精品解析：江苏省南通市海门区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期学科素养大赛 八年级 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 下列各式从左到右变形为因式分解的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A B. C. D. 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 7. 如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 10. 如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11. 若，则x满足的条件是______． 12. 因式分解：______ 13. 已知，，，为正整数，则_______． 14 若则______ 15. 如图，在中，，，垂足分别是D，E．，交点H，已知，，则的长是__________． 16. 如图，中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点F．若点F是的中点，，的面积为10，则点之间的距离为 _______． 17. 如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则________． 18. 如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3） 20. 先化简，再求值：，其中、． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于y轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最短； 22. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与的边交于点D，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：垂直平分． 24. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； （2）请利用整式的运算对以上规律进行证明. 25. 如图，，E是的中点，连接． （1）若平分，求证：是的平分线； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； （3）若，求证：是的平分线． 26. 在中，，，D是平面内一点，，点D关于直线对称点为E，连接． （1）如图1，当D在边上时，直接写出的度数为________； （2）如图2，D为内一点，且，连接，取的中点F，连接．依题意补全图2，并求证； （3）在（2）的条件下，作射线交于G，在射线上有一点H，满足，延长交于K，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期学科素养大赛 八年级 数学 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方． 根据合并同类项，同底数幂的乘除、幂的乘方逐一计算后判断即可． 【详解】选项A：a和不是同类项，不能合并，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确； 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查坐标系中关于对称轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称时，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此解答． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为， 故选：B． 4. 下列各式从左到右的变形为因式分解的是( ) A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法因式分解即可． 根据提取公因式法和公式法逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； D. ，结果不是积的形式，故该选项不符合题意． 故选B． 5. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 6. 若，则代数式的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】对已知条件变形为：，然后等式两边再同时平方即可求解． 【详解】解：由已知条件可知：， 上述等式两边平方得到：， 整理得到：， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式恒等变形，完全平方公式的求值等，属于基础题，计算过程中细心即可． 7. 如图，点D是的边上一点，连接，与的面积比是，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，三角形面积公式．设D到和的距离分别为和，先根据三角形的面积公式得到，即点D到和的距离相等，然后根据角平分线的判定定理得到平分，即可得出结论． 【详解】解：设D到和距离分别为和， ∵， ∴， ∴， 即点D到和的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：B． 8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到DE＝CE，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD＋AC＋2BC＝12和AD＋AC＝6，所以6＋2BC＝12，从而得到BC的长． 【详解】解：连接BE， ∵DE⊥AB ∴∠BDE=90°， 在Rt△BED和Rt△BEC中， ， ∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL）， ∴DE＝CE， ∵△ABC的周长为12， ∴AB＋AC＋BC＝12， 即AD＋AC＋2BC＝12， ∵△ADE的周长为6， ∴AD＋DE＋AE＝6， 即AD＋EC＋AE＝6， ∴AD＋AC＝6， ∴6＋2BC＝12， ∴BC＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键． 9. 如图，点D是∠FAB内的定点且AD=2，若点C、E分别是射线AF、AB上异于点A的动点，且△CDE周长的最小值是2时，∠FAB的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，利用轴对称的性质得AG=AD=AH=2，利用两点之间线段最短判断此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2，可得△AGH是等边三角形，进而可得∠FAB的度数． 【详解】解：如图，作D点分别关于AF、AB的对称点G、H，连接GH分别交AF、AB于C′、E′，连接DC′，DE′， 此时△CDE周长最小为DC′+DE′+C′E′=GH=2， 根据轴对称的性质，得AG=AD=AH=2，∠DAF=∠GAF，∠DAB=∠HAB， ∴AG=AH=GH=2， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠GAH=60°， ∴∠FAB=∠GAH=30°， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 10. 如图，已知等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的个数是（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE＝CG，DE＝FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP＝∠GFP，EP＝PG，得出PC＋BE＝PE，就可以得出PE＝1，从而得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠GCF， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB＝∠FGC＝∠DEP＝90°． 在△DEB和△FGC中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE＝CG，DE＝FG，故①正确； △DEP和△FGP中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正确； ∴PE＝PG，∠EDP＝∠GFP≠60°，故③错误； ∵PG＝PC＋CG， ∴PE＝PC＋BE． ∵PE＋PC＋BE＝2， ∴PE＝1，故④正确． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明三角形全等． 二、填空题（本大题共8小题，11~12每小题3分，13~18每小题4分，共30分） 11. 若，则x满足的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据考查了零指数幂，掌握是解题关键．根据任何非零数的零次幂等于1，得到，即可求解． 【详解】解：若，则， 解得：， 故答案为： ． 12. 因式分解：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 用完全平方公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知，，，为正整数，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的科方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：因为，、为正整数）， 所以， 故答案为：． 14. 若则______ 【答案】29 【解析】 【分析】先将两边同时平方得到值，再把展开，代入的值即可求解. 【详解】将两边同时平方得： 解得： 故填：29. 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握公式及采用整体代入思想是解题的关键. 15. 如图，在中，，，垂足分别是D，E．，交点H，已知，，则的长是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由，得，，由对顶角相等得，，根据三角形内角和定理得，，已知，可证明，根据全等三角形的性质得，，即可得出答案． 【详解】，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 16. 如图，中，点D是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点F．若点F是的中点，，的面积为10，则点之间的距离为 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查翻折性质、三角形的中线性质，利用面积求高是解决本题的关键．根据题意连接交于，根据翻折性质得，，继而得到，继而利用面积公式求出本题答案． 【详解】解：连接交于， ， ∴，， ∵的面积为10，点F是的中点，沿着翻折，得到， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 故答案为：10． 17. 如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于，交于，交于，根据角平分线的性质定理和线段垂直平分线的定理可得，，证明三角形全等得出，最后再由角平分线的定义结合三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作于，交于，交于， ， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18. 如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据完全平方公式计算即可； （2）先根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可； （3）先逆用积的乘方计算，根据平方差公式进行计算，再根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 20. 先化简，再求值：，其中、． 【答案】，1． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用整式的混合运算法则成为解题的关键． 先运用整式的混合运算法则化简，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ； 当、时，原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画，使与关于y轴对称； （2）求的面积； （3）在y轴上作一点P，使得最短； 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题，作轴对称图形，利用网格求三角形面积，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）找出A，B，C关于y轴的对称点，顺次连接即可得到； （2）利用割补法求解； （3）由轴对称的性质可得，则，所以连接交y轴于P，点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示；即为所求； 【小问2详解】 解：的面积； 【小问3详解】 解：连接交y轴于P，点P即为所求． 22. 如图，在和中，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定： （1）利用证明得到，则可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则． 【小问1详解】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与的边交于点D，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作线段的垂直平分线，并按要求标注即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，从而得到、，可证，然后根据即可证明可得，即点D在的垂直平分线上；又，可得点A在的垂直平分线上；然后根据垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ， 又∵， ， 又∵，， ∴， ∴，即点D在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 24. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律.如图是2024年1月份的日历.我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7. 2024年1月 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）将每个方框的左上角数字设为.请用含的式子表示你发现的规律：______； （2）请利用整式运算对以上规律进行证明. 【答案】（1）； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． （1）根据题意用含的式子表示其余三个数，表达规律即可； （2）根据整式乘法公式，把化简，即可证明． 【小问1详解】 解：设日历中所示的方框左上角数字为，则其余三个数从小到大依次是：，，， 规律用含的式子可表示为； 故答案为：； 【小问2详解】 证明： ． 25. 如图，，E是的中点，连接． （1）若平分，求证：是的平分线； （2）在（1）的条件下，若，，直接写出的长为________； （3）若，求证：是的平分线． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）如图：过E作，由角平分线的性质定理可得，再结合已知条件可得，进而得到，最后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答； （3）如图：延长交于点N，再证明可得，进而得到是线段的垂直平分线，即；最后根据等腰三角形三线合一的性质即可证明结论． 【小问1详解】 证明：如图：过E作， ∵平分，，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理可得：， ∴． 故答案为：5． 【小问3详解】 证明：如图：延长交于点N， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是的平分线（三线合一）． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定与性质定理成为解题的关键． 26. 在中，，，D是平面内一点，，点D关于直线的对称点为E，连接． （1）如图1，当D在边上时，直接写出的度数为________； （2）如图2，D为内一点，且，连接，取的中点F，连接．依题意补全图2，并求证； （3）在（2）的条件下，作射线交于G，在射线上有一点H，满足，延长交于K，连接，若，求的面积． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）求出，连接，，证明是等边三角形，也是等边三角形，得到，由此推出垂直平分，得到； （2）补全图形，如图所示，连接，求出，得到，证明，推出，由轴对称可得，证得，由此推出，即可证得； （3）证明，得到，，根据，证明，得到，求出，即可得到的面积． 【小问1详解】 解：在中，，， ∴， 连接，， ∵，     ∴是等边三角形， ∴，   ∴， 由轴对称性质得， ∴，也是等边三角形， ∴， 又  ，                ∴垂直平分， ∴， 故答案为：30； 【小问2详解】 补全图形，如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 由轴对称可得 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴的面积． 【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，等边对等角，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $