空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量法求解角度问题与距离问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量法求解角度问题与距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量法求解角度问题与距离问题 专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量法求解空间角度问题 空间向量法求解空间距离问题 考点一 空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】在平行六面体中，， 因为，，，， 所以 ， 故选：C 例2．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 【答案】C 【详解】由题意知，，，两两垂直，故. 又，，， 所以. 故选：C. 例3．（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以， 故选：B. 例4．（25-26高二上·山西·月考·多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【详解】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，， 因为， 则， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 例5．（25-26高二上·广西河池·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A，，， ，故选项A正确； 选项B，， ，故选项B正确； 选项C，， ， ， 则与不垂直，故选项C错误； 选项D，，，， 则，故选项D正确. 故选：ABD. 例6．（25-26高二上·四川泸州·期中）三棱锥的各条棱长均为1，则 ； 【答案】0 【详解】以为基底进行线性转化，棱长均为1，夹角为， 故 故. 故答案为：0 例7．（25-26高二上·四川成都·月考）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为 ． 【答案】 【详解】向量在平面的法向量上的投影向量为， 即， 设在平面上的投影向量是， 则， 所以， 故答案为： 变式1．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】 在 上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 变式2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得， ，由， 得，所以. 故选：C 变式3．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得， 则当时，有最小值，此时，点． 故选：C 变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 【答案】ACD 【详解】对A：，所以，故A正确； 对B：因为，所以不成立，故B错误； 对C：因为，即向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对D：因为，即，所以向量与向量共面，故D正确. 故选：ACD 变式5．（25-26高二上·福建福州·期中·多选）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意得， 对于A，由空间向量减法的坐标运算法则得，故A正确， 对于B，由空间向量的模长公式得，故B正确， 对于C，由空间向量的数量积的坐标运算法则得，故C正确， 对于D，设，可得，所以，此时方程组无解， 得到向量与向量不平行，故D错误. 故选：ABC 变式6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为 .    【答案】 【详解】由， 则 ，则. 故答案为：. 变式7．（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正四面体的棱长为1，，则 ． 【答案】/0.5 【详解】因为点E是棱CD的中点，所以. 又因为正四面体ABCD的长为1，所以， 所以. 故答案为：. 考点二 空间向量法求解空间角度问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得，且异面直线与所成角为锐角， 得到， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 例2．（25-26高三上·河南·期中）在正方体中，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为4，以D点为原点， 分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.如图： 则， 由，所以E点是的一个四等分点（靠近点）， 所以，，. 因四边形是正方形，所以. 又因正方体是直棱柱，所以平面，平面，所以. 因为，，， 平面，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量. 所以. 所以与平面所成角的正弦为. 故选：D. 例3．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且面ABCD，E为棱PD上一动点，满足.若二面角的平面角的正切值为，当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值 . 【答案】 【详解】记,取PC中点，连接，又平面ABCD，所以平面ABCD， 又，所以以为原点，OB，OC，OH所在直线为x，y，z轴如图建立空间直角坐标系，底面ABCD为菱形，且， 设则，设， 则， . 设平面PBC的一个法向量为， 则，令，所以， 又因为平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为， 设二面角的平面角为，则 由，得 ，解得. 因为，所以，设， 所以 所以， 设平面ACE的一个法向量为， 则,所以所以,令，则. 所以，所以. 所以PC与平面ACE所成角的正弦值. 例4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    【答案】 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，    则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·辽宁·期中）如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）， ， ， 平面平面， ，又且平面平面， 平面. （2）以A为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，    则各点坐标为， ， 平面的法向量设为， 所以即， 令，则平面的法向量， 平面PAD的法向量设为， 所以即， 令，则平面的法向量， 设平面与平面夹角为， . 例6．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则，令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 变式1．（25-26高二上·福建·月考）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且，所以， 连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设圆的半径为，则、、、， ，， 设异面直线与所成的角为， 则：， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 故选：A．    变式2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因正方体的棱长为2，由图易得： ，，，，， 而，分别是棱，的中点，可得，， 则，，设平面的法向量为， 依题意在平面上，所以，则， 因为，所以，则， 令，，，故， 而，设直线与平面所成角为， 可得，故C正确. 故选：C 变式3．（25-26高二上·新疆·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【详解】取中点为，连接， 因为，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，故底面， 又因为底面为等边三角形，所以， 如图，以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的所有棱长都为， 则、、、、 所以，， 设与所成角为， 则. 因此，异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 变式4．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ． 【答案】 【详解】设向量的夹角为，则， 由题意可得：， 因为， 则， 即，解得， 由，可得， 因为，，平面平面，平面，平面， 故平面与平面的夹角为. 故答案为：. 变式5．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，且为中点，所以， 又，、平面，所以平面． （2）因为平面，四边形为正方形， 如图，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，所以， ， 所以平面与直线所成角的正弦值为． （3），，设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， ，所以平面与平面的夹角余弦值为. 变式6．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面， 则，故， 同理可证：， 综上所述：. （2）由题意可知：为等腰直角三角形，则， 因为，，可得， 以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 因为，，， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 考点三 空间向量法求解空间距离问题 例1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由点，，可得， 因为平面的一个法向量，且到平面的距离为， 可得，解得或. 故选：C. 例2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则点到平面的距离为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以，，， 设面的法向量为， 可得，令，解得， 则，设点到平面的距离为， 由点到平面的距离公式得，故D正确. 故选：D 例3．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，正方体.棱长为2，，分别是棱，的中点，则点到平面的距离为 .    【答案】 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 得， 设平面的法向量为， 得，取， 则点到平面的距离为：， 故答案为： 例4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】如图，以A为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 即，， 则，， 所以点到直线的距离为． 故答案为：． 例5．（25-26高二上·北京通州·月考）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），，，，． 由直三棱柱中，底面，底面，，． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为； （2）设到平面的距离为，则. 例6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)直接写出C，D，E，F的坐标. (2)证明：平面ABC. (3)求点E到直线CD的距离. 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：根据题设中的空间直角坐标系，可得，， 因为为的中点，可得，即， 又因为点在线段上，且，可得， 设，可得， 可得，所以. （2）证明：由（1）得， 直三棱柱中，可得平面， 所以平面的一个法向量为，可得，所以， 又因为平面，所以平面. （3）解：由（1）得，向量，， 所以点E到直线CD的距离为. 变式1．（25-26高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点的中点，连接. 因为，所以，且. 以为坐标原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，. 设平面的法向量为，则， 令，得，所以点到平面的距离为. 故选：A. 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意可得与同向的单位向量 点到直线的距离． 故选：D 变式3．（25-26高二上·云南昆明·期中）在正三棱锥中，，，则点到平面的距离为 . 【答案】 【详解】如图，以S为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设是平面ABC的法向量， 则，取，得，， 则是平面ABC的一个法向量． 因此，点S到底面ABC的距离． 故答案为： 变式4．（25-26高二上·浙江·期中）已知点、、，则点C到直线AB的距离为 . 【答案】/ 【详解】因为，， 所以， 所以. 所以点C到直线AB的距离为. 故答案为： 变式5．（25-26高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 则，即， 所以在中，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取，则， 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； （3）由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 变式6．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，是的中点，是的中点. (1)求点到直线MN的距离； (2)求直线MN到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为三棱柱为正三棱柱，分别为的中点， 所以两两垂直. 故可以为原点，建立如图空间直角坐标系：    因为三棱柱的侧棱和底面边长均为2， 所以，，，，，. 所以，， 所以，所以. 所以点到的距离为：. （2）设平面的法向量为， 因为，， 由，可取. 因为，且平面，所以平面. 所以到平面的距离即为点到平面的距离， 为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量法求解角度问题与距离问题专项训练 空间向量与立体几何：空间向量的数量积、空间向量法求解角度问题与距离问题 专项训练 考点目录 空间向量的数量积 空间向量法求解空间角度问题 空间向量法求解空间距离问题 考点一 空间向量的数量积 例1．（25-26高二上·浙江温州·期中）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．3 C． D． 例2．（25-26高二上·湖南·期中）已知长方体中，，，，若，，，则（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 例3．（25-26高二上·河北张家口·期中）设，向量，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 例4．（25-26高二上·山西·月考·多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，点，分别在棱，上，且，，则（ ） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 例5．（25-26高二上·广西河池·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例6．（25-26高二上·四川泸州·期中）三棱锥的各条棱长均为1，则 ； 例7．（25-26高二上·四川成都·月考）已知向量，平面的法向量，则在平面上的投影向量坐标为 ． 变式1．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 变式2．（25-26高二上·北京延庆·期中）已知，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期中·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A．向量与向量的夹角为 B． C．向量在向量上的投影向量为 D．向量与向量共面 变式5．（25-26高二上·福建福州·期中·多选）已知空间向量，，则（   ） A． B． C． D． 变式6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在平行六面体中，底面四边形是菱形，，，，则的长为 .    变式7．（25-26高二上·北京大兴·期中）如图，正四面体的棱长为1，，则 ． 考点二 空间向量法求解空间角度问题 例1．（25-26高二上·北京·期中）在正方体中，分别为和的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·河南·期中）在正方体中，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·四川雅安·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，且面ABCD，E为棱PD上一动点，满足.若二面角的平面角的正切值为，当时，求PC与平面ACE所成角的正弦值 . 例4．（25-26高二上·新疆喀什·期中）如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 ．    例5．（25-26高二上·辽宁·期中）如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点． (1)证明：直线平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 例6．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 变式1．（25-26高二上·福建·月考）如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆的直径，点在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·陕西榆林·期中）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，过作平面，使得，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·新疆·期中）已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 . 变式4．（25-26高二上·广东广州·期中）如图，在四面体ABCD中，，，若，，，，则平面ABD与平面CBD的夹角为 ． 变式5．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 变式6．（25-26高二上·湖北·期中）如图，已知三棱柱的底面是正三角形，且，. (1)求证：； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值. 考点三 空间向量法求解空间距离问题 例1．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 例2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知，则点到平面的距离为（   ） A．2 B．3 C． D． 例3．（25-26高二上·北京西城·期中）如图，正方体.棱长为2，，分别是棱，的中点，则点到平面的距离为 .    例4．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知正方体的棱长为1，点在正方体内部且，则到直线的距离为 . 例5．（25-26高二上·北京通州·月考）如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)求到平面的距离. 例6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）在直三棱柱中，，，，D是的中点，F是CD的中点，点E在线段上，且.以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)直接写出C，D，E，F的坐标. (2)证明：平面ABC. (3)求点E到直线CD的距离. 变式1．（25-26高二上·河北保定·期中）在直三棱柱中，为的重心，则点到平面ACD的距离为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·青海西宁·期中）在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．3 D． 变式3．（25-26高二上·云南昆明·期中）在正三棱锥中，，，则点到平面的距离为 . 变式4．（25-26高二上·浙江·期中）已知点、、，则点C到直线AB的距离为 . 变式5．（25-26高二上·北京·期中）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD. (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 变式6．（25-26高二上·江苏无锡·期中）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，是的中点，是的中点. (1)求点到直线MN的距离； (2)求直线MN到平面的距离. 2 学科网（北京）股份有限公司 $