第二十六章 反比例函数 单元测试 2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十六章 反比例函数 测评卷 一、单选题 1．下列是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 3．若点都在反比例函数的图像上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的横坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知A是反比例函数图像上的一点，过点A作轴，垂足为B，连接，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，P的值是（    ） A． B．20 C．30 D．40 7．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（   ） A．10 B．3 C． D．5 8．如图，直线与双曲线 交于点，，当时，则x的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D． 9．细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比，生物学中，细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）成反比例函数关系，如图所示．下列说法错误的是（   ） A．细胞的相对表面积（）与细胞的半径（）之间的函数关系式为（） B．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小 C．若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为 D．细胞的半径每增大，相对表面积的减少量相同 10．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作直线的垂线，垂足为点B，再过点A作交的图象于点C，若是等腰三角形，则点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知直线与双曲线交于，两点，则不等式的解集为 ． 12．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ． 13．如图，正方形在平面直角坐标系中，点，轴，且，若反比例函数的图象与正方形有交点，则k的取值范围是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点D，分别与对角线，边交于点E，F，连接．若点E为的中点，则的面积为 ． 15．某实验室在严格的恒温环境（温度恒定为，波动范围控制在内，以确保实验过程中温度对气体性质的影响可忽略不计）下研究密闭容器中理想气体的性质．已知在此恒温条件下，气体的压强P（单位：）与体积V（单位：）成反比，即遵循波义耳定律（k为仅与气体种类、温度有关的常数）．当容器中气体体积为时，压强为．若气体体积膨胀为，此时该气体压强变为 ． 三、解答题 16．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点D，且与x轴和y轴分别交于点B和点． (1)填空：__________，点D坐标_________； (2)直接写出不等式的解集为__________________； (3)连接，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 17．已知反比例函数． (1)①该函数部分y与x的对应值如下表所示，请补全表格； ②在下图中画出函数的图象． (2)函数的图象位于第______象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而______． 18．如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． (1)求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； (2)出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； (3)若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，点，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； (4)点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点、，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，点为一次函数与反比例函数的图象的交点，点的纵坐标为轴，垂足为，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值． (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①如图1，连接，，在轴上有两个动点和点，点在点左侧，且，若，求点的坐标，并求出的最小值． ②如图2，过点作于点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十六章 反比例函数 测评卷2025-2026学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B C D C D A 1．B 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数进行排除选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的形式为（）， 选项A：，是正比例函数； 选项B：，符合形式，且，是反比例函数； 选项C：，是一次函数； 选项D：，不是反比例函数； 故选B． 2．C 【分析】本题主要考查了待定系数法求得反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据反比例函数定义，设解析式为，代入点 求出，得到函数解析式．然后验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设解析式为， ∵ 反比例函数图象过点， 代入得：， ∴ 函数解析式为， A、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； B、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； C、当 时， ，满足，故本选项符合题意； D、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意． 故选：C 3．B 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，比较简单，要知道，反比例函数图像上的点的坐标符合函数解析式； 通过将各点的横坐标代入反比例函数解析式，直接计算对应的纵坐标值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点 在 上， ∴ ； ∵ 点 在 上， ∴ ； ∵ 点 在 上， ∴ ； ∴ , , ， 故 ； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了“菱形的性质”“反比例函数上的点坐标特征”“坐标系中两点之间的距离”，通过图形性质找到点坐标之间的关系是解题关键． 根据点A在反比例函数上，利用横坐标得到点A的坐标，再计算得到的值，根据菱形的性质，推出，，从而得到点B的坐标． 【详解】解：代入，得， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 由题意，得在x轴上， ∴轴， ， ∴． 故选：B ． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数k的几何意义． 结合反比例函数关系，设出点A坐标，再根据三角形面积即可求出答案即可． 【详解】解析：∵A为反比例函数的图象上的一点， ∴设， ∵轴，， ∴，， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 7．D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵， 观察图象得：， ∴k的值可能是5． 故选：D 8．C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以当时，则的取值范围是：或． 故选：C． 9．D 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据反比例函数的性质逐一排除即可，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：、设细胞的相对表面积与细胞的半径之间的函数关系式为， 当时，， ∴， ∴， ∴函数关系式为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意； 、若细胞的相对表面积为，则细胞的半径为，原选项正确，不符合题意； 、细胞的半径每增大，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意； 故选：D． 10．A 【分析】本题考查了反比例函数性质、矩形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，假设点B的坐标，先表示出点C的坐标，再利用几何性质表示出点A的坐标，利用反比例函数定义求解即可． 【详解】解：过点B作轴于点N，过点A作轴于点M，交于点G，如图： 设 是等腰直角三角形 轴 ，点C的纵坐标为 四边形是矩形 ，， 点G的横坐标为 点A是反比例函数的图象上一点 解得或（舍去） ． 故选：A． 11．或 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及数形结合的思想，求出点的坐标是解题的关键． 根据对称性求出点坐标，然后找出正比例函数落在反比例函数图象上方或相交时对应的的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴由图象可得，当或时，正比例函数在反比例函数图象上方或相交，即， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 12． 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可． 【详解】解：令， ∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴点关于原点对称， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】先根据正方形的性质及点，轴，且，得点的坐标为，当反比例函数的图象经过点时，，当反比例函数的图象经过点时，，由此可得出当反比例函数的图象与正方形有交点时，的取值范围． 【详解】解：四边形为正方形，点，轴，且， 点的坐标为， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象经过点时，， 当反比例函数的图象与正方形有交点， 则的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上的点的坐标，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，理解满足反比例函数表达式的点都在反比例函数的图象上，反比例函数图象上的点都满足反比例函数的表达式是解决问题的关键． 14． 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，设点坐标根据中点坐标公式表示线段和的长是解决本题的关键． 设，根据题意表示出点，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图像经过矩形的顶点， 设， 是矩形，且点为的中点， 点纵坐标为，代入反比例函数解析式得， 点横坐标为， 点横坐标为代入反比例函数解析式，， ， ， 故答案为：． 15．100 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，当容器中气体体积为时，压强为，代入，求得，得，再代入，可求得． 【详解】解：∵当容器中气体体积为时，压强为， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：100． 16．(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， 联立得：，解得：或， ∴点D的坐标为； 故答案为：； （2）解：观察图象得：当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或； 故答案为：或； （3）解：对于，当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 17．(1)，，， (2)二、四，增大 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，关键是画出函数图象． （1）分别把，，，代入函数解析式求出对应y的值即可； （2）用描点，连线的方法画出函数图象； （3）根据函数的图象和性质可以得出结论． 【详解】（1）①补全表格 ②图象如图： （2）函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大 故答案为：二、四，增大． 18．(1)； (2); (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； 设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； 设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求 ． 【详解】（1）解：米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； （2）解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； （3）解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求． 19．(1)反比例函数的表达式，一次函数的表达式 (2)或 (3) (4)存在，P点的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法先求反比例函数解析式，再求一次函数解析式即可； （2）先求出点的横坐标，再利用图象法求解即可； （3）过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为，先求出点的坐标，根据求解即可； （4）或．分情讨论：当在轴正半轴上，作轴，垂足为，先证，求出，根据求点的坐标；当在轴负半轴上，先证，求出，根据求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入反比例函数中得： ，解得：， 反比例函数的表达式， 把点代入反比例函数中得：， 解得：， ， 把点和分别代入一次函数， 解得， 一次函数的表达式； （2）解方程， 解得， ， 当时，或； （3）过点作轴，垂足为；过点作轴，垂足为， ， ， 把点代入反比例函数中得：， ， ， 对于一次函数，令则，解得：， ， ， ， ； （4）或． 如图1，当在轴正半轴上， 作轴，垂足为， , ， 一次函数的表达式， 令，则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即， ， ， ； 如图2，当在轴负半轴上， ， ， ；， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ．即, ， ， ． 综上所述，存在点、，使得四边形是矩形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，矩形的判定和性质，勾股定理，利用相似三角形 的判定和性质求线段的长度及点的坐标是解题的关键． 20．(1) (2)①，② 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，代入反比例函数解析式计算即可； （2）①过点作轴于点，先求出点，，可得到，从而得到，设点的坐标为，则，再由，求出的值，即可求解；因为，若求 的最小值，即求 的最小值加 ，将 向左平移 个单位得 ，则，作 关于 轴的对称点 ，则，故，则 的最小值为，用勾股定理求解即可； ②过点作交延长线于点，过作于点，证明，可得，用表示出点的坐标，代入反比例函数解析式计算，得到答案． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 解得：， 点， 把点代入得： ， 解得：； （2）解：①如图，过点作轴于点， 对于， 当时，，当时，， 点，， ，， 轴，点．， ，， ， ， ， ∵在反比例函数上， ∴设点的坐标为，则， ∵P，M在为上， ， ， ∴， ， 即， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； ∵，若求 的最小值，即求 的最小值加 ， 将 向左平移 个单位得 ，则， 作 关于 轴的对称点 ，则， 故， 当三点共线时， 最小，最小值为； 作，由勾股定理得： ， ∴ 的最小值为 ； ②如图2，过点作交延长线于点，过作交的延长线于点， ，， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ，， ∵在直线上， ∴设， ， ， ， 点是反比例函数的图象上的一点， ， 解得：，， 点在点的右侧， 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质和图象、全等三角形的判定和性质、一次函数的性质和图象，对称求距离和最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $