精品解析：河北省衡水市景县十校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试卷

2025—2026学年第一学期中段调研检测卷 八年级数学（人教版） ·第13.1节~第15章· 注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在跨学科学习中，数学小组给出了下面四张生物图片，则是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“若，则”的逆命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，平面上点C为线段外一点，，连接，．线段的长可能是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 4. 如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（ ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 6. 如图，等腰中，沿着一定方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为18，则点G到的距离是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 7. 如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，若，B、C两点表示的刻度分别是，，则AB的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等腰的面积为24，底边长为6，腰的垂直平分线分别交边于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接．在点M运动过程中，周长的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 11 10. 右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（ ） A. B. C. D. 11. 嘉嘉和琪琪进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．针对上述游戏有以下两种说法，则判断正确的是（ ） 轮次 行动者 添加条件 1 嘉嘉 2 琪琪 3 嘉嘉 …… ①若第3轮嘉嘉添加，则琪琪获胜；②若嘉嘉想获胜，第3轮可以添加条件 A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①对②错 D. ①错②对 12. 如图，点是上一点，第一次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第二次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第三次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，，当进行到第次操作后就无法继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，在中，顶点F的对边是______． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则______． 15. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 18. 在中，D是边上的一点，，，． （1）求的度数； （2）若，，试用a、b表示的周长． 19. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出关于直线对称的； （3）求的面积． 21. 龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． （1）若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， （2）路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 22. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长是19，，求的长； （3）在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 23. 为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），两个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段______的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点，，在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长（如图），请对他们的方案的可行性进行说理； （3）请你再设计一个测量方案，填在下表中． 方案（简要写出过程） 示意图（画出简图） 说明（填空） 根据示意图，只需要测出线段______的长，就能推算出河宽的长． 24. 等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期中段调研检测卷 八年级数学（人教版） ·第13.1节~第15章· 注意事项：1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚． 3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在跨学科学习中，数学小组给出了下面四张生物图片，则是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A，B，D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 命题“若，则”的逆命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查写出命题的逆命题，把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，据此即可得出答案． 【详解】解：原命题为“若，则”，其逆命题是将原命题的条件和结论交换，即“若，则”． 故选：D 3. 如图，平面上点C为线段外一点，，连接，．线段的长可能是（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可知：， 故线段的长可能是11， 故选：D 4. 如图，在中，为锐角，，则下列角中，的余角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查余角定义、垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，根据余角定义逐个分析即可求解． 【详解】解：∵为钝角， ∴，， 故选项C、D不符合题意； 如图，延长n交与点D ∵， ∴，， ∴，与互余， 故选项A符合题意，选项B不符合题意， 故选A． 5. 已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（ ） A. ①②③④ B. ①③②④ C. ①③④② D. ①②④③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 6. 如图，等腰中，沿着一定方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为18，则点G到的距离是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 过作于，根据平移和，得出，，根据平行得出，根据，得出，从而得，则，求出，，根据阴影部分的面积为18，得出，即可求解． 【详解】解：过作于， ∵将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，且， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ，， ，阴影部分的面积为18， ∴阴影部分的面积， ∴， 则点到的距离是3． 故选：C． 7. 如图是一个可调节平板支架，其结构示意图如下，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点B到的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，求三角形的高，过点B作于D，于E，可证明得到，再由等面积法得到，则． 【详解】解：如图所示，过点B作于D，于E， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点B到的距离是， 故选：D． 8. 将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，若，B、C两点表示的刻度分别是，，则AB的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，三角形的外角的定义及性质，等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据题意得到，再说明是等边三角形即可． 【详解】解：如图， ∵是的一个外角，，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：B． 9. 如图，等腰的面积为24，底边长为6，腰的垂直平分线分别交边于E、F两点，点M为线段上一动点，点D为的中点，连接．在点M运动过程中，周长的最小值为（ ）． A. 4 B. 6 C. 8 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识点，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键． 如图：连接、，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出 ，推出，故的长为的最小值，进而完成解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴，解得：， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：． 故选D． 10. 右面是某个机械装置的连杆装置及简易图，杆可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，将杆从水平位置缓慢向上拉起．已知，当杆与水平面夹角为时，测得，则此时点B到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可． 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故选：A 11. 嘉嘉和琪琪进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜．针对上述游戏有以下两种说法，则判断正确的是（ ） 轮次 行动者 添加条件 1 嘉嘉 2 琪琪 3 嘉嘉 …… ①若第3轮嘉嘉添加，则琪琪获胜；②若嘉嘉想获胜，第3轮可以添加条件 A. ①②都对 B. ①②都错 C. ①对②错 D. ①错②对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定规则，理解题意是解决本题的关键． 根据游戏规则，添加条件后若能判定全等则添加者失败．说法①中添加三边相等可判定全等，故正确；说法②中添加两边及一边对角相等（）不能判定全等，故嘉嘉获胜，正确． 【详解】解：∵已有条件：，， ①若嘉嘉添加， ∴， ∴， ∴嘉嘉失败，琪琪获胜，故①正确； ②若嘉嘉添加， ∴条件为， ∵不能判定全等， ∴不能判定， ∴嘉嘉获胜，故②正确． 故选A． 12. 如图，点是上一点，第一次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第二次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；第三次操作以点为圆心，以长为半径画弧，交于点，，当进行到第次操作后就无法继续下去，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，等边对等角，由，，所以，则，同理，，，故有第次形成的角度为，得，求出的取值范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ， ∴第次形成的角度为， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 如图，在中，顶点F的对边是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的相关概念，掌握三角形的相关定义是解题的关键． 由的三边分别为，其中与顶点F相邻，与顶点F相对，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，在中，顶点F的对边是． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标特征．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ， ∴，， ∴， 故答案为： 15. 如图，D为内一点，平分，，若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴（判定依据，用字母表示： ）； ∴ ， ∴， ∴，（直角三角形的两个锐角 ） ∴ °， ∴， ∴． 【答案】 ①. ②. ③. ④. 互余 ⑤. 【解析】 【分析】根据等角对等边可得，再结合已知论证两直角三角形全等，从而得到，最后通过等量代换得到结论． 【详解】证明：∵， ∴ ， ∵， 在和中，， ∴； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直的定义、等腰三角形的性质，关键是斜边直角边定理的应用． 18. 在中，D是边上的一点，，，． （1）求的度数； （2）若，，试用a、b表示的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）利用外角性质用表示出，由三角形内角和定理得出的度数，由此得出结论． （2）先求出，利用等角对等边求出，即可求出的周长． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为：． 19. 为发展经济，某地区加大交通运输建设，新修三条相互交叉的公路，我们把交叉处看作一个点，则形成了一块三角形区域．为了方便过往车辆、行人休息，打算在三角形区域内修建一个服务站P，且使服务站到三条公路的距离相等． （1）请你用尺规作图选定位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若已知三角形区域周长是米，面积是平方米，请你计算这个服务站到三条公路的距离． 【答案】（1） 如图所示： （2）这个服务站到三条公路的距离均为米． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，角平分线性质的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别作和平分线即可； （）连接，设点到三边的距离均为，则有，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：作和平分线，交于点，则点即为所求， 【小问2详解】 解：连接，设点到三边的距离均为， ∴，解得， 即这个服务站P到三条公路的距离均为米． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出关于直线对称的； （3）求的面积． 【答案】（1） 即为所求： 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，网格三角形面积的求法等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称的性质，即可画出； （）根据轴对称的性质，即可画出； （）利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积是． 21. 龟兔举行了新跑步比赛．比赛路线是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①；路线②；路线③． （1）若乌龟选择了路线②，在判断乌龟和兔子的路线长短时．有以下思路，请你继续解答． 如图，延长交于点P．在中，， （2）路线②和③相比，哪条更短？（需写出过程） 【答案】（1） 解：补全过程如下： 在中，， ∴， ∴， ∴兔子的路线长，乌龟的路线短． （2） 解：如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，，① 在中，，② 在中，∵， ∴，③ ∴由①②③式得， ∴， ∴， ∴路线②和③相比，路线③更短． 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点，延长交于点．分别在中，根据三角形的三边关系得出，可推出，从而得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交于点D，E，连接． （1）若，求的度数； （2）若的周长是19，，求的长； （3）在线段上有一点P，其恰好也在边的垂直平分线上，求证：点P在边的垂直平分线上． 【答案】（1） （2）9 （3） 证明：如图：连接， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形的周长公式、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由垂直的定义可得，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角以及三角形内角和定理即可解答； （2）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为19，即，进而求得的长； （3）由线段垂直平分线的性质得、，即，从而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵直线l垂直平分边， ∴， ∵的周长为19， ∴，即． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 23. 为了测量一条两岸平行的河流宽度（跨河测量困难），两个数学小组开展了课题研究．他们在河西岸的点处，利用工具测得河东岸的一棵树底部A点恰好在点的正东方向，进而设计出了不同的测量方案，具体如表： 课题 测量河流宽度 工具 测角仪（仪器的高度忽略不计）、标杆、皮尺 小组 第一小组 第二小组 测量方案 如图，从点向正南方向走到点，此时恰好测得． 如图，从点向正南方向走到点，是的中点，继续从点沿垂直于的方向走，直到点，，在一条直线上． 测量方案示意图 （1）由第一小组的方案可知，河宽的长度就是线段______的长度； （2）第二小组在实际测量中，从点走到点处时发现前方有大石头挡路（如图），他们商议后决定改变路线，向右转一个等于的角度，继续前行至点H，满足点，，在一条直线上且点在左侧．他们认为只要测得和的长就可求出河宽的长（如图），请对他们的方案的可行性进行说理； （3）请你再设计一个测量方案，填在下表中． 方案（简要写出过程） 示意图（画出简图） 说明（填空） 根据示意图，只需要测出线段______的长，就能推算出河宽的长． 【答案】（1）； （2） 解：延长交的延长线于点， ∵是的中点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故第二小组的方案可行． （3） 方案：观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点， 示意图： 说明：． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，垂直定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （）由，则，所以，则有，从而求解； （）延长交的延长线于点，证明，所以，，设，则，通过三角形内角和定理得出，所以，从而得，所以，从而求解； （）观测者从点向正北走到点，使用测角仪测得，交延长线于点，证明，所以，从而求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河宽的长度就是线段的长度． 24. 等边的边长为10，P是边上一动点，点Q是射线上一动点． （1）如图1，当时，求证：； （2）当点Q在延长线上时，连接，交边于点D，始终保证D是线段的中点． ①如图2，，作交于点E，求的长； ②如图3，作于点F．线段的长是否发生变化？若不变，求线段的长；若发生变化，请说明理由； ③如图4，长为1的木条在边上，且．若②中的点F落在木条上（包括端点），请直接写出的取值范围． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ； （2）①12；②的长不变，为5；③． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）结合等边三角形性质证明全等即可； （2）①由（1）知，，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，即可得解； ②作，交于E，由①知，是等边三角形，，则，再根据等边三角形三线合一的性质可得，即可得解； ③分两种情况讨论：当点F在M处时，作，交于E；当F在N处时，结合上述结论求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）知，， ， ，，， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， ， ； ②如图1，的长不变，理由如下， 作，交于E， 由①知，是等边三角形，， ， ， ， ， 的长不变； ③如图2，当点F在M处时，作，交于E， 由上知，是等边三角形，， ， 此时， 当F在N处时，此时， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $