2 解析 1.题目：船顺水 28km/h，逆水 22km/h，求静水速度和水流速度？ 解析：设静水速度 v ，水流速度 u ；等量关系 “ v+u=28 ， v-u=22 ”，两式相加得 2v=50 ，解得 v=25 （km/h）， u=3 （km/h）。 2.题目：渔船静水 12km/h，逆水 4 小时路程 = 顺水 3 小时路程，求水流速度？ 解析：设水流速度 u ，逆水速度 12-u ，顺水速度 12+u ；等量关系 “逆水路程 = 顺水路程”，列方程 4(12-u) = 3(12+u) ，解得 u = （km/h）。 3.题目：船逆流从 A 到 B 需 8 小时，静水 18km/h，水流 2km/h，求 A、B 距离？ 解析：逆水速度 = 18-2=16（km/h）；设距离 s ，列方程 16×�8 = s ，解得 s=128 （km）。 4.题目：船从甲顺流到乙，再逆流返回甲，共用 8 小时，静水 20km/h，水流 4km/h，求甲、乙距离？ 解析：设距离 s ，顺水速度 24km/h，逆水速度 16km/h；等量关系 “顺流时间 + 逆流时间 = 8”，列方程 ，通分后 2s + 3s = 384 ，解得 s=76.8 （km）。 5.题目：船顺流 36km 用 3 小时，逆流 24km 用 3 小时，求静水速度和水流速度？ 解析：顺水速度 36×·3=12 （km/h），逆水速度 24×·3=8 （km/h）；设静水速度 v ，水流 u ，列方程 “ v+u=12 ， v-u=8 ”，解得 v=10 （km/h）， u=2 （km/h）。 二、工程问题（核心公式：工作量 = 工作效率 × 时间，总工作量设为 1） 经典例题 1 题目：工程甲独做 10 天完成，乙独做 15 天完成，两人合作几天完成？ 解析： 1.求效率：甲效率 （每天做总工程的 ），乙效率 。 2.设未知数：设合作 x 天完成。 3.等量关系：“甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量 1”，列方程 。 4.求解：通分后 3x + 2x = 30 ，解得 x=6 （天）。 变式练习 1 1.题目：甲独做 20 小时完成，乙独做 12 小时完成，甲先做 4 小时，剩下的合作需几小时？ 解析：设合作 t 小时；甲先做工作量 ×�4 = ，剩余工作量 1 - ；等量关系 “甲合作工作量 + 乙合作工作量 = 剩余量”，列方程 ，解得 t=6 （小时）。 2.题目：甲队独做 15 天，乙队独做 20 天，合作 5 天后，乙队单独完成剩余需几天？ 解析：设乙单独做剩余需 x 天；合作 5 天工作量 ×�，剩余 1 - ；列方程 ，解得 x = （天）。 3.题目：甲管 6 小时注满水池，乙管 8 小时注满，同时开几小时注满 ？ 解析：设时间 t ，甲效率 ，乙效率 ；等量关系 “(甲 + 乙) 效率 ×t = ”，列方程 ，解得 t = （小时）。 4.题目：甲 3 天做 ，乙 4 天做 ，合作需几天完成？ 解析：先求效率：甲效率 ×·3 = ，乙效率 ×·4 = ；设合作 x 天，列方程 ，解得 x=6 （天）。 经典例题 2 题目：15 人每天 8 小时，12 天完成零件加工；增加 5 人，每天多做 1 小时，实际几天完成？（每人每小时效率相同） 解析： 1.设单人效率：设 1 人 1 小时做 1 份零件（简化计算，总量用 “份” 表示）。 2.求总工作量：总工作量 = 15 人 ×8 小时 ×12 天 = 1440 份。 3.设实际天数：实际人数 20 人，每天 9 小时，设实际 x 天；等量关系 “实际工作量 = 总工作量”，列方程 20×�9×�x = 1440 ，解得 x=8 （天）。 变式练习 2 1.题目：20 人每天 8 小时，15 天完成；增加 5 人，每天少 1 小时，实际几天完成？ 解析：总工作量 = 20×8×15=2400 份；实际 25 人，每天 7 小时，设 x 天，列方程 25×�7×�x = 2400 ，解得 x = （天）。 2.题目：8 人 15 小时完成工程，12 人做需几小时？ 解析：总工作量 = 8×15=120 人・小时；设 12 人需 t 小时，列方程 12t = 120 ，解得 t=10 （小时）。 3.题目：原计划每天修 120 米，15 天修完；实际每天多修 30 米，提前几天修完？ 解析：总路程 = 120×15=1800 米；实际每天修 150 米，实际天数 1800×·150=12 天；提前天数 = 15-12=3 天。 4.题目：甲队 10 人 24 天完成，乙队 15 人 16 天完成，两队合作需几天？ 解析：总工作量 = 10×24=240 人・天（或 15×16=240，一致）；两队共 25 人，设 x 天，列方程 25x = 240 ，解得 x=9.6 （天）。 三、配套问题（核心：找准 “一套” 中各部件的数量比例） 经典例题 1 题目：22 名工人，每人每天产 1200 螺钉或 2000 螺母，1 螺钉配 2 螺母，安排多少人产螺钉、螺母？ 解析： 1.设未知数：设安排 x 人产螺钉，则 22-x 人产螺母。 2.找比例关系：“螺母数量 = 2× 螺钉数量”（1 螺钉配 2 螺母，螺母需是螺钉的 2 倍，易错点：勿搞反比例）。 3.列方程：螺钉总量 1200x ，螺母总量 2000(22-x) ，故 2000(22-x) = 2×�1200x 。 4.求解：展开得 44000 - 2000x = 2400x ，解得 x=10 （产螺钉）， 22-10=12 （产螺母）。 变式练习 1 解析 1.题目：60 名工人，每人每天产 20A 部件或 15B 部件，2A 配 3B，如何安排？ 解析：设 x 人产 A，则 60-x 人产 B；比例关系 “3A 总量 = 2B 总量”（2A 配 3B，即 A:B=2:3，交叉得 3A=2B）；列方程 3×�20x = 2×�15(60-x) ，解得 x=20 （产 A）， 40 （产 B）。 2.题目：30 人产零件，每人每天产 5 甲或 3 乙，1 甲配 2 乙，如何安排？ 解析：设 x 人产甲，则 30-x 人产乙；比例 “乙总量 = 2× 甲总量”；列方程 3(30-x) = 2×�5x ，解得 x=10 （产甲）， 20 （产乙）。 3.题目：12 名工人，每人每天加工 20 桌面或 100 桌腿，1 桌面配 4 桌腿，如何分配？ 解析：设 x 人加工桌面，则 12-x 人加工桌腿；比例 “桌腿总量 = 4× 桌面总量”；列方程 100(12-x) = 4×�20x ，解得 x=5 （桌面）， 7 （桌腿）。 4.题目：60 名工人，每人每天产 10 主机或 30 配件，1 主机配 3 配件，如何安排？ 解析：设 x 人产主机，则 60-x 人产配件；比例 “配件总量 = 3× 主机总量”；列方程 30(60-x) = 3×�10x ，解得 x=30 （主机）， 30 （配件）。 经典例题 2 题目：做校服，1 上衣配 2 裤子，1 上衣用布 1.5 米，1 裤子用布 1 米，现有 300 米布，如何分配？ 解析： 1.设未知数：设用 x 米布做上衣，则 300-x 米布做裤子。 2.找比例关系：“裤子数量 = 2× 上衣数量”（1 上衣配 2 裤子）；上衣数量 ，裤子数量 。 3.列方程： ×�，解得 x=100 （上衣用布）， 300-100=200 （裤子用布）。 变式练习 2 解析 1.题目：做工作服，1 外套配 1 裤子，外套 2.4 米 / 件，裤子 1.6 米 / 件，800 米布能做多少套？ 解析：设做 x 套，1 套需布 2.4+1.6=4 米；列方程 4x = 800 ，解得 x=200 （套）。 2.题目：做课桌椅，1 桌配 2 椅，桌子 0.3 立方米 / 张，椅子 0.1 立方米 / 把，30 立方米最多做多少套？ 解析：设做 x 套，1 套需 0.3 + 2×0.1=0.5 立方米；列方程 0.5x â�¤ 30 ，解得 xâ�¤60 ，故最多 60 套。 3.题目：做礼盒，1 熊配 3 车，熊 0.8kg / 个，车 0.5kg / 个，50kg 材料能做多少套？ 解析：设做 x 套，1 套需 0.8 + 3×0.5=2.3kg；列方程 2.3x â�¤ 50 ，解得 xâ��21.7 ，故最多 21 套。 4.题目：做床上用品，1 被套配 2 枕套，被套 3 米 / 个，枕套 0.8 米 / 个，100 米布如何分配？ 解析：设 x 米做被套，则 100-x 米做枕套；比例 “枕套数量 = 2× 被套数量”；列方程 ×�，解得 x=60 （被套）， 40 （枕套）。 四、销售与利润问题（核心公式：利润 = 售价 - 进价，利润率 = 利润 / 进价 ×100%，售价 = 进价 ×(1 + 利润率)= 标价 × 折扣） 经典例题 1 题目：进价 120 元 / 件，售价 180 元 / 件，卖 时收回成本并盈利1200 元，共多少件？ 解析： 1.设未知数：设这批服装共 x 件，总成本 = 120x 元。 2.找等量关系：“卖出 件的总售价 = 总成本 + 1200 元”（盈利 = 售价 - 成本，故售价 = 成本 + 盈利）。 3.列方程：卖出 件的售价 = 180× ；列方程 135x = 120x + 1200 ，15x = 1200，解得x = 800。 变式练习 1 解析 1.题目：进价 10 元 / 本，售价 15 元 / 本，卖 80% 时盈利 2000 元，共多少本？ 解析：设 x 本，总成本 10x 元；卖出 0.8x 本的售价 = 15×0.8x=12x；等量关系 “12x - 10x = 2000”（盈利 = 售价 - 成本），解得 x=1000 本。 2.题目：进价 80 元 / 件，原售价 120 元，打九折销售，每件盈利多少？利润率多少？ 解析：实际售价 = 120×0.9=108 元；盈利 = 108-80=28 元；利润率 = 28/80×100%=35%。 3.题目：进价 200 元 / 件，计划 50% 利润率定价，实际打八折，实际售价多少？ 解析：定价 = 200×(1+50%)=300 元；实际售价 = 300×0.8=240 元。 经典例题 2 题目：商品八折出售仍获 20% 利润率，进价 160 元，求定价？ 解析： 1.设未知数：设定价为 x 元，实际售价 = 0.8x 元。 2.找等量关系：“售价 = 进价 ×(1 + 利润率)”（利润率 20%，故售价 = 160×1.2）。 3.列方程：0.8x = 160×(1+20%)，解得 x=240 （元）。 变式练习 2 1.题目：进价 200 元，七五折出售利润率 10%，求定价？ 解析：设定价 x 元，售价 0.75x；等量关系 “0.75x=200×(1+10%)”，解得 x=293.33 元（或分数 ）。 2.题目：20% 利润率定价，九折出售售价 216 元，求进价？ 解析：设进价 x 元，定价 = x×1.2，售价 = 1.2x×0.9=1.08x；列方程 1.08x=216，解得 x=200 元。 3.题目：进价提高 50% 标价，八折销售售价 360 元，求进价和盈利？ 解析：设进价 x 元，标价 = 1.5x，售价 = 1.5x×0.8=1.2x；列方程 1.2x=360，解得 x=300 元；盈利 = 360-300=60 元。 4.题目：进价 120 元，售价 180 元，降价销售保证利润率≥20%，最多降多少？ 解析：设降 x 元，售价 = 180-x；利润率≥20%，故 (180-x-120)/120 ≥20% → 60-x ≥24 → x≤36，故最多降 36 元。 5.题目：定价出售每件盈利 45 元，七五折售 8 个与减价 35 元售 12 个利润相同，求定价？ 解析：设定价 x 元，进价 = x-45；七五折售价 0.75x，每件盈利 0.75x-(x-45)=45-0.25x；减价 35 元售价 x-35，每件盈利 (x-35)-(x-45)=10 元；等量关系 “8×(45-0.25x)=12×10”，解得 x=100 元。 五、等积变形与体积问题（核心：变形前后体积 / 面积不变） 经典例题 1 题目：圆柱铁块（半径 3cm，高 8cm）熔铸圆锥（半径 4cm），求圆锥高？（圆柱 ²h ，圆锥 ²h ） 解析： 1.算圆柱体积： ×�3²×�（cm³）。 2.设圆锥高：设圆锥高为 h ，圆锥体积 ×�4²×�h = 。 3.等量关系： （熔铸前后体积不变），列方程 。 4.求解：约去 ，得 72 = ，解得 h=13.5 （cm）。 变式练习 1 1.题目：圆柱钢坯（直径 10cm，高 12cm）熔铸正方体（边长 5cm），求正方体高？（ ） 解析：圆柱半径 5cm，体积 = 3.14×5²×12=942（cm³）；设正方体高 h，体积 = 5×5×h=25h；列方程 25h=942，解得 h=37.68（cm）。 2.题目：长方体（10×8×6cm）熔铸圆柱（半径 4cm），求圆柱高？（ ，保留 1 位小数） 解析：长方体体积 = 10×8×6=480（cm³）；设圆柱高 h，体积 = 3.14×4²×h=50.24h；列方程 50.24h=480，解得 h≈9.6（cm）。 3.题目：圆锥沙堆（半径 2m，高 1.5m）铺公路（宽 5m，厚 2cm），能铺多长？（ ） 解析：单位统一：2cm=0.02m；圆锥体积 = 1/3×3.14×2²×1.5=6.28（m³）；设铺长 x 米，公路体积 = 5×0.02×x=0.1x；列方程 0.1x=6.28，解得 x=62.8（m）。 4.题目：圆柱容器（半径 5cm，高 10cm）装满水，倒入正方体容器（边长 10cm），求水面高？（ ） 解析：水体积 = 3.14×5²×10=785（cm³）；设水面高 h，正方体中水体积 = 10×10×h=100h；列方程 100h=785，解得 h=7.85（cm）。 经典例题 2 题目：圆柱容器（半径 6cm，水深 10cm）放入圆锥（半径 3cm，高 8cm），水面上升多少？ 解析： 1.算圆锥体积： ×�3²×�（cm³）（圆锥完全浸没，水面上升的体积 = 圆锥体积）。 2.设水面上升 h：上升体积 = 圆柱底面积 ×h= ×�6²×�。 3.列方程：，解得 h=2/3≈0.67（cm）。 变式练习 2 1.题目：长方体容器（20×15×10cm，水深 6cm）放入正方体（棱长 5cm），水面上升到多少？ 解析：正方体体积 = 5³=125（cm³）；设上升 h，上升体积 = 20×15×h=300h；列方程 300h=125，解得 h≈0.42cm；水面上升到 6+0.42=6.42cm。 2.题目：圆柱容器（直径 8cm，水深 10cm）放入圆柱铁棒（半径 2cm，高 12cm，底面接触），水面上升多少？ 解析：铁棒浸没部分体积 = 水面上升体积；设上升 h，铁棒浸没高度 = 10+h（水深 10cm，上升 h 后浸没 h+10）；体积关系： ×�2²×�(10+h) = ×�4²×�h ，解得 h=2（cm）。 3.题目：长方体容器（18×12×20cm，水深 15cm）放入 324cm³ 石块，水是否溢出？ 解析：容器总容积 = ()，现有水的体积 = ()，剩余容积 = ()。 比较石块体积与剩余容积：石块体积 ，故水不溢出。 求水面上升高度：水面上升体积 = 石块体积，设上升高度为 ，列方程 ，解得 ()。 4.题目：底面半径为 的圆柱形容器，装有一部分水，现将底面半径为 、高为 的圆锥形铁块放入水中（完全浸没），水面上升了 ，原来容器中水面的高度是多少厘米？ 解析： 第一步：计算圆锥体积（即水面上升的体积）： 圆锥体积 ()。 第二步：验证水面上升体积与圆锥体积的关系： 水面上升体积 ()，此处题目数据虽存在细微偏差 ()，但按核心逻辑解题： 设原来水面高度为 ，原来水的体积 = 容器底面积 ，放入圆锥后总体积 = 容器底面积 ，故： ，虽化简后 抵消，但解题步骤需明确 “上升体积 = 浸没物体体积” 的核心等量关系。 六、比例与分配问题（核心：按比例设未知数，总量 = 各部分量之和） 经典例题 1 题目：甲、乙、丙三个班共分得 240 本图书，分配比例为甲：乙: 丙 = 3:4:5，求甲、乙、丙三个班各分得多少本图书？ 解析： 1. 按比例设未知数：设甲班分得 本，乙班 本，丙班 本（比例为 3:4:5，设每一份为 ，简化计算）。 2. 找等量关系：“甲班本数 + 乙班本数 + 丙班本数 = 总图书数 240”。 3. 列方程： ，合并同类项得 ，解得 。 4. 求各部分量：甲班 本，乙班 本，丙班 本。 变式练习 1 1. 题目：1800 元奖金按 3:4:5 分给甲、乙、丙三名员工，三名员工各分得多少元？ 解析：设甲得 元，乙 元，丙 元；列方程 ，解得 ；甲 = 450 元，乙 = 600 元，丙 = 750 元。 2.题目：混凝土由水泥、沙子、石子按 2:3:5 配制，需配制 60 吨混凝土，需水泥、沙子、石子各多少吨？ 解析：设水泥 吨，沙子 吨，石子 吨；列方程 ，解得 ；水泥 = 12 吨，沙子 = 18 吨，石子 = 30 吨。 3.题目：甲、乙工作量之比为 2:3，乙、丙工作量之比为 4:5，报酬共 9000 元，甲、乙、丙各分得多少元？ 解析：先统一比例（乙为 3 和 4 的最小公倍数 12），甲：乙 = 8:12，乙：丙 = 12:15，故甲：乙: 丙 = 8:12:15；设甲得 元，乙 元，丙 元；列方程 ，解得 ；甲 元，乙 元，丙 元（按题目数据保留逻辑，步骤优先）。 4.题目：树苗按 5:3:2 分给七、八、九年级，七年级比九年级多 45 棵，三个年级各分得多少棵？ 解析：设七年级 棵，八年级 棵，九年级 棵；等量关系 “七年级棵数 -九年级棵数 = 45”，列方程 ，解得 ；七年级 = 75 棵，八年级 = 45 棵，九年级 = 30 棵。 经典例题 2 题目：甲、乙两人的钱数之比为 5:3，甲给乙 12 元后，两人钱数之比变为 3:2，甲、乙原来各有多少钱？ 解析： 1. 设未知数：设甲原来有 元，乙原来有 元（保持比例关系）。 2. 找等量关系：“甲给乙 12 元后，甲的钱数：乙的钱数 = 3:2”。 3. 列方程： ，交叉相乘得 ，展开 ，解得 。 4. 求原钱数：甲 = 元，乙 = 元。 变式练习 2 1. 题目：甲、乙两桶油质量比 7:5，甲倒 10kg 给乙后，质量比 3:5，甲、乙原来各有多少 kg 油？ 解析：设甲 kg，乙 kg；列方程 ，交叉得 ，解得 ；甲 = 28kg，乙 = 20kg。 2.题目：班中男、女生人数比 4:3，转来 2 名女生后，比变为 6:5，原来班中有多少名学生？ 解析：设男生 名，女生 名；列方程 ，交叉得 ，解得 ；原来总人数 = 名。 3.题目：甲、乙仓库货物质量比 8:7，甲运 20 吨给乙后，比变为 4:5，甲、乙原来各储多少吨？ 解析：设甲 吨，乙 吨；列方程 ，交叉得 ，解得 ；甲 = 120 吨，乙 = 105 吨。 4.题目：甲、乙速度比 3:2，相向而行相遇时甲比乙多走 24km，A、B 两地相距多少 km？ 解析：相遇时时间相同，路程比 = 速度比 = 3:2；设甲走 km，乙走 km；列方程 ，解得 ；总距离 = 。 5.题目：甲、乙工程队人数比 5:4，甲调 10 人到乙后，比变为 4:5，甲、乙原来各有多少人？ 解析：设甲 人，乙 人；列方程 ，交叉得 ，解得 ；甲 = 50 人，乙 = 40 人。 七、分段计费问题（核心：判断用量所属区间，分段计算后列方程） 经典例题 1 题目：居民用电收费：不超过 100 度，0.5 元 / 度；超过 100 度部分，0.6 元 / 度。小明家 10 月付电费 62 元，10 月用电量是多少度？ 解析： 1. 判断区间：先算 100 度的费用 = 元， 元 元，故用电量超过 100 度。 2. 设未知数：设总用电量为 度 ()，超过 100 度的部分为 度。 3. 列方程：“100 度费用 + 超过部分费用 = 总电费”，即 。 4. 求解：展开 ，化简 ，解得 度。 变式练习 1 1. 题目：出租车收费：3km 内（含 3km）10 元；超 3km 部分，每千米 2 元（不足 1km 按 1km 算）。小李行驶 8.5km，应付车费多少元？ 解析：8.5km 按 9km 算（不足 1km 按 1km）；费用 = 元。 2.题目：水费收费：不超 15 吨，2 元 / 吨；超 15 吨部分，3 元 / 吨。小亮家 9 月水费 48 元，9 月用水量多少吨？ 解析：15 吨费用 = 元 元，超 15 吨；设总用水量 吨，列方程 ，解得 吨。 3.题目：手机套餐：月租 18 元（含 100 分钟通话）；超 100 分钟部分，0.2 元 / 分钟。小张 11 月话费 38 元，11 月通话时间多少分钟？ 解析：除月租外费用 = 元（超 100 分钟的费用）；超 100 分钟的时间 = 分钟；总通话时间 = 分钟。 4.题目：景区门票：成人 120 元 / 张，1.2-1.4m 儿童 80 元 / 张，低于 1.2m 儿童免票。旅游团有成人 15 人，儿童 8 人（3 人低于 1.2m），购门票共花费多少元？ 解析：收费儿童 = 人；总费用 = 元。 经典例题 2 题目：快递公司收费：重量，10 元；超 部分，每增加 收费 4 元（不足 按 算）。小明付快递费 26 元，包裹重量最多是多少千克？ 解析： 1. 判断区间： 费用 10 元 元，故重量 。 2. 设未知数：设超 的部分为 （ 为整数，每 为 1 份），总重量 = 。 3. 列方程：“ 费用 + 超 部分费用 = 总费用”，即 ，解得 。 4. 求最大重量：总重量 = （因不足 按 算， 时超 部分为 ，重量最多 ）。 变式练习 2 1. 题目：物流公司收费：重量，20 元；超 部分，3 元 / kg（不足 按 算）。客户付运费 44 元，货物重量最少、最多各多少千克？ 解析：超 费用 = 元；超 的重量 = （按整 算）；最少重量 = （超 时费用已达 21 元，需再付 3 元凑 24 元，即超 按 算），最多重量 = 。 题目：停车场收费：1 小时内（含 1 小时）5 元；超 1 小时部分，每半小时 2 元（不足半小时按半小时算）。一辆汽车在停车场停了 3 小时 20 分钟，应付停车费多少元？ 解析： 第一步：拆分停车时间：1 小时（基础时段）+ 2 小时 20 分钟（超时时段）。 第二步：处理超时时段：不足半小时按半小时算，2 小时 20 分钟需按 2 小时 30 分钟（即 5 个 “半小时”）计算。 第三步：计算费用：基础费用 5 元 + 超时费用（5×2）元 = 5 + 10 = 15 元。 2.题目：电信公司宽带收费：每月上网时间不超过 100 小时，收费 50 元；超过 100 小时的部分，每小时收费 0.8 元（不足 1 小时按 1 小时算）。小王 12 月份宽带费为 78 元，小王 12 月份上网时间最多是多少小时？ 解析： 第一步：判断区间：50 元（100 小时费用）＜78 元，故上网时间超过 100 小时。 第二步：计算超时费用：78 - 50 = 28 元（超时部分的总费用）。 第三步：计算超时时间：超时时间 = 28÷0.8=35 小时（因不足 1 小时按 1 小时算，35 小时为整数，对应 “最多时间”）。 第四步：总上网时间 = 100 + 35 = 135 小时。 3.题目：健身房收费：单次健身收费 30 元；办理月卡需 180 元，当月不限次数健身。若小李每月健身次数为 x 次，当 x 满足什么条件时，办理月卡更划算？ 解析： 核心逻辑：“月卡费用＜单次累计费用” 时更划算。 列不等式：180 ＜ 30x，解得 x ＞ 6。 因 x 为健身次数（正整数），故当 x ≥ 7 时，办理月卡更划算。 4.题目：自来水公司收费：每月用水量不超过 10 吨，每吨 2.5 元；超过 10 吨且不超过 20 吨的部分，每吨 3 元；超过 20 吨的部分，每吨 4 元。小红家 8 月份水费为 85 元，小红家 8 月份用水量是多少吨？ 解析： 第一步：分段计算基础费用： ▪10 吨以内费用：10×2.5 = 25 元； ▪10-20 吨（10 吨）费用：10×3 = 30 元； ▪前 20 吨总费用：25 + 30 = 55 元。 第二步：判断超额情况：85 元＞55 元，故用水量超过 20 吨。 第三步：计算超 20 吨的费用与吨数： ▪超 20 吨的费用：85 - 55 = 30 元； ▪超 20 吨的吨数：30÷4 = 7.5 吨。 第四步：总用水量 = 20 + 7.5 = 27.5 吨。 八、数字与数位问题（核心：多位数表示法 —— 两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；三位数 = 100× 百位数字 + 10× 十位数字 + 个位数字） 经典例题 1 题目：一个两位数，十位数字比个位数字大 3，将十位数字与个位数字对调后，得到的新两位数比原两位数小 27，求原两位数。 解析： 1.设未知数：设个位数字为 x ，则十位数字为 x + 3 （设较小的个位数字为未知数，简化计算）。 2.表示原数与新数： 原两位数： 10(x + 3) + x = 11x + 30 ； 对调后的新两位数： 10x + (x + 3) = 11x + 3 。 1.找等量关系：“新两位数 = 原两位数 - 27”。 2.列方程： 11x + 3 = (11x + 30) - 27 ，化简得 11x + 3 = 11x + 3 （恒成立，说明需结合 “十位数字为 1-9，个位数字为 0-9” 的整数条件）。 3.确定取值：因十位数字 x + 3 ，故 x ；且 x ，可取 x=0 （原数 30）、 x=1 （41）… x=6 （96），均满足条件（题目隐含 “唯一解” 时，取任意合理值即可，如原数为 41）。 变式练习 1 1.题目：一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，将十位与个位对调后，新数比原数大 36，求原两位数。 解析：设十位数字为 x ，个位数字为 2x ；原数 = 10x+2x=12x，新数 = 10×2x+x=21x；等量关系 “21x - 12x = 36”，解得 x=4 ；原数 = 12×4=48。 2.题目：一个两位数，十位与个位数字之和为 9，若加 27，等于对调后的两位数，求原两位数。 解析：设十位数字为 x ，个位数字为 9 - x ；原数 = 10x+(9-x)=9x+9，新数 = 10 (9-x)+x=90-9x；等量关系 “9x+9 +27 = 90-9x”，解得 x=3 ；原数 = 9×3+9=36。 3.题目：一个两位数，十位为 a ，个位为 b ，比各位数字之和的 4 倍多 3，且 a - b = 2 ，求这个两位数。 解析：原数 = 10a+b，数字和 = a+b；等量关系 “10a+b = 4 (a+b) + 3”，结合 a = b + 2 ；代入得 10 (b+2)+b = 4 (b+2 +b)+3，解得 b=1 ， a=3 ；原数 = 31。 4.题目：一个两位数，十位比个位小 1，乘以各位数字之和得 280，求这个两位数。 解析：设个位数字为 x ，十位为 x - 1 ；原数 = 10 (x-1)+x=11x-10，数字和 = x-1+x=2x-1；等量关系 “(11x-10)(2x-1)=280”，展开得 22x²-31x+10=280，解得 x=4 （正整数解）；原数 = 11×4-10=34。 经典例题 2 题目：一个三位数，百位数字是 1，若把百位与个位对调，得到的新三位数比原三位数大 693，求原三位数。 解析： 1.设未知数：设个位数字为 x ，十位数字为 y （十位数字对调后不变，可暂不单独求解）。 2.表示原数与新数： 原三位数： 100×�1 + 10y + x = 10y + x + 100 ； 新三位数： 100x + 10y + 1 。 1.找等量关系：“新三位数 - 原三位数 = 693”。 2.列方程： (100x + 10y + 1) - (10y + x + 100) = 693 ，化简得 99x - 99 = 693 ，解得 x=8 。 3.确定原数：十位数字 y 可取 0-9（不影响差值），故原三位数为 100 + 10y + 8 = 108、118…198（如取 y=0 ，原数为 108）。 变式练习 2 1.题目：一个三位数，百位为 2，十位比个位大 1，对调百位与个位后，新数与原数之和为 888，求原三位数。 解析：设个位为 x ，十位为 x+1 ；原数 = 200 + 10 (x+1) + x=11x+210，新数 = 100x + 10 (x+1) + 2=110x+12；等量关系 “11x+210 + 110x+12=888”，解得 x=6 ；原数 = 11×6+210=276。 2.题目：一个三位数，各位数字和为 15，百位比十位大 5，个位是十位的 3 倍，求这个三位数。 解析：设十位为 x ，百位为 x+5 ，个位为 3x ；等量关系 “x+5 + x + 3x=15”，解得 x=2 ；百位 = 7，个位 = 6；原数 = 726。 3.题目：一个三位数，十位为 0，百位 + 个位 = 9，对调后比原数小 99，求原三位数。 解析：设百位为 x ，个位为 9 - x ；原数 = 100x + 0 + (9 - x)=99x+9，新数 = 100 (9 - x) + 0 + x=900-99x；等量关系 “99x+9 - (900-99x)=99”，解得 x=5 ；原数 = 99×5+9=504。 4.题目：一个三位数，百位是个位的 2 倍，十位是百位与个位之和，这个三位数是多少？ 解析：设个位为 x ，百位为 2x ，十位为 2x + x=3x ；十位数字为 0-9，故 3x ， x=1,2,3 ；对应三位数：231（x=1）、462（x=2）、693（x=3）（均符合条件）。 5.题目：一个三位数，减去它的各位数字之和，差为 738，求这个三位数的百位数字。 解析：设三位数为 100a + 10b + c ；等量关系 “100a + 10b + c - (a + b + c)=738”，化简得 99a + 9b=738 ，即 11a + b=82 ； a 为百位（1-9）， b 为十位（0-9），故 a=7 （11×7=77，b=5）；百位数字为 7。 九、日历与日期问题（核心：日历规律 —— 同行相邻日期差 1，同列相邻日期差 7；一周 7 天循环） 经典例题 1 题目：在日历表中，任意圈出同一列上的三个相邻日期，它们的和为 60，求这三个日期分别是多少号？ 解析： 1.利用日历规律设未知数：同一列相邻日期差 7，设中间日期为 x ，则上方日期为 x - 7 ，下方日期为 x + 7 （设中间数可简化计算，抵消常数项）。 2.找等量关系：“三个日期之和 = 60”。 3.列方程： (x - 7) + x + (x + 7) = 60 ，化简得 3x = 60 ，解得 x=20 。 4.求三个日期：上方 = 20-7=13，中间 = 20，下方 = 20+7=27；即 13 号、20 号、27 号。 变式练习 1 1.题目：日历表中，同一行三个相邻日期和为 45，求最大日期是多少号？ 解析：设中间日期为 x ，则左 x-1 、右 x+1 ；和为 3x=45 ， x=15 ；最大日期 = 15+1=16 号。 2.题目：日历表中，某列四个相邻日期和为 58，求这四个日期分别是多少号？ 解析：设第一个日期为 x ，则后续为 x+7 、 x+14 、 x+21 ；和为 4x + 42=58 ， x=4 ；四个日期 = 4 号、11 号、18 号、25 号。 3.题目：日历表中，用长方形框出 2×2 的四个日期，和为 68，求左上角的日期是多少号？ 解析：设左上角为 x ，则右上角 x+1 、左下角 x+7 、右下角 x+8 ；和为 4x + 16=68 ， x=13 ；左上角 = 13 号。 4.题目：日历表中，一个日期的上、下、左、右四个日期和为 80，求这个日期是多少号？ 解析：设中间日期为 x ，则上 x-7 、下 x+7 、左 x-1 、右 x+1 ；和为 4x=80 ， x=20 ；中间日期 = 20 号。 经典例题 2 题目：某年 9 月份有 5 个星期日，这一年的 9 月 1 日是星期几？ 解析： 1.明确 9 月天数：9 月有 30 天，一周 7 天，30÷7=4 周……2 天（即 4 个完整周 + 2 个剩余天）。 2.核心逻辑：4 个完整周含 4 个星期日，要有 5 个星期日，需在 “剩余 2 天” 中再含 1 个星期日。 3.分析剩余天数：剩余 2 天为 9 月 29 日、30 日（或 1 日、2 日，两种等价视角）： 若 29 日为星期日，则 1 日为星期日（29-28=1，28 天为 4 周）； 若 30 日为星期日，则 1 日为星期六（30-28=2，2 日为星期日）。 1.结论：9 月 1 日是星期六或星期日。 变式练习 2 1.题目：某年 6 月份有 5 个星期二，这一年的 6 月 1 日是星期几？ 解析：6 月有 30 天，30÷7=4 周……2 天；需剩余 2 天含 1 个星期二，故 1 日为星期一（2 日为星期二）或星期二（1 日为星期二）；结论：星期一或星期二。 2.题目：某年 2 月份（非闰年）有 4 个星期五，这一年的 2 月 1 日是星期几？ 解析：非闰年 2 月有 28 天，28÷7=4 周（无剩余天）；4 个完整周含 4 个星期五，故 1 日为星期五（若 1 日为其他星期，将不足或超 4 个星期五）；结论：星期五。 3.题目：日历表中，生日那天的日期加上前面、后面的日期和为 27，求小明的生日是几号？ 解析：设生日为 x ，前面 x-1 、后面 x+1 ；和为 3x=27 ， x=9 ；生日 = 9 号。 4.题目：日历表中，某星期的星期一到星期日日期之和为 77，求这个星期的星期三是几号？ 解析：设星期一为 x ，则星期日为 x+6 ；和为 7x + 21=77 （等差数列求和：(首项 + 末项)× 项数 ÷2），解得 x=8 ；星期三 = 8+2=10 号。 5.题目：某年 10 月份有 5 个星期六和 5 个星期日，这一年的 10 月 1 日是星期几？ 解析：10 月有 31 天，31÷7=4 周……3 天；需剩余 3 天含 1 个星期六和 1 个星期日，故剩余 3 天为星期五、六、日（1 日为星期五）或六、日、一（1 日为星期六）；结论：星期五或星期六。 2 学科网（北京）股份有限公司 $